Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 1

Enoncé

Description de la figure dans l’espace muni du repère orthonormé (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}) :
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
On appelle \mathcal{P} le plan (AFH).
Le point I est le milieu du segment [AE], le point J est le milieu du segment [BC], le point K est le milieu du segment [HF], le point L est le point d’intersection de la droite (EC) et du plan \mathcal{P}.

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2013-ag-exo1-1

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

Dans tout l’exercice, pour vous permettre de comprendre, je vais justifier toutes les réponses comme si cela était demandé.

Question 1

a. Les droites (IJ) et (EC) sont strictement parallèles.
b. Les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.
c. Les droites (IJ) et (EC) sont sécantes.
d. Les droites (IJ) et (EC) sont confondues.

Ce qui est difficile avec la géométrie dans l’espace, c’est qu’il faut réussir à « voir » l’espace. Ici, vous devez « voir » la réponse, avant de chercher à la prouver.
Ici, la réponse est que les droites (IJ) et (EC) ne sont pas coplanaires.

Tu peux nous rappeler ce que ça veut dire, « deux droites coplanaires » stp ?

Bien sûr :

Deux droites sont coplanaires s’il existe un plan qui les contiennent toutes les deux.
Raisonnons par l’absurde. Supposons que (IJ) et (EC) soient coplanaires. (EC) appartient au plan (AEC).

En effet, il est évident que E et C appartiennent au plan (AEC) et je rappelle que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et (AB) une droite de l’espace.
La droite (AB) appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si les points A et B appartiennent tous les deux au plan \mathcal{P}.
I appartient à [AE] donc il appartient au plan (AEC). Or, (IJ) et (EC) sont coplanaires donc (IJ) appartient au plan (AEC) d’où J appartient aussi au plan (AEC). Absurdité (on voit sur la figure que J n’appartient pas au plan (AEC)).
D’où (IJ) et (EC) ne sont pas coplanaires.
OK, tout marche bien parc que tu as pensé à faire intervenir le plan (AEC). Comment as-tu pensé à faire intervenir ce plan-là et pas un autre ?

C’est parce que beaucoup de points, parmi ceux qui sont considérés, appartiennent à ce plan : E, C et I.

La réponse à choisir est donc :

1. a.

Question 2

a. Le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AF}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} est égal à 0.
b. Le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AF}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} est égal à (−1).
c. Le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AF}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} est égal à 1.
d. Le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AF}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} est égal à 2.

Lorsque l’énoncé mentionne un produit scalaire à calculer au sein d’un repère orthonormé (ici, le repère (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}})), il faut tout de suite penser à calculer ce produit scalaire en utilisant les coordonnées :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = xx

Pour cela, calculons les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{BG}}. Votre cours vous indique que :

Soit A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées (x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

Indiquons donc d’abord les coordonnées des points A, F, B et G au sein du repère orthonormé (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}) :

Dans le repère orthonormé (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}) :

  • A a pour coordonnées (0;0;0) ;
  • F a pour coordonnées (1;0;1) ;
  • B a pour coordonnées (1;0;0) ;
  • G a pour coordonnées (1;1;1).

On peut alors calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{BG}} :

D’où :

  • \overrightarrow{\mathrm{AF}}(x_F-x_A;y_F-y_A;z_F-z_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AF}}(1-0;0-0;1-0)
    \overrightarrow{\mathrm{AF}}(1;0;1)
  • \overrightarrow{\mathrm{BG}}(x_G-x_B;y_G-y_B;z_G-z_B)
    \overrightarrow{\mathrm{BG}}(1-1;1-0;1-0)
    \overrightarrow{\mathrm{BG}}(0;1;1)

D’où :

\overrightarrow{\mathrm{AF}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 1

Donc la réponse à choisir est :

2. c.

Question 3

Dans le repère orthonormé (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}})
a. Le plan \mathcal{P} a pour équation cartésienne : x + y + z - 1 = 0.
b. Le plan \mathcal{P} a pour équation cartésienne : x - y + z = 0.
c. Le plan \mathcal{P} a pour équation cartésienne : -x + y + z = 0.
d. Le plan \mathcal{P} a pour équation cartésienne : x + y - z = 0.

Oh non ! Je ne sais pas déterminer l’équation cartésienne d’un plan !

Savoir déterminer l’équation cartésienne d’un plan est effectivement un savoir-faire qui ne doit avoir aucun secret pour vous. Je vais donc vous présenter la méthode « pas-à-pas » de détermination d’une telle équation, connaissant 3 points du plan..

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} A partir des trois points du plan, repérer deux vecteurs non colinéaires du plan.

Ici, je vais choisir les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{AH}} :

Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{AH}} sont deux vecteurs non colinéaires du plan.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Appliquer alors la définition vectorielle d’un plan.

Cette définition est la suivante :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} deux vecteurs non colinéaires du plan.
Pour tout point M(x;y;z) \in \mathcal{P}, il existe deux réels a et b tels que \overrightarrow{\mathrm{AM}} = a\overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Il faut donc écrire :

Soit M(x;y;z) \in \mathcal{P}. Il existe deux réels a et b tels que \overrightarrow{\mathrm{AM}} = a\overrightarrow{\mathrm{AF}} + b\overrightarrow{\mathrm{AH}}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Traduire l’égalité vectorielle obtenue à l’étape 2 par le système d’équations correspondant.
\overrightarrow{\mathrm{AM}} = a\overrightarrow{\mathrm{AF}} + b\overrightarrow{\mathrm{AH}}
\Leftrightarrow \begin{cases}x_M - x_A = a(x_F - x_A) + b(x_H - x_A) \\y_M - y_A = a(y_F - y_A) + b(y_H - y_A) \\z_M - z_A = a(z_F - z_A) + b(z_H - z_A)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x - 0 = a(1 - 0) + b(0 - 0) \\y - 0 = a(0 - 0) + b(1 - 0) \\z - 0 = a(1 - 0) + b(1 - 0)\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x = a \\y = b \\z = a + b\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Résoudre le système constitué des deux premières équations d’inconnues a et b.

Ici, il n’y a rien à résoudre, la traduction de l’égalité vectorielle nous a directement fourni a et b, mais il faut garder cette étape à l’esprit car la détermination de a et b ne sera pas toujours aussi immédiate.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Remplacer a et b par leurs expressions en fonction de x et y dans la troisième équation et en déduire une équation cartésienne du plan.

Ici, on déduit l’équation cherchée aisément :

Donc z = x + y d’où x + y - z = 0.

Donc, la réponse à la question est :

3. d.
Pourquoi est-ce que tu dis toujours « une équation » du plan et non pas « l’équation » ?

Car il en existe une infinité ! Si je multiplie à gauche et à droite l’équation que nous avons obtenue par un nombre réel quelconque, la nouvelle équation convient toujours ! Par exemple, 2.354x + 2.354y - 2.354z = 0 est aussi une équation du plan \mathcal{P}.


Question 4

a. \overrightarrow{\mathrm{EG}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
b. \overrightarrow{\mathrm{EL}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
c. \overrightarrow{\mathrm{IJ}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
d. \overrightarrow{\mathrm{DI}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Réflexe :

Montrer qu’un vecteur est normal à un plan \mathcal{P}, c’est montrer qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P}.

Ici, nous allons calculer le produit scalaire de chacun des vecteurs proposés respectivement avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{AH}} (qui, je le rappelle, sont deux vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P}). Si les deux produits scalaires calculés pour l’un des vecteurs proposés sont tous les deux nuls, alors on aura trouvé le vecteur qui, parmi ceux proposés, est normal au plan \mathcal{P} :

E(0;0;1) et G(1;1;1) donc :
\overrightarrow{\mathrm{EG}}(x_G-x_E;y_G-y_E;z_G-z_E)
\overrightarrow{\mathrm{EG}}(1-0;1-0;1-1)
\overrightarrow{\mathrm{EG}}(1;1;0)
d’où :
\overrightarrow{\mathrm{EG}}.\overrightarrow{\mathrm{AF}} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1 \neq 0.
\overrightarrow{\mathrm{EG}} n’est pas orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AF}} donc \overrightarrow{\mathrm{EG}} n’est pas un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Pour \overrightarrow{\mathrm{EL}}, comme on ne connaît pas les coordonnées du point L, il va falloir ruser un peu. En fait, il suffit de remarquer que L \in (EC) donc, \overrightarrow{\mathrm{EL}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}} sont colinéaires. Or :

Si deux vecteurs sont colinéaires, tout vecteur normal à l’un est normal à l’autre.

Du coup, déterminer si \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{AH}} sont orthogonaux à \overrightarrow{\mathrm{EL}}, c’est déterminer s’ils sont orthogonaux à \overrightarrow{\mathrm{EC}} !

C(1;1;0) donc
\overrightarrow{\mathrm{EC}}(x_C-x_E;y_C-y_E;z_C-z_E)
\overrightarrow{\mathrm{EC}}(1-0;1-0;0-1)
\overrightarrow{\mathrm{EC}}(1;1;-1)
d’où :
\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{AF}} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + (-1) \times 1 = 0
\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{AH}} = 1 \times 0 + 1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0
Donc \overrightarrow{\mathrm{EC}} est orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{AH}}, deux vecteurs non colinéaires du plan.
Or, L \in (EC) donc \overrightarrow{\mathrm{EL}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}} sont colinéaires d’où \overrightarrow{\mathrm{EL}} est aussi orthogonal à \overrightarrow{\mathrm{AF}} et \overrightarrow{\mathrm{AH}} : \overrightarrow{\mathrm{EL}} est donc un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

La réponse à la question est donc :

4. b.
Tu ne fais pas les mêmes calculs avec les autres vecteurs proposés ?

Bah non ! L’énoncé nous indique qu’il n’y a qu’une seule réponse juste. Donc une fois qu’on l’a trouvée, on n’a pas besoin de s’intéresser aux autres propositions !


Question 5

a. \overrightarrow{\mathrm{AL}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AH}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AF}}.
b. \overrightarrow{\mathrm{AL}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AK}}.
c. \overrightarrow{\mathrm{ID}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{IJ}}.
d. \overrightarrow{\mathrm{AL}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AE}}.

Personnellement, quand je vois ces propositions, je me dis : « OK, je ne vais surtout pas utiliser la relation de Chasles ! ».

Ah bon ? Pourquoi ?

Parce que bonne chance pour trouver le point par lequel on va passer dans la décomposition !

Et on utilise quoi, alors ?

On va utiliser ça :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont identiques.

On va calculer les coordonnées du vecteur ou de la somme des vecteurs qui sont sur le membre de droite de chaque proposition et on va les comparer aux coordonnées du vecteur qui est sur le membre de gauche. Si les coordonnées comparées sont identiques, alors la proposition est vraie.

Hum… mais on ne connaît pas les coordonnées du point L !

C’est vrai. Cette fois-ci, on ne va pas pouvoir se passer de la détermination des coordonnées de L. Cela tombe bien, cela me donne l’occasion de vous montrer comment on détermine les coordonnées de l’intersection d’une droite et d’un plan.

Cherchons donc les coordonnées du point L :

Déterminons les coordonnées du point L = (EC) \cap \mathcal{P}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1a}}} Déterminer une équation paramétrique de la droite considérée : pour cela, choisir un point A quelconque qui appartient à la droite ainsi qu’un vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}} de la droite.

Ici, je vais choisir le point E pour jouer le rôle du point A ainsi que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}} pour jouer le rôle du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} :

La droite (EC) passe par le point E(0;0;1) et admet \overrightarrow{\mathrm{EC}} comme vecteur directeur.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}} a pour coordonnées (1;1;-1).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1b}}} Introduire un point M de coordonnées (x;y;z) appartenant à la droite considérée et traduire le fait que \overrightarrow{\mathrm{AM}} et \overrightarrow{\mathrm{u}} sont colinéaires, où A et \overrightarrow{\mathrm{u}} sont les éléments choisis à l’étape 1a :
Soit M(x;y;z) \in (EC).
\overrightarrow{\mathrm{EM}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}} sont colinéaires donc il existe t \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{EM}} = t\overrightarrow{\mathrm{EC}}. Cela équivaut à :
\begin{cases}x_M - x_E = t(x_C - x_E) \\y_M - y_E = t(y_C - y_E) \\z_M - z_E = t(z_C - z_E)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x - 0 = t(1 - 0) \\y - 0 = t(1 - 0) \\z - 1 = t(0 - 1)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = t \\y = t \\z = 1 - t\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Une fois l’équation paramétrique de la droite obtenue, remplacer x, y et z par leurs expressions en fonction de t dans l’équation du plan \mathcal{P}.
Donc x + y - z = 0 \Leftrightarrow t + t - (1 - t) = 0 \Leftrightarrow 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Remplacer t par la valeur trouvée à l’étape précédente dans les expressions de x, y et z : ces derniers sont alors les coordonnées de l’intersection cherchée.
Donc \begin{cases}x_L = \dfrac{1}{3} \\y_L = \dfrac{1}{3} \\z_L = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\end{cases}

Devant de telles coordonnées pour le point L, je me dis : « Chouette ! Finalement, je n’ai même pas besoin de calculer les coordonnées des vecteurs de chacune des propositions ! Je connais déjà la bonne réponse ! ».

Ah bon ? Comment cela se fait-il ?

C’est parce que je sais ça :

Soit (O;\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}};\overrightarrow{\mathrm{k}}) un repère orthornomé.
Le point M a pour coordonnées (x_M;y_M;z_M) si et seulement si \overrightarrow{\mathrm{OM}} = x_M\overrightarrow{\mathrm{i}} + y_M\overrightarrow{\mathrm{j}} + z_M\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Ici :

  • A joue le rôle de O ;
  • \overrightarrow{\mathrm{AB}} joue le rôle de \overrightarrow{\mathrm{i}} ;
  • \overrightarrow{\mathrm{AD}} joue le rôle de \overrightarrow{\mathrm{j}} ;
  • \overrightarrow{\mathrm{AE}} joue le rôle de \overrightarrow{\mathrm{k}}.

Donc L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right) \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AL}} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AE}}.
Cela ne vous rappelle rien ?

Ah bah si ! C’est exactement la proposition d. !

Eh bah voilà ! La réponse à la question est :

5. d.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 1.

Exprimez vous!