Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2

Enoncé

Partie A

Soient n un entier naturel, p un nombre réel compris entre  0 et 1, et X_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. On note F_n = \dfrac{X_n}{n} et f une valeur prise par F_n. On rappelle que, pour n assez grand, l’intervalle \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] contient la fréquence f avec une probabilité au moins égale à 0,95.

En déduire que l’intervalle \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] contient p avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Cette question est plus simple qu’il n’y paraît. Il s’agit simplement de voir si vous savez manipuler des encadrements.

Moi, manipuler des encadrements, je sais faire. Par contre, prouver que mon encadrement est vrai avec une probabilité au moins égale à 0,95, bof…

Rassurez-vous, il n’y a rien à faire sur cet aspect-là. En effet, il vous suffit de commencer la question en prenant comme hypothèse ce qui est mentionné dans l’énoncé, à savoir que l’intervalle \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] contient f avec une probabilité au moins égale à 0,95. Dans ce cas, toutes les inégalités que vous en déduirez seront eux aussi vraies avec une probabilité au moins égale à 0,95 !

Ainsi, la seule chose dont vous ayiez réellement à vous soucier, c’est de prouver que :

p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \Rightarrow f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \le p \le f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}

Bon, quand faut y aller, faut y aller ! Commençons par traduire l’hypothèse de l’énoncé sous la forme d’inégalités :

Supposons que l’intervalle \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] contient la fréquence f avec une probabilité au moins égale à 0,95.
Dans ce cas, on a, avec une probabilité au moins égale à 0,95 :
p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}

p ne doit plus apparaître sur les « expressions qui sont aux extrémités ». Par contre, on souhaite qu’il apparaisse « au milieu ». Soustrayons donc p à chaque expression de la double inégalité. On obtient :

p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} - p \le f - p \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}} - p
- \dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f - p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}}

f, lui, ne doit plus apparaître « au milieu », mais sur les « expressions qui sont aux extrémités ». Soustrayons donc f à chaque expression de la double inégalité. On obtient :

- \dfrac{1}{\sqrt{n}} - f \le f - p - f \le \dfrac{1}{\sqrt{n}} - f
- \dfrac{1}{\sqrt{n}} - f \le -p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}} - f

Ce n’est pas -p qui nous intéresse, mais p : multiplions donc par -1 chaque membre de la double inégalité. Je rappelle que :

Lorsque l’on multiplie les membres d’une inégalité par un réel négatif, l’ordre est inversé.

On obtient donc :

f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \ge p \ge f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}

ce que l’on peut réécrire de la façon suivante :

f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \le p \le f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}

C’est exactement ce que l’on cherchait !


Partie B

On cherche à étudier le nombre d’étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées A, B et C, la bonne réponse étant la A.
On note r la probabilité pour qu’un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond A, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

Question 1

On interroge un étudiant au hasard. On note :

  • A l’événement « l’étudiant répond A » ;
  • B l’événement « l’étudiant répond B » ;
  • C l’événement « l’étudiant répond C » ;
  • R l’événement « l’étudiant connait la réponse » ;
  • \overline{R} l’événement contraire de R.

a. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.

OK. Trois réponses possibles donc on commence l’arbre avec 3 branches.

Raté ! La première question à se poser n’est pas quelle réponse a été choisie, mais plutôt « l’étudiant connaît-il la réponse ? » car de cela dépend la réponse choisie. On commence donc par deux branches avec les événements R et \overline{R}, de probabilités respectives r et 1-r :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2 2013-ag-exo2-1
Je sais que la probabilité de l’évènement R est r puisque l’énoncé l’indique. Mais comment sais-tu que l’événement \overline{R} a une probabilité de 1 - r ?

Ah ça, ça doit être un réflexe :

Si la probabilité d’un événement A est p, alors la probabilité de son événement contraire, \overline{A}, vaut 1 - p.

On peut maintenant s’intéresser aux réponses choisies :

  • Si l’étudiant connaît la réponse, alors il répond forcément A : la probabilité de l’événement A sachant R vaut 1 (car il s’agit d’un événement certain) ;
  • Si l’étudiant ne connaît pas la réponse, alors il répond au hasard, et de façon équiprobable, l’une des trois réponses A (bien sûr, il peut tomber sur la bonne réponse par hasard), B ou C. Or :
     
    Dans une situation équiprobable, la probabilité d’un événement E est p(E) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.

    Ici, il n’y qu’un cas favorable pour chacun des événements : l’événement A n’a lieu que si l’étudiant répond A ! Idem, pour les événements B et C. Et il y a trois cas possibles : l’étudiant répond soit A, soit B, soit C.
    Donc, la probabilité de chacun des événements A, B et C, sachant \overline{R}, est de \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \dfrac{1}{3}.

Ainsi, l’arbre doit être complété de la façon suivante :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2 2013-ag-exo2-2

b. Montrer que la probabilité de l’événement A est P(A) = \dfrac{1}{3}(1 + 2r).

Pour répondre à cette question, vous devez savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2 2013-ag-exo2-3

On peut donc écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1. a., on a :
p(A) = \underbrace{r \times 1}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{(1 - r) \times \dfrac{1}{3}}_{\text{chemin 2}} = r + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}r = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}r

soit, en factorisant par \dfrac{1}{3} :

p(A) = \dfrac{1}{3}(1 + 2r)

c. Exprimer en fonction de r la probabilité qu’une personne ayant choisi A connaisse la bonne réponse.

Autrement dit, il s’agit de calculer p_A(R), la probabilité de l’événement R (« l’étudiant connaît la bonne réponse ») sachant l’événement A (« l’étudiant a choisi la réponse A« ).

Pour calculer une probabilité conditionnelle, vous devez tout de suite penser à la formule suivante :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}

Ici, cela donne donc :

p_A(R) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(A)}

Pour calculer p(A \cap R), une fois encore, nous allons exploiter l’arbre de probabilité :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2 2013-ag-exo2-4

Donc :

p(A \cap R) = r \times 1 = r

D’où :

p_A(R) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(A)} = \dfrac{r}{\dfrac{1}{3}(1 + 2r)}

Et puis, comme ce n’est pas joli d’avoir une fraction au dénominateur, on multiplie « en haut et en bas » par 3 :

... = \dfrac{3r}{1 + 2r}

Question 2

Pour estimer r, on interroge 400 personnes et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu’interroger au hasard 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de 400 étudiants dans l’ensemble de tous les étudiants.

a. Donner la loi de X et ses paramètres n et p en fonction de r.

Vous devez reconnaître ici un « schéma de Bernoulli ».

C’est quoi, un « schéma de Bernoulli » ?

Bonne question.

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues contraires de probabilité p et 1 - p.
  • Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d’indépendance.

Montrons donc qu’on se trouve en présence d’un schéma de Bernoulli et déterminons alors la loi de probabilité de X.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues contraires.

L’énoncé indique que :

on note X la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses

Sachant cela, vous devez vous dire : « Donc, lorsqu’on interroge un élève, soit il donne la bonne réponse, soit il ne donne pas la bonne réponse : voilà nos deux issues contraires ! »

On se trouve ici en présence d’une expérience aléatoire qui n’a que deux issues contraires :

  • l’élève donne la bonne réponse ;
  • l’élève ne donne pas la bonne réponse.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Indiquer que la variable X représente le nombre de succès.
La variable aléatoire X, qui compte le nombre de bonnes réponses, représente donc le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Remarquer que l’épreuve de Bernoulli que l’on a repérée est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on interroge 400 élèves et cela est assimilé à un tirage de 400 étudiants avec remise. Autrement dit, l’épreuve de Bernoulli est répétée 400 fois dans des conditions d’indépendance : on est bien en présence d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Conclure que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :
  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Mais… je ne connais pas la probabilité d’un succès, c’est-à-dire la probabilité que l’élève donne la bonne réponse !

Et si on la connaît ! Donner la bonne réponse, c’est répondre A ! Autrement dit, p(\text{succes}) = p(A) ! Ce qui nous permet de conclure :

Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 400 et p = p(A) = \dfrac{1}{3}(1 + 2r).

b. Dans un premier sondage, on constate que 240 étudiants répondent A, parmi les 400 interrogés.
Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l’estimation de p.
En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de r.

Personnellement, quand j’ai lu cette question, je me suis dit tout de suite : « Hum… J’ai pas déjà fait une question où je trouvais un intervalle d’encadrement de p ? Ah mais si ! C’est la question de la partie A ! »

Bref, on veut simplement vous faire appliquer le résultat de la partie A. Ca sert à savoir si vous comprenez ce que vous faites et que vous saisissez la cohérence du sujet…

Dans la partie A, on a montré que, pour n assez grand, p appartenait à l’intervalle \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] avec une probabilité au moins égale à 0,95.
OK mais il vaut combien f ?

f est la fréquence des succès. Il vaut donc f = \dfrac{\text{nombre de succes}}{\text{n}} :

Or n = 400 et f = \dfrac{240}{400} = 0,6 d’où :

  • f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0,6 - \dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0,55
  • f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0,6 + \dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0,65

Donc p \in [0,55;0,65].

Reste à en déduire l’intervalle de confiance de r. Pour cela, exprimons d’abord r en fonction de p :

On sait que p = p(A) = \dfrac{1}{3}(1 + 2r) donc :
3p = 1 + 2r
r = \dfrac{3p - 1}{2}

Encadrer r revient donc à encadrer \dfrac{3p - 1}{2}. Et ça, on sait faire puisqu’on dispose d’un encadrement de p :

0,55 \le p \le 0,65
1,65 \le 3p \le 1,95
0,65 \le 3p -1 \le 0,95
0,325 \le \dfrac{3p - 1}{2} \le 0,475 soit 0,325 \le r \le 0,475.
Donc r \in [0,325;0,475].

c. Dans la suite, on suppose que r = 0.4. Compte-tenu du grand nombre d’étudiants, on considérera que X suit une loi normale.

i. Donner les paramètres de cette loi normale.

Il suffit de retenir ceci par coeur :

Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, pour n assez grand, on peut considérer que X suit une loi normale de paramètres :

  • \mu = np (\mu est l’espérance) ;
  • \sigma = \sqrt{np(1 - p)} (\sigma est l’écart-type).

Muni de cela, on peut alors écrire :

r = 0.4 donc p = \dfrac{1}{3}(1 + 2r) = \dfrac{1}{3}(1 + 2 \times 0.4) = 0.6. D’où X suit une loi normale :

  • d’espérance \mu = np = 400 \times 0.6 = 240 ;
  • d’écart-type \sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{400 \times 0.6(1 - 0.6)} = \sqrt{96} \approx 9.8.

ii. Donner une valeur approchée de P(X \le 250) à 10^{-2} près.
On pourra s’aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de P(X \le t)X est la variable aléatoire de la question 2. c.

Dernière question pour voir si vous savez exploiter les données que l’on vous donne. D’après l’exemple donné en annexe, il faut aller chercher :

  • la ligne qui correspond à la partie entière de t ;
  • la colonne qui correspond à la partie décimale de t.

Ici, t = 250.0 donc :

  • la ligne qui correspond à la partie entière de t (250) est la ligne 17 ;
  • la colonne qui correspond à la partie décimale de t (0) est la colonne B.

Ainsi, la réponse se trouve à la case 17B :

D’après l’annexe fournie, P(t \le 250) \approx 0.846.

Annexe

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2 Extrait d'une feuille de calcul

Extrait d’une feuille de calcul

Exemple d’utilisation : au croisement de la ligne 12 et de la colonne E, le nombre 0.706 correspond à P(X \le 245.3).

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 2.

Commentaires

  1. G. a écrit:

    Merci

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