Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl

Enoncé

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.

Question 1

On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl 2013-an-exo2-2

a. Donner une valeur approchée à 10^{-4} près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3.

La première question que vous devez vous poser est : « A quoi sert cet algorithme ? ».

La réponse est la suivante : cet algorithme sert à calculer le n-ième terme de la suite (u_n).

Comment tu sais ça, toi ?

Je le sais parce que j’ai décortiqué chacune des instructions de cet algorithme. Vous devez en faire de même à chaque fois qu’on vous en présente un. Examinons-le donc d’un peu plus près :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl 2013-an-exo2-1

  1. Ici, deux variables sont effectivement nécessaires :
    • la première variable, n, va contenir le rang de la suite demandé par l’utilisateur. Le rang étant un entier naturel, n va contenir un entier naturel donc il doit être défini comme un entier naturel.
    • la seconde variable, u, va contenir les différents termes de la suite. Comme (u_n) est une suite réelle, u va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
  2. On passe ensuite à l’initialisation des variables qui ont été créées à l’étape 1. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? » :
    • puisque l’algorithme permet de calculer le n-ième terme de la suite (u_n), la variable n doit être initialisée avec la valeur que va saisir l’utilisateur. D’où l’instruction « Demander la valeur de n » qui signifie que l’algorithme attend que l’utilisateur saisisse une valeur et que c’est cette valeur qui va être stockée dans n ;
    • quant à u, puisqu’elle contient les valeurs de la suite, elle doit bien sûr être initialisée avec la première valeur de la suite, à savoir 1.
  3. Passons maintenant à la phase de traitement.

    L’idée, c’est de calculer un par un les termes de la suite u_n du rang 1 au rang n en écrasant à chaque fois la valeur de la variable u. Les instructions à dérouler pour faire cela sont identiques à chaque rang, c’est pourquoi une boucle « Pour » est mise en place : elle permet de dérouler plusieurs fois le même ensemble d’instructions tout en mettant en place un « compteur », i, qui est automatiquement incrémenté à chaque passage dans la boucle afin de s’assurer qu’on ne passe dans la boucle que n fois.

    Reste à savoir quelle(s) instruction(s) doit (doivent) figurer dans cette boucle.

    Supposons que la valeur de u_n est stockée dans la variable u (car on a dit que u contenait les valeurs de la suite u_n). A partir du terme u_n, comment est-ce que j’obtiens u_{n+1} ?

    Il suffit d’appliquer la relation de récurrence indiquée dans l’énoncé, non ?

    Exactement : u_{n+1} = \sqrt{2u_n}

    Or, qui contient la valeur de u_n dans l’algorithme ?

    u !

    Donc, u_{n+1} s’écrit de la façon suivante en fonction des variables : u_{n+1} = \sqrt{2u}
    D’où, si u contient la valeur du terme de rang n, pour remplacer sa valeur par le terme de rang suivant, il suffit de lui affecter la valeur correspondant à \sqrt{2u}.

    D’où l’instruction « Affecter à u la valeur \sqrt{2u} » qui figure dans l’algorithme !

  4. L’instruction inscrite dans le bloc « Sortie » sert simplement à afficher le contenu de la variable u, une fois les traitements effectués. C’est elle qui permet d’afficher u_n.

Maintenant que vous avez compris cet algorithme, vous allez pouvoir répondre à la question :

Lorsque l’on choisit n = 3, les variables n et u sont respectivement initialisées à 3 et à 1.

  • à la fin du premier passage dans la boucle (i = 1), u vaut \sqrt{2 \times 1}
  • à la fin du deuxième passage dans la boucle (i = 2), u vaut \sqrt{2 \times \sqrt{2 \times 1}}
  • à la fin du troisième passage dans la boucle (i = 3), u vaut \sqrt{2 \times \sqrt{2 \times \sqrt{2 \times 1}}}

Ainsi, la valeur affichée par l’algorithme est la valeur que contient la variable u après ce troisième passage dans la boucle, soit \sqrt{2 \times \sqrt{2 \times \sqrt{2 \times 1}}}, ce qui vaut environ 1,8340.

b. Que permet de calculer cet algorithme ?

J’ai déjà indiqué la réponse à la question précédente :

L’algorithme permet de calculer le n-ième terme de la suite (u_n).

c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n :
Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl 2013-an-exo2-3

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (u_n) ?

Conjecturer le comportement d’une suite, c’est faire des hypothèses sur :

  • son sens de variation (croissante, décroissante ou « oscillante ») ;
  • son éventuelle convergence (auquel cas, il faut préciser la limite) ou divergence (vers +\infty ou -\infty).

Ici, cela donne :

La suite (u_n) semble croissante et converger vers 2.

Question 2

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~u_n \leq ~2.

Ici, on va utiliser le raisonnement par récurrence.

Ah bon ? Mais comment sais-tu qu’il faut utiliser le raisonnement par récurrence ?

A vrai dire, on n’a pas vraiment le choix. u_n est définie par récurrence : autrement dit, on ne connait pas (encore) d’expression « autonome » de u_n (c’est-à-dire une expression qui nous permettrait de calculer n’importe quel terme de la suite u_n sans avoir à calculer les termes qui le précèdent). Or, on nous demande ici de prouver une double-inégalité où u_n apparaît seul, sans u_{n+1}. La seule façon de démontrer cela est donc de le supposer au rang n et de montrer que cela est alors vrai au rang n+1 : c’est l’objet du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~u_n \leq ~2.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Initialisation
u_0 = 1 donc 0 ~\textless ~u_0 \leq ~2 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que 0 ~\textless ~u_k \leq ~2. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que 0 ~\textless ~u_{k+1} \leq ~2.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la première solution et partir de l’hypothèse de récurrence faisant intervenir u_k pour faire apparaître u_{k+1} :

D’après l’hypothèse de récurrence, on a 0 ~\textless ~u_k \leq ~2. On en déduit :

0 ~\textless ~2u_k \leq ~4

\sqrt{0} ~\textless ~\sqrt{2u_k} \leq ~\sqrt{4} car la fonction x \mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}_{+}

0 ~\textless ~u_{k+1} \leq ~2
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.

Pourquoi as-tu rajouté « car la fonction x \mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}_{+} » ?

Bonne question ! A cette ligne-là, on a appliqué la fonction x \mapsto \sqrt{x} à la double-inégalité. Or, rien ne nous permet a priori de conserver le sens des inégalités. En effet, qu’est-ce qui nous dit que c’est pas plutôt \sqrt{0} ~\textgreater ~\sqrt{2u_k} \geq ~\sqrt{4} qu’il faut écrire ?

Eh bien la réponse, c’est que la fonction x \mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}_{+}. En effet :

Soient a et b deux réels appartenant à l’intervalle I.

Soit f une fonction croissante (respectivement strictement croissante) sur I.
a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) \leq f(b) (respectivement a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) ~\textless ~f(b))
Soit f une fonction décroissante (respectivement strictement décroissante) sur I.
a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) \geq f(b) (respectivement a ~\textgreater ~b \Rightarrow f(a) ~\textgreater ~f(b))

Autrement dit :

Le sens des inégalités est conservé si on applique une fonction croissante. Il est inversé si on applique une fonction décroissante.

De plus, pour conserver le caractère strict des inégalités, il faut que la fonction appliquée soit strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur l’intervalle considéré.

Ici, la fonction x \mapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}_{+} d’où le fait qu’on conserve le sens des inégalités et le caractère strict de l’inégalité 0 ~\textless ~2u_k.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~u_n \leq ~2.

b. Déterminer le sens de variation de la suite (u_n).

Rappelons que notre conjecture, émise à la question 1. a., était que la suite (u_n) est probablement croissante. Montrons donc nous avions raison de conjecturer cela.

Le cours nous indique que :

Soit (u_n) une suite numérique.

  • (u_n) est croissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\geq ~0
  • (u_n) est décroissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\leq ~0

Si les inégalités sont strictes, la suite est dite respectivement « strictement croissante » et « strictement décroissante ».

Calculons donc u_{n+1} - u_n :

u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n} - u_n
Hum… pas facile de déterminer le signe de ce truc-là…

Effectivement… Personnellement, quand je tombe sur une expression comme ça où rien ne se dégage en particulier, je cherche à voir si je peux factoriser quelques éléments ou en regrouper certains. Ici, je me suis dit : « Si tu veux factoriser par quelque chose, tu peux factoriser par \sqrt{u_n}. » :

... = \sqrt{u_n}(\sqrt{2} - \sqrt{u_n})

Et là, la lumière fût car :

  • je connais le signe de \sqrt{u_n} : \sqrt{u_n} est positif ;
  • et je sais comparer \sqrt{2} et \sqrt{u_n} !
Que \sqrt{u_n} soit positif, ça d’accord puisqu’une racine carrée est toujours positive. Mais pour comparer \sqrt{2} et \sqrt{u_n}, tu fais comment exactement ?

On a vu à la question précédente que, pour tout n entier naturel, u_n \leq 2. N’est-il pas aisé alors de comparer \sqrt{2} et \sqrt{u_n} ?

Hum… Laisse-moi réfléchir… Donc, on sait que u_n \leq 2 et on cherche à comparer \sqrt{u_n} et \sqrt{2}. Il suffit d’appliquer la fonction x \mapsto \sqrt{x} non ?

Exactement ! Et alors ? Que pouvez-vous dire dans ce cas-là ?

La fonction x \mapsto \sqrt{x} est croissante sur \mathbb{R}_{+} donc l’ordre est conservé. D’où \sqrt{u_n} \leq \sqrt{2} !

Je ne l’aurais pas mieux dit :

Pour tout n entier naturel :

  • \sqrt{u_n} \geq 0 ;
  • d’après la question précédente, \sqrt{u_n} \leq \sqrt{2} donc \sqrt{u_n} \leq \sqrt{2} car la fonction x \mapsto \sqrt{x} est croissante sur \mathbb{R}_{+} d’où \sqrt{2} - \sqrt{u_n} \geq 0.
D’où, par produit, u_{n+1} - u_n \geq 0 : la suite (u_n) est croissante.

c. Démontrer que la suite (u_n) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

*Ironie* Ah bah ça alors ! On ne s’attendait pas du tout à cette question ! :p

Comment sais-tu que cette question allait forcément tomber ?

Je le sais parce que je connais ce théorème :

Toute suite croissante et majorée converge.

Or, l’énoncé nous a fait prouver que :

  • pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~u_n ~\leq ~2 ;
  • la suite (u_n) est croissante.
Ah ouais ! Donc la suite (u_n) est croissante et majorée (par 2) donc elle converge !

Eh bah voilà ! Vous voyez que c’était facile :

D’après les questions précédentes, la suite (u_n) est croissante et majorée (par 2) donc elle converge.

Il est à noter que le théorème dont nous venons de nous servir existe aussi dans « version décroissante » :

Toute suite décroissante et minorée converge.

Question 3

On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = ln u_n - ln 2.

a. Démontrer que la suite (v_n) est la suite géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme v_0 = -ln 2.

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (v_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

q est la raison de la suite (v_n).

Calculons donc \dfrac{v_{n+1}}{v_n} :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{ln u_{n+1} - ln 2}{ln u_{n} - ln 2} = \dfrac{ln \sqrt{2u_n} - ln 2}{ln u_{n} - ln 2}

Arrivé ici, on va avoir besoin de connaître quelques règles de calcul avec le logarithme népérien. J’en profite pour vous les rappeler tous :

Pour tout a \in \mathbb{R}_{+}^{*}, b \in \mathbb{R}_{+}^{*} et n \in \mathbb{Z} :

  • ln ~(ab) = ln ~a + ln ~b
  • ln ~\dfrac{a}{b} = ln ~a - ln ~b
  • ln ~a^n = n~ln ~a
  • ln ~\sqrt{a} = ln ~a^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}ln ~a
  • pour n ~\textgreater ~2, ln ~\sqrt[n]{a} = ln ~a^{\tfrac{1}{n}} = \dfrac{1}{n}ln ~a

Ici, cela nous permet donc de nous « débarrasser » de la racine carrée en utilisant ln ~\sqrt{a} = ln ~a^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}ln ~a :

... = \dfrac{\dfrac{1}{2}ln ~(2u_n) - ln 2}{ln ~u_{n} - ln ~2}

puis, la relation ln ~(ab) = ln ~a + ln ~b nous permet de traiter le cas de ln ~(2u_n) :

... = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left[ln ~2 + ln ~u_n\right] - ln 2}{ln ~u_{n} - ln ~2}

Il ne reste plus qu’à développer et à réduire le numérateur :

... = \dfrac{\dfrac{1}{2}ln ~2 + \dfrac{1}{2}ln ~u_n - ln 2}{ln ~u_{n} - ln ~2} = \dfrac{-\dfrac{1}{2}ln ~2 + \dfrac{1}{2}ln ~u_n}{ln ~u_{n} - ln ~2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left[ln ~u_n - ln ~2\right]}{ln ~u_{n} - ln ~2}

On peut alors conclure :

... = \dfrac{1}{2}
Donc la suite (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{2}.

b. Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de v_n en fonction de n, puis de u_n en fonction de n.

Ces deux questions, contenues dans une seule, sont ULTRA classiques ! Certains sujets vous demandent même directement d’exprimer u_n en fonction de n et s’attendent à ce que vous sachiez que pour y arriver, il faut d’abord exprimer v_n en fonction de n.

Commençons donc par exprimer v_n en fonction de n puis nous passerons à u_n.

Expression de v_n en fonction de n

Etant donné que la suite (v_n) est géométrique de raison q, il est facile d’en donner une expression en fonction de n. En effet, votre cours vous indique que :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Autrement dit, v_n = v_0 q^n mais on pourrait également écrire v_n = v_1 q^{n-1} ou encore v_n = v_2 q^{n-2} etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer v_n en fonction de son terme initial, ici v_0 (car la suite (v_n) est définie pour n entier naturel). Donc on peut écrire :

D’après la question précédente, (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{2} donc on a v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = -ln ~2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.

Expression de u_n en fonction de n

L’idée est toujours la même. Il faut partir de l’expression de v_n en fonction de u_n et en tirer l’expression de u_n :

v_n = ln ~u_n - ln ~2 donc on a :
ln ~u_n = v_n + ln ~2
ln ~u_n = -ln ~2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + ln ~2

Toujours le même réflexe, on factorise ce qui peut l’être. Donc ici, on factorise par ln ~2 (qu’on place à la fin parce que ça fait plus « joli ») :

ln ~u_n = \left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)ln ~2
Et comment on se débarrasse du « ln » qui est devant u_n alors ?

…en appliquant l’exponentielle !

e^{ln ~u_n} = e^{\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)ln ~2}

Ca a l’air moche comme ça, mais en fait, pas du tout :

  • pour tout x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, e^{ln ~x} = x
  • pour tout a \in \mathbb{R}_{+}^{*} et pour tout x \in \mathbb{R}, a^x = e^{xln ~a}

Muni de ce rappel de cours, on obtient directement que e^{ln ~u_n} = u_n. Quant à e^{\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)ln ~2}, il faut bien repérer qui joue le rôle de quoi par rapport au cours :

  • 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n joue le rôle de x
  • 2 joue le rôle de a

Donc e^{\underbrace{\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)}_x ln ~\underbrace{2}_a} = {\underbrace{2}_a}^{\overbrace{\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)}^x}

Donc on peut écrire :

u_n = 2^{\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)}

c. Déterminer la limite de la suite (u_n).

L’expression de u_n doit absolument vous faire penser à la partie de cours suivante :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

On va utiliser ce rappel de cours pour calculer la limite de \left(\dfrac{1}{2}\right)^n lorsque n tend vers l’infini :

0 ~\textless ~\dfrac{1}{2} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0

On en déduit :

Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 1 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = 2.

d. Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u_n ~\textgreater ~1,999 :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl 2013-an-exo2-4

Ce que l’on va faire, c’est qu’on va faire calculer à l’algorithme tous les termes de la suite (u_n) jusqu’à ce que l’on dépasse 1,999. Dès qu’on aura dépassé 1,999, on arrêtera le calcul et on affichera le rang de la suite correspondant. C’est parti :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl 2013-an-exo2-5

  1. Ici, deux variables sont effectivement nécessaires :
    • comme précédemment, u, va contenir les différents termes de la suite. Comme (u_n) est une suite réelle, u va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
    • n, lui, ne va plus contenir le seul rang saisi par l’utilisateur mais l’ensemble des rangs de la suite. Comme pour u, n ne contient qu’un seul rang à la fois. Si un nouveau rang vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu » à jamais. Malgré tout, le rang étant toujours un entier naturel, n va contenir des entiers naturels donc il doit être défini, comme dans l’algorithme original, comme un entier naturel.
  2. On passe ensuite à l’initialisation des variables qui ont été créées à l’étape 1. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? » :
    • pas de changement pour u : puisqu’elle contient, une fois encore, les valeurs de la suite, elle doit être initialisée de la même façon, avec la première valeur de la suite, à savoir 1 ;
    • pour n par contre, ce n’est plus pareil. Cette fois-ci, on ne souhaite plus que ce soit l’utilisateur qui saisisse sa valeur. Puisque n va contenir les différents rangs de la suite, il faut l’initialiser avec le premier rang possible, à savoir  0 .
  3. Passons maintenant à la phase de traitement.

    Comme je l’ai dit un peu plus haut, l’idée est de calculer un par un les termes de la suite u_n jusqu’à ce que l’on dépasse 1,999, en écrasant à chaque fois la valeur de la variable u. Les instructions à dérouler pour faire cela sont identiques à chaque rang et on doit les dérouler tant que la valeur stockée dans la variable u est inférieure ou égale à 1,999. Ainsi, il faut mettre une boucle « Tant que » : elle permet de dérouler plusieurs fois le même ensemble d’instructions tant que la condition posée, « u est inférieure ou égale à 1,999 », est respectée. L’instruction correspondante est « Tant que u \leq 1,999 » (1) et il faut fermer la boucle grâce à l’instruction « Fin Tant que » (1′).

    Reste à savoir quelle(s) instruction(s) doit (doivent) figurer dans cette boucle :

    • Il faut bien sûr une instruction pour calculer les différents termes de la suite. C’est la même instruction que dans l’algorithme original : « Affecter à u la valeur \sqrt{2u} » (2);
    • mais on ne peut pas s’arrêter là. Si on n’ajoutait rien de plus dans la phase de traitement, n ne changerait jamais et vaudrait toujours  0 ! Or, c’est justement le rang de la suite, à chaque passage dans la boucle, qui nous intéresse ! Pour que n reflète effectivement le rang du terme calculé, il faut l’augmenter de 1 à chaque passage dans la boucle (on dit qu’il faut « incrémenter » n). D’où la nécessité d’ajouter l’instruction suivante : « Affecter à n la valeur n + 1 » (3).
  4. Occupons-nous maintenant de la sortie. Ce que l’on cherche, ce n’est non plus à afficher une valeur de la suite, mais à afficher le rang qui est contenu dans la variable n après être passé dans la boucle « Tant que ». Il faut donc afficher n : l’instruction à mettre dans le bloc « Sortie » est « Afficher n » (4).

Au final, l’algorithme demandé est le suivant :

Variables n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation Affecter à n la valeur  0
Affecter à u la valeur 1
Traitement Tant que u \leq 1,999 (1)

Affecter à u la valeur \sqrt{2u} (2)
Affecter à n la valeur n + 1 (3)
 
Fin Tant que(1′)
Sortie Afficher n (4)

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 2 Obl.

Exprimez vous!