Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 3

Enoncé

Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance \mu = 400 et d’écart-type \sigma = 11.

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 3 2013-an-exo3-1

Question 1

Calculer P(390 \leq X \leq 410).

Et une question de cours pour commencer, une !

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale.
P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a).

Ici, en se servant du tableau de valeurs fourni par l’énoncé, cela donne donc :

P(390 \leq X \leq 410) = P(X \leq 410) - P(X \leq 390) = 0,818 - 0,182 = 0,636

Question 2

Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

La première question que vous devez vous poser est : « Qu’est-ce qu’un pain commercialisable ? ». La réponse se trouve dans l’énoncé :

Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

Or, X représente la masse d’un pain donc, la probabilité qu’un pain soit commercialisable correspond à la probabilité que X soit supérieur ou égal à 385.

OK mais l’énoncé nous fournit uniquement P(X \leq 385)

Aucun problème ! En effet, votre cours vous indique très certainement que :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale et a un réel positif ou nul.
P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a).

Donc on peut écrire :

La probabilité qu’un pain soit commercialisable vaut :
P(X \geq 385) = 1 - P(X \leq 385) = 1 - 0,086 = 0,914.

Question 3

Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de \sigma sans modifier celle de \mu.

Pour quelle valeur de \sigma la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1, on a P(Z \leq -1,751) \simeq 0,040.

Commençons par traduire « mathématiquement » ce que souhaite le fabriquant. Comme on l’a vu à la question précédente, la probabilité qu’un pain soit commercialisable vaut P(X \geq 385) donc on peut écrire :

Le fabriquant cherche la valeur de \sigma telle que P(X \geq 385) = 0,96, soit 1 - P(X \leq 385) = 0,96, ce qui nous donne P(X \leq 385) = 0,04.

Vous remarquerez que j’ai introduit P(X \leq 385) à la place de P(X \geq 385). Cela n’est pas anodin : non seulement le tableau de valeurs fourni au début de l’énoncé ne fait intervenir que des probabilités du type P(X \leq x), mais en plus, l’indication donnée à cette question fait, elle aussi, intervenir le signe « \leq ».

D’accord. Mais comment je vais pouvoir déterminer \sigma alors qu’il n’intervient nul part ?

Bonne question… Me posant moi-même la question, j’ai relu la seule chose qui était à ma disposition, à savoir, l’indication de l’énoncé :

On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1, on a P(Z \leq -1,751) \simeq 0,040.

Et là, je me suis souvenu de la chose suivante :

Une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 est appelée « loi normale centrée réduite ».

Autrement dit, l’énoncé introduit subtilement, pour nous aider, la notion de loi normale centrée réduite.

Oui mais X suit une loi normale « tout court », pas une loi normale centrée réduite !

Justement ! C’est ça qui nous permet de nous en sortir ! Car :

Si la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma, alors la variable aléatoire \dfrac{X - \mu}{\sigma} suit une loi normale centrée réduite.

Faisons donc apparaître cette variable aléatoire \dfrac{X - \mu}{\sigma} :

P(X \leq 385) = 0,04 \Leftrightarrow P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma} \leq \dfrac{385 - \mu}{\sigma}\right) = 0,04.

Bien sûr, puisque j’ai soustrait \mu à X et que j’ai divisé le tout par \sigma, alors j’ai pris le soin de faire les mêmes opérations à 385… Cela nous permet de faire le lien avec l’indication de l’énoncé :

Or, l’énoncé nous indique que si Z est une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, alors P(Z \leq -1,751) \simeq 0,040. Ainsi, puisque X suit une loi normale de paramètres \mu et \sigma, alors \dfrac{X - \mu}{\sigma} suit une loi normale centrée réduite, d’où P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma} \leq -1,751\right) = 0,040.
Ah ! On a fait apparaître \mu mais ça ne nous dit pas comment déterminer la valeur souhaitée !

On y est presque ! Si je résume, voici ce que l’on a obtenu :
\begin{cases}P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma} \leq \dfrac{385 - \mu}{\sigma}\right) = 0,04 \\P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma} \leq -1,751\right) = 0,04\end{cases}.

…donc \dfrac{385 - \mu}{\sigma} = -1,751, non ?

Exactement !

Donc \dfrac{385 - \mu}{\sigma} = -1,751 d’où \sigma = \dfrac{385 - \mu}{-1,751} = \dfrac{385 - 400}{-1,751} = 8,6.

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.

Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

Question 1

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300.

C’est parti pour cette question de cours classique ! Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont F représente la fréquence constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.
« Choisir un pain » est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « le pain est commercialisable », de probabilité p = P(X \geq 385) = 0,96 ou « le pain n’est pas commercialisable », de probabilité 1 - p = 0,04. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « le pain est commercialisable ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, F représente la fréquence de vannes défectueuses « dans un échantillon aléatoire de 300 pains pris au hasard. Donc cela peut être assimilé à 300 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 300 et p = 0,96.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :

  • n = 300 \ge 30
  • np = 300 \times 0,96 = 288 \ge 5
  • n(1 - p) = 300 \times (1 - 0,96) = 12 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F vaut I_{300} = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,938 ; 0,982].

Question 2

Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables.
Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l’objectif a été atteint ?

Pour répondre, il suffit de retenir la chose suivante :

Si, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité annoncée est considérée comme exacte. Sinon, la probabilité annoncée est considérée comme inexacte.

Calculons donc la fréquence des succès dans l’échantillon prélevé pour le contrôle qualité :

Sur les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables donc la fréquence des succès vaut \dfrac{283}{300} = 0.943 \in I_{300}. D’où l’objectif a été atteint.

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda.

Question 1

On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de \lambda arrondie au millième.

Dans toute la suite on prendra \lambda = 0,003.

Après nous avoir fait manipuler une loi normale, l’exercice nous propose maintenant de manipuler une loi exponentielle avec, comme première question, la détermination du paramètre \lambda.

Voyons quelles indications nous fournit la question :

On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913.

Autrement dit, étant donné que Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est représenté par la variable aléatoire T, on a :

D’après l’énoncé, P(T \geq 30) = 0,913.

Après avoir exploité l’énoncé, il est temps de faire appel à votre connaissance du cours :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda, et a un réel positif ou nul.
P(X \leq a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]^{a}_{0} = 1 - e^{-\lambda a}.
Oui mais l’exploitation des données de l’énoncé a fait apparaître une probabilité de la forme P(T \geq a) et non pas de la forme P(T \leq a).

C’est vrai. Mais cela n’est pas un problème si on sait également que :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle et a un réel positif ou nul.
P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a).

Ainsi, on peut écrire :

P(T \geq 30) = 0,913 \Leftrightarrow 1 - P(T \leq 30) = 0,913

\Leftrightarrow 1 - (1 - e^{-30\lambda}) = 0,913
\Leftrightarrow e^{-30\lambda} = 0,913

Et là, réflexe :

Pour se « débarrasser » de l’exponentielle, il faut appliquer le logarithme népérien car, pour tout x \in \mathbb{R}, ln(e^{x}) = x.

Ici, cela donne :

... \Leftrightarrow ln(e^{-30\lambda}) = ln(0,913)

\Leftrightarrow -30\lambda = ln(0,913)

 

\Leftrightarrow \lambda = \dfrac{ln(0,913)}{-30}

 

\Leftrightarrow \lambda = 0,003

Vous devez remarquer que la valeur que nous trouvons pour \lambda correspond à la valeur de \lambda proposée par l’énoncé pour la suite de l’exercice. Si cela n’avait pas été le cas pour vous, vous auriez eu à vous interroger sur l’exactitude de votre raisonnement et/ou de vos calculs.


Question 2

Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?

Ce que l’on nous demande, c’est de calculer la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours, soit Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 3 2013-an-exo3-2

Il s’agit donc de calculer une probabilité conditionnelle. Or, qui dit « probabilité conditionnelle », dit :

P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

Ici, cela donne :

P_{T \geq 60}(T \geq 90) = \dfrac{P((T \geq 90) \cap (T \geq 60))}{P(T \geq 60)}

Il convient alors de remarquer que :

Or, si la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, alors elle a fonctionné sans dérèglement après 60 jours. Donc l’événement T \geq 90 est inclus dans l’événement T \geq 60.

Un élément de cours doit ensuite immédiatement vous venir à l’esprit :

Soient A et B deux événements tels que A est inclus dans B.
P(A \cap B) = P(A).

On en déduit :

Donc P((T \geq 90) \cap (T \geq 60)) = P(T \geq 90).

Cela nous permet de poursuivre nos calculs :

D’où P_{T \geq 60}(T \geq 90) = \dfrac{P(T \geq 90)}{P(T \geq 60)}

A nouveau, pour calculer des probabilités du type P(X \geq a), on applique la formule P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a). Ici, cela donne :

... = \dfrac{1 - P(T \leq 90)}{1 - P(T \leq 60)} = \dfrac{1 - (1 - e^{-90\lambda})}{1 - (1 - e^{-60\lambda})} = \dfrac{e^{-90\lambda}}{e^{-60\lambda}} = \dfrac{e^{-90 \times 0,003}}{e^{-60 \times 0,003}} = 0,914.

Question 3

Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?

Le fait qu’il y ait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an correspond à :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 3 2013-an-exo3-3

Pour savoir si le vendeur a raison ou tort, déterminons donc la durée maximale t_{max} telle que P(T \geq t_{max}) = 0,5. Si :

  • la valeur trouvée est supérieure à 365, cela signifie que la balance tient plus d’un an avant d’avoir une chance sur deux de se dérégler : le vendeur aura donc raison ;
  • la valeur trouvée est inférieure à 365, cela signifie que la balance tient moins d’un an avant d’avoir une chance sur deux de se dérégler : le vendeur aura donc tort.
P(T \geq t_{max}) = 0,5 \Leftrightarrow 1 - P(T \leq t_{max}) = 0,5

\Leftrightarrow 1 - (1 - e^{-\lambda t_{max}}) = 0,5

\Leftrightarrow e^{-\lambda t_{max}} = 0,5

\Leftrightarrow -\lambda t_{max} = ln ~0,5

\Leftrightarrow t_{max} = \dfrac{ln ~0,5}{-\lambda}

\Leftrightarrow t_{max} = \dfrac{ln ~0,5}{-0,003}

\Leftrightarrow t_{max} = 231

Donc le vendeur a tort : ce n’est pas au bout d’un an, mais au bout de seulement 231 jours que la balance a une chance sur deux de se dérégler.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 3.

Exprimez vous!