Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 3

Enoncé

Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels \mathbb{R} telle que :

f(x) = (x + 1)e^x.

Question 1

Calculer la limite de f en +\infty; et -\infty;.

Allez, on commence l’exercice par un (simple) calcul de limites.

  • Limite de f en +\infty

Aucun piège ici :

\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~x + 1 = +\infty \\\lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~e^x = +\infty\end{cases}
Donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = +\infty.
  • Limite de f en -\infty
Facile aussi ! \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x + 1 = -\infty et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^x = 0 donc, par produit, ça fait…

Cela ne fait rien du tout ! Si effectivement, c’est très bien de se souvenir que :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^x = 0

il faut aussi se rappeler que :

0 \times \infty est une forme indéterminée !
Ah oui ! C’est vrai ! Comment on fait alors ?

Quand vous vous retrouvez face à une forme indéterminée, il faut réécrire l’expression dont on cherche à calculer la limite sous une autre forme. En l’occurence, lorsque vous voyez les fonctions exponentielle ou logarithme, vous devez penser « croissances comparées ». Pour rappel, les croissances comparées sont les suivantes :

Pour tout entier naturel n non nul,

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x^n} = 0
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}~x^nln~x = 0
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x^ne^x = 0

Maintenant que vous savez qu’il faut garder ces quatre limites à l’esprit, ne vous vient-il pas une idée ?

Ah bah si ! Je vais simplement développer l’expression de f !

Eh bah voilà ! Je vois que ça commence à rentrer :

f(x) = (x + 1)e^x = xe^x + e^x
Or \begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~xe^x = 0~\text{par croissances comparees} \\\lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^x = 0\end{cases}
D’où, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~f(x) = 0.

Question 2

On note f la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
Démontrer que pour tout réel x, f.

On poursuit l’exercice de façon classique : calculons la dérivée de f (en appliquant le fameux « u »).

Pour tout x \in \mathbb{R},
f

= (1 + (x + 1))e^x~\text{en factorisant par}~e^x
= (x + 2)e^x

Question 3

Dresser le tableau de variation de f sur \mathbb{R}.

Conclusion logique de cette suite de questions. J’en profite pour vous rappeler les étapes à dérouler pour établir un tableau de variation :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.

D’après la question 2., f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Bien sûr, cette étape n’est pas toujours possible, mais ici, c’est le cas. En effet, on peut remarquer que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^x ~\textgreater ~0 d’où, le signe de f ne dépend que du signe de u : x \mapsto x + 2.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x) = 0 ».

On a montré à l’étape 3 que le signe de f ne dépendait que du signe de u : x \mapsto x + 2 donc, on va calculer les racines de u :

Donc, pour tout x~ \textgreater ~0,
f

\Leftrightarrow x + 2 = 0
\Leftrightarrow x = -2
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Calculons donc f(-2) :

f(-2) = (-2 + 1)e^{-2} = -e^{-2}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, il n’y a pas de valeur interdite et les limites aux bornes de l’ensemble de définition ont été calculées à la question 2.. On peut donc établir notre tableau de variation :

\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & -2 & & +\infty \\\hline x + 2 & & - & 0 & + & \\\hline f

Partie B

On définit la fonction g_m sur \mathbb{R} par :

g_m(x) = x + 1 - me^{-x}

et on note \mathcal{C}_m la courbe de la fonction g_m dans un repère  (O;\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}}) du plan.

Question 1

a. Démontrer que g_m(x) = 0 si et seulement si f(x) = m.

Personnellement, lorsque je vois ce genre de question, je me dis : « Je vais écrire ce que g_m(x) = 0 veut dire. » :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g_m(x) = 0 \Leftrightarrow x + 1 - me^{-x} = 0

Et là, je me dis : « OK, je veux faire apparaître f(x) dans tout ça… Si je multiplie à gauche et à droite par e^x, à droite, ça va bien sûr rester  0 . Mais à gauche, je vais me retrouver avec (x + 1)e^x, c’est-à-dire f(x). Et en plus, e^{-x} va disparaître… ce qui m’arrange :

\Leftrightarrow [x + 1 - me^{-x}]e^x = 0 ~\text{en multipliant a gauche et a droite} \text{par}~e^x
\Leftrightarrow (x + 1)e^x - m = 0
\Leftrightarrow (x + 1)e^x = m
\Leftrightarrow f(x) = m

b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe \mathcal{C}_m avec l’axe des abscisses en fonction du réel m.

Première chose : le nombre de points d’intersection de \mathcal{C}_m avec l’axe des abscisses, c’est le nombre de solutions sur \mathbb{R} à l’équation g_m(x) = 0.

Deuxième chose : d’après la question précédente, être solution à l’équation g_m(x) = 0, c’est également être solution à l’équation f(x) = m.

Par conséquent, l’objet de cette question est de vous interroger sur le nombre de solutions de l’équation f(x) = m en fonction de la valeur de m.

Si j’étais à votre place, je représenterais la fonction f sur ma calculatrice et voici ce que je me dirais, et donc que j’écrirais (cliquez sur la figure pour la voir en taille réelle) :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 3 2013-ag-exo3-1

  • Si m < -e^{-2}, il n’y a pas d’intersection entre la droite d’équation y = m et \mathcal{C}_f. Donc il n’y a pas de solution à l’équation f(x) = m, donc pas de solution à l’équation g_m(x) = 0. Donc il y a 0 point d’intersection entre \mathcal{C}_m et l’axe des abscisses ;
  • Si m = -e^{-2}, la courbe d’équation y = -e^{-2} est tangente à \mathcal{C}_f (car -e^{-2} est un extremum local de f). Donc il y a une unique solution à l’équation f(x) = m, donc une unique solution à l’équation g_m(x) = 0. Ainsi, il y a 1 point d’intersection entre \mathcal{C}_m et l’axe des abscisses ;
  • Si -e^{-2} < m < 0, la droite d’équation y = m coupe \mathcal{C}_f en deux points. Donc il y a deux solutions à l’équation f(x) = m, donc deux solutions à l’équation g_m(x) = 0. Ainsi, il y a 2 points d’intersection entre \mathcal{C}_m et l’axe des abscisses ;
  • Si m \ge 0, la droite d’équation y = m coupe \mathcal{C}_f en un point unique. Il y a donc une unique solution à l’équation f(x) = m, donc une solution unique à l’équation g_m(x) = 0. Donc il y a 1 point d’intersection entre \mathcal{C}_m et l’axe des abscisses.
Comment sais-tu que pour m = 0, la droite d’équation y = 0 coupe \mathcal{C}_f une seule fois et pas deux ?

Comme vous pouvez le voir sur la figure ci-dessus, en -\infty, \mathcal{C}_f s’approche de zéro sans jamais l’atteindre ! Donc l’équation f(x) = 0 admet bien une unique solution et pas deux. D’ailleurs, on peut même voir cette solution graphiquement : f(x) = 0 pour x = 1.


Question 2

On a représenté en annexe 2 les courbes \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_e, et \mathcal{C}_{-e} (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs  0 , e et -e).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.

Alors là, vous ne pouvez pas lire une telle question et ne pas faire le lien avec la question précédente. En effet, vous demandait d’indiquer le nombre d’intersections de \mathcal{C}_m avec l’axe des abscisses en fonction de la valeur de m. Et là, on vous demande d’identifier la valeur de m pour différentes courbes, dont certaines coupent l’axe des abscisses et d’autres pas. Le lien entre les deux questions doit être automatique !

La courbe 1 ne coupe pas l’axe des abscisses, donc, d’après la question précédente, m < -e^{-2}. Parmi les trois valeurs de m proposées, seule -e convient. Donc la courbe 1 correspond à \mathcal{C}_{-e}.
Hum, les deux autres courbes semblent ne couper l’axe des abscisses qu’en 1 seul point et les deux valeurs restantes correspondent toutes les deux au cas m \ge 0. Comment va-t-on pouvoir différencier les deux courbes ?

Effectivement, il va falloir trouver une information supplémentaire pour les différencier :

Les deux autres courbes semblent toutes les deux couper l’axe des abscisses en un seul point. On se situe donc dans le cas où m \ge 0 (le cas m = -e^{-2} est écarté puisque cette valeur n’est pas proposée par l’énoncé).
 
Cependant, la courbe 2 est une droite. la fonction qu’elle représente est donc forcément une fonction affine. Or g_m n’est une fonction affine que lorsque m = 0 donc la courbe 2 est \mathcal{C}_0.
 
Par élimination, la courbe 3 est donc \mathcal{C}_e.

Question 3

Étudier la position de la courbe \mathcal{C}_m par rapport à la droite \mathcal{D} d’équation y = x + 1 suivant les valeurs du réel m.

Cette question ne doit avoir aucun secret pour vous :

Soient f et g deux fonctions représentées respectivement par les courbes \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g. Pour étudier les positions relatives de ces deux courbes représentatives, il faut étudier le signe de la différence f - g (un tableau de signes peut alors être nécessaire). Si :

  • f - g ~\textgreater ~0 alors \mathcal{C}_f est « au-dessus » de \mathcal{C}_g ;
  • f - g = 0 alors les deux courbes sont confondues ;
  • f - g < 0 alors \mathcal{C}_f est « en-dessous » de \mathcal{C}_g.

Faisons donc la différence entre la fonction g_m et la fonction x \mapsto x + 1 et étudions le signe de cette différence :

g_m(x) - (x + 1) = x + 1 - me^{-x} - (x + 1) = -me^{-x}

Ici, le signe de cette différence est facile à étudier. En effet :

Pour tout x \in \mathbb{R}, x \mapsto -me^{-x} ne dépend que du signe de -m.

Cette constatation nous permet d’étudier les positions relatives des deux courbes aisément :

Pour tout x \in \mathbb{R} :

  • si m \textgreater 0, alors g_m(x) - (x + 1) < 0 d’où \mathcal{C}_m est en-dessous de \mathcal{D} ;
  • si m = 0, alors g_m(x) - (x + 1) = 0 d’où \mathcal{C}_m et \mathcal{D} sont confondues ;
  • si m < 0, alors g_m(x) - (x + 1) ~\textgreater ~0 d’où \mathcal{C}_m est au-dessus de \mathcal{D}.

Question 4

a. On appelle D_2 la partie du plan comprise entre les courbes \mathcal{C}_e, \mathcal{C}_{-e}, l’axe (Oy) et la droite x = 2.
Hachurer D_2 sur l’annexe 2.

Aucune difficulté ici :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 3 2013-ag-exo3-2

b. Dans cette question, a désigne un réel positif, \mathcal{D}_a la partie du plan comprise entre \mathcal{C}_e, \mathcal{C}_{-e}, l’axe (Oy) et la droite \Delta_a d’équation x = a. On désigne par \mathcal{A}(a) l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire.
Démontrer que pour tout réel a positif : \mathcal{A}(a) = 2e - 2e^{1 - a}.
En déduire la limite de \mathcal{A}(a) quand a tend vers +\infty.

Allez, un petit calcul d’intégrale puis une limite (toute gentille) pour terminer l’exercice.

Quand vous voyez la première question, vous devez vous dire « Moi, tout ce que je sais calculer, c’est « l’aire sous la courbe ». Donc, comment puis-je traduire l’aire \mathcal{A}(a) de la zone \mathcal{D}_a sous la forme d’aires sous la courbe ? »

Une fois que vous vous êtes posés cette question, ça va tout seul ! Regardez bien la figure que vous avez hachurée à la question précédente : \mathcal{A}(a) est l’aire sous la courbe \mathcal{C}_{-e} entre x = 0 et x = a, à laquelle on retranche l’aire sous la courbe \mathcal{C}_{e} entre x = 0 et x = a. Et tout ça, on sait le calculer !

\mathcal{A}(a) = \int_0^a g_{-e}(x) \mathrm{d}x - \int_0^a g_{e}(x) \mathrm{d}x

= \int_0^a (x + 1 + e \times e^{-x}) \mathrm{d}x - \int_0^a (x + 1 - e \times e^{-x}) \mathrm{d}x
= \int_0^a (x + 1 + e^{1 - x}) \mathrm{d}x - \int_0^a (x + 1 - e^{1 - x}) \mathrm{d}x
= \int_0^a [(x + 1 + e^{1 - x}) - (x + 1 - e^{1 - x})] \mathrm{d}x
= \int_0^a 2e^{1 - x} \mathrm{d}x
= 2[-e^{1 - x}]^{a}_{0}
= 2(-e^{1 - a} + e^{1 - 0})
= -2e^{1 - a} + 2e^{1}
= 2e - 2e^{1 - a}

Reste à calculer la limite de \mathcal{A}(a) lorsque a tend vers +\infty :

\lim\limits_{\substack{a \to +\infty }}~1 - a = -\infty donc \lim\limits_{\substack{a \to +\infty }}~e^{1 - a} = 0 d’où \lim\limits_{\substack{a \to +\infty }}~\mathcal{A}(a) = 2e.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 3.


Annexe

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 3 2013-ag-annexe-2

Exprimez vous!