Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4

Enoncé

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +\infty [ par f(x) = \dfrac{1 + ln(x)}{x^2} et soit \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe \mathcal{C} est donnée ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-1

Question 1

a. Étudier la limite de f en  0 .

Lorsque l’on doit calculer la limite d’une fraction, avant de « se casser la tête », on essaie de faire ça le plus simplement possible. On calcule donc tranquillement la limite du numérateur puis la limite du dénominateur et on voit ce que ça donne.
Limite au numérateur

Votre cours vous indique que :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~ln~x = - \infty

Vous remarquerez que je n’ai pas simplement écrit \lim\limits_{\substack{x \to 0}} mais \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}} : en effet, la fonction f n’étant définie que sur ]0~;~+\infty[, elle ne peut tendre vers 0 qu’avec x~ \textgreater ~0. Il faut donc écrire :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~ln(x) = - \infty donc \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~1 + ln(x) = - \infty

Limite au dénominateur

Au dénominateur, c’est super facile : \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~x^2 = 0 ! T’as vu ? J’ai même pensé au x~ \textgreater ~0 !

Eh bien cela ne suffit pas ! Gardez toujours à l’esprit que :

Dès lors que l’on calcule la limite d’une fraction et que le dénominateur tend vers 0, il faut indiquer s’il tend vers 0^+ (c’est-à-dire « tend vers  0 en étant positif ») ou 0^- (c’est-à-dire « tend vers  0 en étant négatif »).

Ici, quelle que soit la façon dont x tend vers  0 (que ce soit par valeurs positives ou par valeurs négatives), x^2 reste toujours positif, d’où :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~x^2 = 0^+

Or, vous savez d’après votre cours que :

Si f tend vers -\infty et g tend vers 0^+, alors \dfrac{f}{g} tend vers -\infty.

Vous pouvez donc conclure :

D’où \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty

b. Que vaut \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{ln(x)}{x} ? En déduire la limite de la fonction f en +\infty.

Répondons d’abord à la question de cours. Vous devez connaître sur le bout des doigts ce que l’on appelle les « croissances comparées » :

Pour tout entier naturel n non nul,

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x^n} = 0
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}~x^nln~x = 0
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x^ne^x = 0

En considérant la première des croissances comparées avec n = 1, on a donc :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{ln(x)}{x} = 0

Passons à la limite de f en +\infty.

Alors, pour le numérateur, je sais d’après mon cours que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~ln(x) = +\infty donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~1 + ln(x) = +\infty. Au dénominateur, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~x^2 = +\infty. L’infini sur l’infini, ça fait…

…ça fait rien du tout ! Mettez-vous dans la tête que :

\dfrac{\infty}{\infty} est une forme indéterminée, quels que soient les signes qui sont devant les \infty !

Et quand on tombe sur une forme indéterminée, ce n’est pas grave ! Il faut juste exprimer la fonction dont on cherche à déterminer la limite d’une manière différente. Et ici, l’énoncé est « super sympa » puisqu’il vous met sur la piste ! Ce n’est pas pour rien qu’il vous a demandé la limite en +\infty de \dfrac{ln(x)}{x}… Faisons apparaître \dfrac{ln(x)}{x} !

Pour tout x ~\textgreater ~0, f(x) = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}.
Tiens, pourquoi tu décomposes \dfrac{ln(x)}{x^2} en \dfrac{ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x} ? Avec les croissances comparées, tu sais donner directement la limite de \dfrac{ln(x)}{x^2} en +\infty non ?

C’est vrai ! Mais l’énoncé nous a demandé auparavant la limite de \dfrac{ln(x)}{x}. Le concepteur du sujet semble donc penser que vous ne connaissez les croissances comparées que pour n = 1. On va donc faire comme s’il avait raison. Il est important de toujours montrer au correcteur que vous avez compris l’esprit du sujet.

Etant donné comment nous avons décomposé f, calculer sa limite en +\infty devient un jeu d’enfant :

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{1}{x^2} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln(x)}{x} = 0 et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{1}{x} = 0 donc par produit, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln(x)}{x^2} = 0
Donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = 0.

c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe \mathcal{C}.

Déduire les asymptotes une fois qu’on a calculé les limites d’une fonction est assez simple. Il suffit de se souvenir que :

  • Asymptote verticale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d’équation x = a si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty ou \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = -\infty. Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-p-exo1-2
  • Asymptote horizontale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote horizontale la droite d’équation y = b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = b). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-p-exo1-1
  • Asymptote oblique
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote oblique la droite d’équation y = ax + b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-p-exo1-3

Ici, on a :

  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty : on se trouve dans le cas \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = -\infty, avec a = 0 ;
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = 0 : on se trouve dans le cas \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b, avec b = 0.

Donc on peut écrire :

  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty donc la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe \mathcal{C} ;
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = 0 donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C}.

Question 2

a. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +\infty[. Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; +\infty[,

f.

C’est parti pour un calcul de dérivée. Ici, on a affaire à une fraction, donc une seule formule doit vous venir en tête :

\left(\dfrac{u}{v}\right)

  • x \mapsto 1 + ln(x) joue le rôle de la fonction u ;
  • x \mapsto x^2 joue le rôle de la fonction v.

Sachant de plus que :

Pour tout x \in ~]0 ; +\infty[, ln

on peut écrire :

Pour tout x \in ]0 ; +\infty[,
f
Est-ce si important d’écrire « Pour tout x > 0 » ?

La réponse est oui. En toute rigueur, avant de calculer quelle que dérivée que ce soit, vous devriez déterminer l’ensemble de définition de cette dérivée. Il se trouve que ce savoir-faire n’est pas exigible. Du coup, l’énoncé vous indique l’ensemble de définition de la dérivée (ici, \mathbb{R}^*_+). Il convient donc de rappeler au correcteur que vous êtes conscient(e) que vos calculs ne sont valables que sur l’ensemble de définition de la dérivée.

Reprenons les calculs. Arrivé à ce stade, vous devez absolument avoir le réflexe suivant :

Lors du calcul d’une dérivée, il faut toujours indiquer la forme la plus factorisée possible.
Ah bon ? Pourquoi ?

Parce que :

  • la factorisation permet parfois de simplifier le résultat ;
  • la question suivante consiste généralement à étudier le signe de la dérivée : cette étude de signes n’est possible que si l’expression de la dérivée a été factorisée.

Ici, cela donne donc :

... = \dfrac{x(-1 - 2ln(x))}{x^4} = \dfrac{-1 - 2ln(x)}{x^3}

On obtient bien l’expression de la dérivée indiquée par l’énoncé.

b. Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +\infty[ l’inéquation -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0.
En déduire le signe de f sur l’intervalle ]0 ; +\infty[.

Cette question est la suite logique de l’énoncé : après avoir calculé la dérivée, il s’agit maintenant d’étudier son signe… quoi de plus classique !

Pour étudier le signe d’une fraction, on étudie les signes de son numérateur et de son dénominateur. L’énoncé nous suggère de commencer par le signe du numérateur en résolvant l’inéquation -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0 sur l’intervalle ]0 ; +\infty[ :

-1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0 \Leftrightarrow -1 ~\textgreater ~2ln(x)

\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} ~\textgreater ~ln(x)

Et là, réflexe :

Pour se « débarrasser » du logarithme népérien, il faut appliquer l’exponentielle car, pour tout x \in \mathbb{R^*_+}, e^{ln(x)} = x.

Ici, cela donne :

... \Leftrightarrow e^{-\dfrac{1}{2}} ~\textgreater ~e^{ln(x)} car la fonction x \mapsto e^{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Leftrightarrow e^{-\dfrac{1}{2}} ~\textgreater ~x
Pourquoi as-tu rajouté « car la fonction x \mapsto e^{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}» ?

Bonne question ! A cette ligne-là, on a appliqué la fonction x \mapsto e^{x} à l’inégalité. Or, rien ne nous permet a priori de conserver le sens des inégalités. En effet, qu’est-ce qui nous dit que c’est pas plutôt e^{-\dfrac{1}{2}} ~\textless ~e^{ln(x)} qu’il faut écrire ?

Eh bien la réponse, c’est que la fonction x \mapsto e^{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}. En effet :

Soient a et b deux réels appartenant à l’intervalle I.

Soit f une fonction croissante (respectivement strictement croissante) sur I.
a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) \leq f(b) (respectivement a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) ~\textless ~f(b))
Soit f une fonction décroissante (respectivement strictement décroissante) sur I.
a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) \geq f(b) (respectivement a ~\textgreater ~b \Rightarrow f(a) ~\textgreater ~f(b))

Autrement dit :

Le sens des inégalités est conservé si on applique une fonction croissante. Il est inversé si on applique une fonction décroissante.

De plus, pour conserver le caractère strict des inégalités, il faut que la fonction appliquée soit strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur l’intervalle considéré.

Ici, la fonction x \mapsto e^{x} est strictement croissante sur \mathbb{R} d’où le fait qu’on conserve le sens des inégalités et le caractère strict de l’inégalité e^{-\dfrac{1}{2}} ~\textgreater ~e^{ln(x)}.

Tout cela nous permet de conclure que :

…que -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0 sur l’intervalle \left]-\infty ; e^{-\dfrac{1}{2}}\right[ !.

Eh non ! Attention ! -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0 est définie sur ]0 ; +\infty[ uniquement ! Donc la réponse exacte est :

D’où, -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0 sur l’intervalle \left]0 ; e^{-\dfrac{1}{2}}\right[.

…et non pas \left]-\infty ; e^{-\dfrac{1}{2}}\right[ !

Maintenant que l’on a résolu l’inéquation -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0, répondons à la deuxième partie de la question qui consiste à déterminer le signe de f.

En fait, le signe de f ne peut pas être déterminé directement car on ne connaît pas le signe de x \mapsto -1 - 2ln(x) sur ce qui reste de son intervalle de définition, à savoir \left[e^{-\dfrac{1}{2}} ; +\infty\right[ :

Pour déterminer le signe d’un facteur u(x) qui n’est pas de la forme ax + b, il faut résoudre, sur son intervalle de définition :
  • les inéquations u(x) ~\textgreater ~0 et u(x) ~\textless ~0 ;
  • l’équation u(x) = 0.

Autant on sait directement déterminer le signe d’expressions de la forme ax + b dans un tableau de signes (comme 2x + 1, x - 3, -4x + 7…), autant il faut en passer par le réflexe ci-dessus si la fonction n’est pas de cette forme… en particulier si elle contient les fonctions exponentielle ou logarithme népérien !

Autant on sait directement déterminer le signe d’expressions de la forme ax + b dans un tableau de signes (comme 2x + 1, x - 3, -4x + 7…), autant il faut en passer par le réflexe ci-dessus si la fonction n’est pas de cette forme… en particulier si elle contient les fonctions exponentielle ou logarithme népérien !

Résolvons donc l’inéquation -1 - 2ln(x) ~\textless ~0 :

-1 - 2ln(x) ~\textless ~0 \Leftrightarrow -1 ~\textless ~2ln(x)

\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} ~\textless ~ln(x)
\Leftrightarrow e^{-\dfrac{1}{2}} ~\textless ~e^{ln(x)} car la fonction x \mapsto e^x est strictement croissante sur \mathbb{R}
\Leftrightarrow e^{-\dfrac{1}{2}} ~\textless ~x
Donc -1 - 2ln(x) ~\textless ~0 sur \left]e^{-\dfrac{1}{2}} ; +\infty\right[.

Puis résolvons l’équation -1 - 2ln(x) = 0 :

-1 - 2ln(x) = 0 \Leftrightarrow -1 = 2ln(x)

\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} = ln(x)

\Leftrightarrow e^{-\dfrac{1}{2}} = e^{ln(x)}

\Leftrightarrow e^{-\dfrac{1}{2}} = x
Donc -1 - 2ln(x) = 0 pour x = e^{-\dfrac{1}{2}}.

Donc, si on récapitule :

  • -1 - 2ln(x) ~\textgreater ~0 sur \left]0 ; e^{-\dfrac{1}{2}}\right[ ;
  • -1 - 2ln(x) = 0 pour x = e^{-\dfrac{1}{2}} ;
  • -1 - 2ln(x) ~\textless ~0 sur \left]e^{-\dfrac{1}{2}} ; +\infty\right[.

Arrivé à ce stade, on a presque tous les éléments pour dresser le tableau de signes de f. Il ne reste plus qu’à étudier le signe de x^3 sur \mathbb{R}_{+}^{*}. Et ça, ça doit être immédiat pour vous ! En effet, la fonction x \mapsto x^3 est une fonction de référence donc vous devez savoir par coeur que :

La fonction x \mapsto x^3 est :
  • strictement négative sur ]-\infty ; 0[ ;
  • égale à  0 pour x = 0 ;
  • strictement positive sur ]0 ; +\infty[.

Ainsi, il faut écrire que :

De plus, x^3 ~\textgreater ~0 sur ]0 ; +\infty[.

Etant donné le signe de x^3 sur l’intervalle d’étude, vous pouvez alors appliquer l’astuce suivante :

Si l’un des facteurs de l’expression dont on étudie le signe est strictement positif sur l’intervalle d’étude, alors le signe de l’expression considérée ne dépend pas de ce facteur.

On peut donc faire remarquer que :

Donc le signe de f ne dépend pas du signe de x^3.

Cela nous permet de dresser le tableau de signes de f :

\begin{array}{|l|cccccc|}\hline x & 0 & & & e^{-\dfrac{1}{2}} & & +\infty \\\hline -1 - 2ln(x) & \vline\ \vline & & + & 0 & - & \\\hline f

c. Dresser le tableau des variations de la fonction f.

L’énoncé nous a déjà beaucoup guidé pour établir ce tableau de variations. Cependant, comme il s’agit d’une question ultra-classique et que tous les énoncés ne vous guident pas autant, je vais vous présenter la démarche que vous devez systématiquement adopter pour y répondre.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de ]0 ; +\infty[.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.

Nous avons calculé f à la question 2. a. : f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Cela aussi, nous l’avons déjà fait : nous avons en effet mentionné que la fonction x \mapsto x^3 n’avait pas d’influence sur le signe de f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x) = 0 ».

Comme le signe de f ne dépend que du signe de -1 - 2ln(x), il s’agit donc de calculer les racines de x \mapsto -1 - 2ln(x) uniquement.

Et ça, on l’a fait à la question précédente : -1 - 2ln(x) = 0 pour x = e^{-\dfrac{1}{2}}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Calculons donc f\left(e^{-\dfrac{1}{2}}\right) :

f\left(e^{-\dfrac{1}{2}}\right) = \dfrac{1 + ln\left(e^{-\dfrac{1}{2}}\right)}{\left(e^{-\dfrac{1}{2}}\right)^2} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{2}}{e^{-{1}}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{e}} = \dfrac{e}{2}.

Vous remarquerez que pour effectuer ce calcul, j’ai utilisé les propriétés suivantes :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, ln (e^x) = x ;
  • Pour tout x \in \mathbb{R} et pour tout n \in \mathbb{N}, (e^x)^n = e^{nx} ;
  • Pour tout n \in \mathbb{N}, e^{-n} = \dfrac{1}{e^n}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, les bornes de l’ensemble de définition sont  0 et +\infty, avec  0 seule valeur interdite sur cet ensemble donc il suffit de calculer les limites de f en  0 et en +\infty.

Ah bah, ça aussi on l’a fait ! C’était même l’objet des deux premières questions : \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = 0.

Quand je vous disais que l’exercice nous avait pas mal guidé pour établir le tableau de variation de f

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors f est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors f est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|cccccc|}\hline x & 0 & & & e^{-\dfrac{1}{2}} & & +\infty \\\hline f

Question 3

a. Démontrer que la courbe \mathcal{C} a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

Retenez que :

Les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative \mathcal{C}_f d’une fonction f sont les solutions de l’équation f(x) = 0.

Ici, cela donne :

f(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1 + ln(x)}{x^2} = 0

Or :

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

Donc on peut écrire :

... \Leftrightarrow 1 + ln(x) = 0

\Leftrightarrow ln(x) = -1
\Leftrightarrow e^{ln(x)} = e^{-1}
\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e}

Cela nous permet de conclure :

L’équation f(x) = 0 admet une unique solution donc il existe un unique point d’intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des abscisses. Ce point d’intersection a pour coordonnées \left(\dfrac{1}{e};0\right).

b. En déduire le signe de f(x) sur l’intervalle ]0 ; +\infty[.

Pour déterminer le signe de f(x) sur ]0 ; +\infty[, il faut s’intéresser à son tableau de variation.

Insérons schématiquement la valeur \dfrac{1}{e} que nous avons trouvée à la question précédente dans ce tableau. En remarquant que \dfrac{1}{e} = e^{-1} et que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on a que :

-1 ~\textless ~-\dfrac{1}{2} \Rightarrow e^{-1} ~\textless ~e^{-\dfrac{1}{2}}

donc \dfrac{1}{e} est à insérer entre  0 et e^{-\dfrac{1}{2}} :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-2

Une lecture attentive de ce tableau de variation complété permet alors de déterminer le signe de f sur l’intervalle ]0 ; +\infty[ :

En remarquant que 0 ~\textless ~\dfrac{1}{e} ~\textless ~e^{-\dfrac{1}{2}}, on a :
  • pour x \in \left]0 ; \dfrac{1}{e}\right[, f(x) \in ]-\infty ; 0[ donc f(x) ~\textless 0 ;
  • pour x = \dfrac{1}{e}, f(x) = 0 ;
  • pour x \in \left]\dfrac{1}{e} ; +\infty\right[, f(x) \in \left]0 ; \dfrac{e}{2}\right[ donc f(x) ~\textgreater 0.
Pourquoi exclus-tu  0 des valeurs de f sur l’intervalle \left]\dfrac{1}{e} ; +\infty\right[ ?

Parce que, sur cet intervalle, d’après le tableau de variation, f n’« atteint »  0 qu’en +\infty : autrement dit, il ne l’atteint jamais !


Question 4

Pour tout entier n ~\textgreater ~1, on note I_n l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe \mathcal{C} et les droites d’équations respectives x = \dfrac{1}{e} et x = n.

a. Démontrer que 0 \leq I_2 \leq e - \dfrac{1}{2}.

Vous devez absolument connaître l’interprétation graphique d’une intégrale :

\int_{a}^{b} f(x)\,dx est interprétée comme l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b :
Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme des aires jaune et bleu.

Ainsi, I_2 c’est :

  • comme l’indique l’énoncé, l’aire exprimée en unités d’aires du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe \mathcal{C} et les droites d’équations respectives x = \dfrac{1}{e} et x = 2 (puisque n = 2) ;
  • mais aussi \int_{1/e}^{2} f(x)\,dx.

Il s’agit donc d’encadrer \int_{1/e}^{2} f(x)\,dx.

Pour encadrer une intégrale \int_{a}^{b} f(x)\,dx, il faut d’abord encadrer f sur l’intervalle [a ; b].
Et pour encadrer f, il faut partir de a \leq x \leq b et, par encadrements successifs, parvenir à un encadrement de f(x) non ?

C’est une bonne idée et cela pourrait marcher dans d’autres cas. Mais ici, vous n’y arriverez pas car x se situe à la fois au numérateur et au dénominateur de f(x).

Il faut donc trouver un autre moyen d’encadrer f(x). Et c’est là que le tableau de variation de f peut nous aider. Plaçons x = 2 sur ce tableau :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-4

A la lecture de ce tableau de variation, on peut voir que :

D’après le tableau de variation de f, pour tout x \in \left[\dfrac{1}{e} ; 2\right], f(x) \in \left[0 ; \dfrac{e}{2}\right]. Donc 0 \leq f(x) \leq \dfrac{e}{2}.

« Passons à l’intégrale » cet encadrement de f(x). Je fais là référence à la propriété suivante :

Soient u, v et f trois fonctions définies et intégrables sur un intervalle [a ; b] telles que, pour tout x \in [a ; b], u(x) \leq f(x) \leq v(x).

On a : \int_{a}^{b} u(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq \int_{a}^{b} v(x)\,dx.

Dans cet exercice, cela donne :

D’où \int_{1/e}^{2} 0\,dx \leq \int_{1/e}^{2} f(x)\,dx \leq \int_{1/e}^{2} \dfrac{e}{2}\,dx.

Les intégrales \int_{1/e}^{2} 0\,dx et \int_{1/e}^{2} \dfrac{e}{2}\,dx sont extrêmement simples à calculer puisque  0 et \dfrac{e}{2} sont des constantes. En effet :

Soient k, a et b trois réels.
\int_{a}^{b} k\,dx = k(b - a)

On peut donc écrire :

0\left(2 - \dfrac{1}{e}\right) \leq \int_{1/e}^{2} f(x)\,dx \leq \dfrac{e}{2}\left(2 - \dfrac{1}{e}\right)
0 \leq I_2 \leq e - \dfrac{1}{2}

Et le tour est joué !

b. On admet que la fonction F, définie sur l’intervalle ]0 ; +\infty[ par F(x) = \dfrac{-2 - ln(x)}{x} est une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +\infty[.
Calculer I_n en fonction de n.

Cette question n’est rien d’autre qu’un calcul d’intégrale qui se fait « les doigts dans le nez » puisque la primitive est donnée par l’énoncé !

I_n = \int_{1/e}^{n} f(x)\,dx = [F(x)]_{1/e}^{n} = \dfrac{-2 - ln(n)}{n} - \dfrac{-2 - ln\left(\dfrac{1}{e}\right)}{\dfrac{1}{e}} = -\dfrac{2}{n} - \dfrac{ln(n)}{n} - e\left(-2 - ln\left(\dfrac{1}{e}\right)\right)

Or :

  • Pour tout a \in \mathbb{R}_+^*, ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -ln(a)
  • ln(e) = 1

Donc ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = -ln(e) = -1 d’où :

... = -\dfrac{2}{n} - \dfrac{ln(n)}{n} - e\left(-2 + 1\right) = -\dfrac{2}{n} - \dfrac{ln(n)}{n} + e.

c. Étudier la limite de I_n en +\infty. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Et on finit l’exercice comme on l’a commencé : avec un calcul de limite !

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~-\dfrac{2}{n} = 0

Une idée pour \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~-\dfrac{ln(n)}{n} ?

Ouais, j’ai une idée. On sait que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x} = 0 pour tout x réel. Donc c’est aussi vrai pour \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\dfrac{ln~n}{n} avec n entier naturel non ?

Exact !

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\dfrac{ln~n}{n} = 0 par croissances comparées

On peut alors conclure :

Donc, par somme, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~I_{n} = e.

Reste l’interprétation graphique de cette limite :

Ainsi, l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la
courbe \mathcal{C} et les droites d’équations respectives x = \dfrac{1}{e} et x = n tend vers e lorsque n tend vers +\infty.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4.

Exprimez vous!