Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1

Enoncé

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ; -1 ; -2) et D(7 ; -1 ; 4).

Question 1

Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Pour montrer que trois points A, B et C ne sont pas alignés, vous devez avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que trois points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit de montrer que deux des vecteurs pouvant être formés avec ces 3 points ne sont pas colinéaires.

Personnellement, je choisis de montrer que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires (mais je pourrais très bien choisir les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{BC}}, c’est vraiment au choix) :

Montrons que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires.

Pour cela, il faut appliquer la condition de colinéarité :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} deux vecteurs de l’espace de coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que :\begin{cases}x.

Calculons donc les coordonnées de ces deux vecteurs. Votre cours vous dit très certainement que :

Soit A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées (x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

Ce qui donne ici :

  • \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AB}}(1 - 0 ; 3 - 4 ; 0 - 1)
    \overrightarrow{\mathrm{AB}}(1 ; -1 ; -1)
  • \overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A ; z_C - z_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AC}}(2 - 0 ; -1 - 4 ; -2 - 1)
    \overrightarrow{\mathrm{AC}}(2 ; -5 ; -3)

La condition de colinéarité nous permet de conclure :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas proportionnelles donc ces derniers ne sont pas colinéaires d’où les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 2

Soit \Delta la droite passant par le point D et de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(2 ; -1 ; 3).

a. Démontrer que la droite \Delta est orthogonale au plan (ABC).

Réflexe :

Montrer qu’une droite \Delta est orthogonale à un plan \mathcal{P}, c’est montrer qu’un vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}} de cette droite est orthogonal à ce plan \mathcal{P}.
OK mais comment on montre que le vecteur directeur est orthogonal au plan ?

Second réflexe :

Montrer qu’un vecteur est orthogonal à un plan, c’est montrer qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P}.

Ici, nous allons donc calculer le produit scalaire :

  • du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}, qui est un vecteur directeur de la droite \Delta
  • respectivement avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} qui, d’après la question précédente, sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).
Comment est-ce qu’on calcule le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace déjà ?

C’est assez simple :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = xx.

Appliqué ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 2 \times 1 + (-1) \times (-1) + 3 \times (-1) = 0.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2 \times 2 + (-1) \times (-5) + 3 \times (-3) = 0

Les deux produits scalaires calculés sont nuls donc on peut conclure que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} est orthogonal au plan (ABC) :

Les deux produits scalaires \overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont nuls donc \overrightarrow{\mathrm{u}} est orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AB}} et à \overrightarrow{\mathrm{AC}}. Or, \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont deux vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P} d’où le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} est orthogonal au plan (ABC).

Et comme \overrightarrow{\mathrm{u}} est un vecteur directeur de la droite \Delta, cela nous permet de conclure sur la droite elle-même :

De plus, \overrightarrow{\mathrm{u}} est un vecteur directeur de la droite \Delta donc \Delta est orthogonale au plan (ABC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

On vient de montrer à la question précédente que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} est orthogonal au plan (ABC). Autrement dit, \overrightarrow{\mathrm{u}} est un vecteur normal au plan (ABC).

Or, votre cours vous dit que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} un vecteur de l’espace de coordonnées (a;b;c).

\overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P} si et seulement si \mathcal{P} a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Dans le cadre de notre exercice, cela permet de déduire que :

\overrightarrow{\mathrm{u}}(2 ; -1 ; 3) est un vecteur normal au plan (ABC) donc (ABC) admet une équation cartésienne de la forme 2x - y + 3z + d = 0, d \in \mathbb{R}.

Reste à déterminer d. Pour cela, il faut choisir un point qui appartient au plan (ABC) et exprimer le fait que, parce qu’il appartient à (ABC), il vérifie son équation cartésienne :

OK mais quel point je prends alors ?

N’importe quel point qui appartient au plan (ABC) fera l’affaire. Personnellement, je choisis le point A :

Le point A(0;4;1) appartient au plan (ABC) donc 2x_A - y_A + 3z_A + d = 0.

Il ne reste plus qu’à résoudre cette simple équation d’inconnue d :

2x_A - y_A + 3z_A + d = 0

 
\Leftrightarrow 2 \times 0 - 4 + 3 \times 1 + d = 0
 
\Leftrightarrow -1 + d = 0
 
\Leftrightarrow d = 1

Maintenant que l’on a déterminé d, on peut conclure :

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x - y + 3z + 1 = 0.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.

Déterminer une représentation paramétrique d’une droite lorsque l’on connaît les coordonnées :

  • d’un vecteur directeur de cette droite ;
  • d’un point appartenant à cette droite ;

est immédiat si on sait que :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Ici, cela donne donc :

D’après l’énoncé, la droite \Delta :
  • admet \overrightarrow{\mathrm{u}}(2 ; -1 ; 3) comme vecteur directeur ;
  • passe par le point D de coordonnées D(7 ; -1 ; 4).

Donc une représentation paramétrique de \Delta est :
\begin{cases}x = 2t + 7 \\y = -t - 1, t \in \mathbb{R} \\z = 3t + 4\end{cases}.

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \Delta et du plan (ABC).

Déterminer l’intersection entre une droite et un plan est un savoir-faire que vous devez maîtriser. La démarche est toujours la même :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Remplacer les expressions de x, y et z dans l’équation cartésienne du plan par leurs expressions données dans la représentation paramétrique de \Delta.
En remplaçant x, y et z dans l’équation cartésienne du plan (ABC) déterminée à la question 2. b. par leurs expressions en fonction de t, on obtient 2(2t + 7) - (-t - 1) + 3(3t + 4) + 1 = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Résoudre l’équation obtenue d’inconnue t. Si :

  • on ne trouve pas de solution : l’intersection entre la droite et le plan est vide ;
  • on trouve une unique solution : l’intersection entre la droite et le plan est un point unique ;
  • on trouve une infinité de solutions : la droite appartient au plan.

Ici, on sait qu’on doit trouver une unique solution puisque l’énoncé nous demande de déterminer les coordonnées du point H :

Résolvons l’équation obtenue d’inconnue t :
4t + 14 + t + 1 + 9t + 12 + 1 = 0
 
14t + 28 = 0
 
t = -2
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Si l’intersection est un point unique, déterminer ce point en calculant ses coordonnées x, y et z. Pour cela, dans l’équation paramétrique de la droite \mathcal{D}, remplacer t par la valeur trouvée.
Donc on a :
x_H = 2t + 7 = 2 \times (-2) + 7 = 3
y_H = -t - 1 = -(-2) - 1 = 1
z_H = 3t + 4 = 3 \times (-2) + 4 = -2
Donc le point H a pour coordonnées H(3; 1; -2).

Question 3

Soit \mathcal{P}_1 le plan d’équation x + y + z = 0 et \mathcal{P}_2 le plan d’équation x + 4y + 2 = 0.

a. Démontrer que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants.

Rappel :

Soient \mathcal{P} et \mathcal{P deux plans de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-1
  • soit leur intersection est une droite \mathcal{D} (\mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants suivant \mathcal{D}) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-2
  • soit leur intersection est un plan (\mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-3

Ce rappel étant fait, regardez la figure suivante qui représente deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P strictement parallèles avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n qui sont normaux respectivement à \mathcal{P} et à \mathcal{P :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-ce-exo2-1

Que remarquez-vous ?

\overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires, non ?

Exactement ! Ainsi, pour déterminer l’intersection de deux plans, il y a une méthode systématique que vous pouvez utiliser et que nous allons utiliser ici pour montrer que \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan \mathcal{P} et un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n au plan \mathcal{P.

Et ça, c’est super facile si vous connaissez une équation cartésienne de chacun des deux plans ! En effet, je rappelle ce que j’ai déjà rappelé ci-dessus :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} un vecteur de l’espace de coordonnées (a;b;c).

\overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P} si et seulement si \mathcal{P} a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Appliqué ici, cela donne :

Le plan \mathcal{P}_1 d’équation x + y + z = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}_1(1 ; 1 ; 1).
Le plan \mathcal{P}_2 d’équation x + 4y + 2 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}_2(1 ; 4 ; 0).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer si \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires ou non. Pour cela, il faut poser un réel \lambda tel que \overrightarrow{\mathrm{n = \lambda\overrightarrow{\mathrm{n}} et résoudre l’équation vectorielle d’inconnue \lambda. Si :
  • l’équation vectorielle admet une solution, alors les deux vecteurs sont colinéaires ;
  • l’équation vectorielle n’admet pas de solution, alors les deux vecteurs sont non colinéaires.

En faisant jouer à \overrightarrow{\mathrm{n}_1} le rôle de \overrightarrow{\mathrm{n}} et à \overrightarrow{\mathrm{n}_2} le rôle de \overrightarrow{\mathrm{n, on obtient :

\overrightarrow{\mathrm{n}_2} = \lambda\overrightarrow{\mathrm{n}_1} \Leftrightarrow \begin{cases}1 = \lambda \times 1 \\4 = \lambda \times 1 \\0 = \lambda \times 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1 = \lambda \\4 = \lambda \\0 = \lambda\end{cases}.

Bien sûr, \lambda ne peut pas avoir trois valeurs différentes en même temps donc le système n’admet pas de solution :

Le système d’équations d’inconnue \lambda n’admet pas de solution.

D’où la conclusion sur la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}_1} et \overrightarrow{\mathrm{n}_2} :

Donc \overrightarrow{\mathrm{n}_1} et \overrightarrow{\mathrm{n}_2} sont non-colinéaires.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en fonction de la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n. Si ces deux vecteurs sont :

  • non colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants en une droite ;
  • colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{P} (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P, alors A appartient à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P, alors A n’appartient pas à \mathcal{P. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles.

Ici, on peut donc terminer la question de façon immédiate :

D’où les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants.

b. Vérifier que la droite d, intersection des plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2, a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = -4t - 2 \\y = t ~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = 3t + 2\end{cases}.

Maintenant que l’on sait que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants, il reste à déterminer précisément leur intersection :

Pour déterminer une représentation paramétrique de l’intersection entre deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P, il faut résoudre le système constitué des trois équations suivantes :

  1. une équation cartésienne de \mathcal{P} ;
  2. une équation cartésienne de \mathcal{P ;
  3. x = t ou y = t ou z = t (une des trois possibilités, au choix).

Ici, l’énoncé ne nous laisse pas le choix pour la troisième équation puisqu’il indique que la représentation paramétrique à trouver comporte l’équation y = t :

L’intersection des plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 est une droite caractérisée par :
\begin{cases}x + y + z = 0 \\x + 4y + 2 = 0, t \in \mathbb{R} \\y = t\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases}x + z = -y \\x + 2 = -4y, t \in \mathbb{R} \\y = t\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x + z = -t \\x + 2 = -4t, t \in \mathbb{R} \\y = t\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x = -4t - 2 \\z - 2 = -t - (-4t), t \in \mathbb{R} \\y = t\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x = -4t - 2 \\y = t~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = 3t + 2 \end{cases}

c. La droite d et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Après nous avoir fait déterminer l’intersection entre deux plans, l’énoncé nous demande maintenant de déterminer l’intersection entre une droite et un plan. Comme pour la question précédente, je commence par un petit rappel de cours :

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe comme précédemment une démarche systématique pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Nous connaissons déjà un vecteur normal au plan (ABC). Il s’agit du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} :

\overrightarrow{\mathrm{u}}(2 ; -1 ; 3) est un vecteur normal au plan (ABC).

Quant à un vecteur directeur de la droite d, il est aisé d’en déterminer un si on se souvient à nouveau d’un rappel de cours fait plus haut et que je rappelle du coup ici :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

A la question 2. c., on s’est servi de ce théorème pour déterminer une représentation paramétrique de \Delta. Ici, on s’en sert dans l’autre sens pour déterminer un vecteur directeur de d. C’est ça ?

Exactement !

Puisque la droite d admet la représentation paramétrique \begin{cases}x = -4t - 2 \\y = t~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = 3t + 2 \end{cases}, alors le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u_d}}(-4;1;3) est un vecteur directeur de d.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P}, alors A appartient à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P}, alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Pour rappel :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{u_d}} = 2 \times (-4) + (-1) \times 1 + 3 \times 3 = -8 - 1 + 9 = 0.
Donc d et (ABC) sont parallèles.

Reste à déterminer s’ils sont strictement parallèles ou si \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P}.

Oui mais quel point de la droite d on va bien pouvoir prendre ?

Celui dont les coordonnées sont faciles à déterminer grâce à la représentation paramétrique de d bien sûr !

Ah bah oui ! La représentation paramétrique de d nous a permis de déterminer facilement un vecteur directeur de d mais elle permet aussi de déterminer un point par lequel la droite d passe !

Je vois que ça commence à rentrer !

De plus, étant donné la représentation paramétrique qui caractérise la droite d, on en déduit que le point M de coordonnées (-2;0;2) appartient à d.

Il ne reste plus qu’à vérifier si ce point M appartient au plan (ABC) :

2x_M - y_M + 3z_M + 1 = 2 \times (-2) - 0 + 3 \times 2 + 1 = 3 \neq 0 donc le point M n’appartient pas au plan (ABC).

Cela nous permet de conclure :

d et (ABC) sont strictement parallèles.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1.

Exprimez vous!