Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl

Enoncé

On considère la suite (z_n) à termes complexes définie par z_0 = 1 + i et, pour tout entier naturel n, par

z_{n+1} = \dfrac{z_n + |z_n|}{3}

Pour tout entier naturel n, on pose : z_n = a_n + ib_n, où a_n est la partie réelle de z_n et b_n est la partie imaginaire de z_n.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (a_n) et (b_n).

Partie A

Question 1

Donner a_0 et b_0.

Cela doit être la question la plus facile que j’ai jamais vue de ma vie :

a_0 = Re(z_0) = 1 et b_0 = Im(z_0) = 1.

Question 2

Calculer z_1, puis en déduire que a_1 = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{3} et b_1 = \dfrac{1}{3}.

Utilisons la relation de récurrence qui définit la suite (z_n) et calculons z_1 à partir de z_0 :

z_1 = \dfrac{z_0 + |z_0|}{3}.

Calculons |z_0|. Je rappelle que :

Soit z = a + ib.
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Ce qui donne pour z_0 :

|z_0| = \sqrt{a_0^2 + b_0^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

D’où :

Donc z_1 = \dfrac{1 + i + \sqrt{2}}{3}

Lorsque l’on détermine un nombre complexe, s’il est aisé de séparer parties réelle et imaginaire, il faut toujours le faire :

... = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{3} + \dfrac{1}{3}i.

Ici, cela nous permet de déterminer directement a_1 et b_1 :

Donc a_1 = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{3} et b_1 = \dfrac{1}{3}.

Question 3

On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl 2013-ag-exo4-1

a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10^{-4} près).

Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl 2013-ag-exo4-2

Calculons d’abord \dfrac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{3} et \dfrac{B}{3} avec A = 1 et B = 1 :

Pour A = 1 et B = 1 :
\dfrac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{3} \approx 0.8047
\dfrac{B}{3} \approx 0.3333

Calculons ensuite \dfrac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{3} et \dfrac{B}{3} avec les valeurs trouvées précédemment, à savoir A = 0.8047 et B = 0.3333 :

Pour A = 0.8047 et B = 0.3333 :
\dfrac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{3} \approx 0.5586
\dfrac{B}{3} \approx 0.1111

Donc le tableau peut être complété de la façon suivante :

K A B
1 0.8047 0.3333
2 0.5586 0.1111

b. Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Pour répondre, vous devez vous poser les questions suivantes :

  1. Pourquoi est-ce l’algorithme initie les valeurs de A et B à 1 ?
  2. D’où est-ce que \dfrac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{3} et \dfrac{B}{3} sortent ?

En gardant ces deux interrogations à l’esprit, il vous semblera évident, après avoir fait la question 1. de la partie B que :

Pour un nombre N donné, la valeur affichée par l’algorithme est a_N.
Comment ça ? On doit s’aider d’une question qui vient APRES pour répondre ??

J’avoue que cela n’est pas le plus pratique. Peut-être le créateur du sujet pense-t-il que vous pouvez « deviner » directement la bonne réponse…


Partie B

Question 1

Pour tout entier naturel n, exprimer z_{n+1} en fonction de a_n et b_n.
En déduire l’expression de a_{n+1} en fonction de a_n et b_n, et l’expression de b_{n+1} en fonction de a_n et b_n.

Puisqu’il faut exprimer z_{n+1} en fonction de a_n et b_n, remplaçons z_n et |z_n| par leurs expressions en fonction de a_n et b_n dans l’expression de z_{n+1}, et voyons ce que cela donne :

z_{n+1} = \dfrac{z_n + |z_n|}{3} = \dfrac{a_n + ib_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3}

Comme d’habitude, on sépare parties réelle et imaginaire :

... = \dfrac{a_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} + i\dfrac{b_n}{3}.

Cela nous permet d’en déduire :

a_{n+1} = Re(z_{n+1}) = \dfrac{a_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3} et b_{n+1} = Im(z_{n+1}) = \dfrac{b_n}{3}.
Ah bah voilà d’où sortent les expressions \dfrac{A + \sqrt{A^2 + B^2}}{3} et \dfrac{B}{3} de l’algorithme !

Eh oui ! L’algorithme ne fait rien d’autre que de calculer a_{n+1} et b_{n+1} à partir de a_n et b_n. Après les N itérations, il affiche A : cela correspond très exactement à a_N !


Question 2

Quelle est la nature de la suite (b_n) ? En déduire l’expression de b_n en fonction de n, et déterminer la limite de (b_n).

Pour ceux qui n’ont pas vu tout de suite la nature de la suite (b_n), je vais changer très légèrement la façon d’écrire la relation de récurrence qui la définit :

b_{n+1} = \dfrac{1}{3}b_n

Vous ne voyez toujours pas ? Si ne vous ne connaissez toujours pas la réponse, c’est que vous ne savez visiblement pas que :

Soit (v_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite réelle définie par :

pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = qv_n

(v_n) est une suite géométrique de raison q.

Ici, q vaut \dfrac{1}{3} :

(b_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{3}.

Une fois que l’on a remarqué que (b_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{3}, il est aisé d’exprimer b_n en fonction de n car :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.
On prend combien pour k ?

En général, on prend pour k le premier rang de la suite. En ce qui concerne (b_n), le premier rang est  0 . Donc on peut écrire :

Donc, pour tout n \in \mathbb{N}, b_n = b_0\left(\dfrac{1}{3}\right)^n.

Quant à la limite de (b_n), il suffit de se souvenir par coeur que :

Soit q \in \mathbb{R}.
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, cela donne :

0 ~\textless ~\dfrac{1}{3} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} b_n = 0.

Question 3

a. On rappelle que pour tous nombres complexes z et z :

|z + z (inégalité triangulaire).

Montrer que pour tout entier naturel n,

|z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}.

Pas de difficulté particulière sur cette question :

|z_{n+1}| = \left|\dfrac{z_n + |z_n|}{3}\right| = \dfrac{1}{3}|z_n + |z_n||

Arrivé ici, on se trouve face à la valeur absolue d’une somme. Comme par hasard, l’énoncé rappelle l’inégalité triangulaire, qui permet d’obtenir une inégalité à partir de la valeur absolue d’une somme. Il est donc temps de l’utiliser :

... \le \dfrac{1}{3}[|z_n| + ||z_n||]

|z_n| est le module d’un nombre complexe, donc c’est un nombre réel positif. Or :

Le module d’un nombre réel positif, c’est lui-même.

Autrement dit, ||z_n|| = |z_n|, ce qui nous permet d’écrire :

Or ||z_n|| = |z_n| d’où, on obtient :
|z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}.

b. Pour tout entier naturel n, on pose u_n = |z_n|.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2}

En déduire que la suite (u_n) converge vers une limite que l’on déterminera.

Rappelons les étapes d’un raisonnement par récurrence :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Initialisation
u_0 = |z_0| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que u_k \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^k\sqrt{2}. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que u_{k+1} \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}\sqrt{2}.

Pour prouver l’hérédité, il faut partir de ce que l’on sait au rang k + 1 et réussir à faire apparaître le rang k, ce qui permet alors d’utiliser l’hypothèse de récurrence.

Je vous pose donc la question : que savez-vous sur u_{k+1} qui le relie à u_{k} ?

Hum… u_{k+1} = |z_{n+1}|. D’après la question 3. a., je sais que |z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}.

Exactement :

u_{k+1} = |z_{k+1}|. Or, d’après la question 3. a., |z_{k+1}| \le \dfrac{2|z_k|}{3}, donc u_{k+1} \le \dfrac{2}{3}u_k.

Il est temps d’exploiter l’hypothèse de récurrence :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, u_k \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^k\sqrt{2} d’où :
u_{k+1} \le \dfrac{2}{3}u_k \le \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^k\sqrt{2}.
Ainsi, on obtient :
u_{k+1} \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}\sqrt{2} : la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2}.

Pour déterminer la limite de (u_n), on va utiliser le « théorème des gendarmes ». Pour rappel, ce théorème est le suivant :

Soient l \in \mathbb{R} et (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites réelles telles que :

  • v_n \le u_n \le w_n ;
     
  • \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = l et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~w_n = l.

Alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = l.

Je vois bien que la suite réelle définie par w_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2} joue le rôle de la suite (w_n) mentionnée dans le « théorème des gendarmes ». Mais qui joue le rôle de la suite (v_n) ?

Effectivement, trouver qui joue le rôle de (v_n) n’est pas immédiat. Pour vous aider, je vous propose de calculer la limite de (w_n) :

0 ~\textless ~\dfrac{2}{3} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2} = 0.

Donc, puisqu’on veut pouvoir appliquer le théorème des gendarmes, il faut trouver une suite (v_n) qui converge vers  0 .

Ca tombe bien : il se trouve que, pour toute n entier naturel, u_n = |z_n| donc, en tant que module d’un nombre complexe, u_n \ge 0 ! Autrement dit :

De plus, pour tout n entier naturel, u_n = |z_n| \ge 0 d’où, pour tout n entier naturel :
0 \le u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2}.

Donc, ce qui joue le rôle de (v_n), c’est la suite définie par, pour tout n entier naturel, v_n = 0. Il est évident que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = 0 ! C’est d’ailleurs tellement évident, qu’après avoir calculé la limite de \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2} et indiqué l’encadrement ci-dessus de (u_n), on peut conclure directement :

D’où, d’après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = 0.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n, |a_n| \le u_n. En déduire que la suite (a_n) converge vers une limite que l’on déterminera.

Commençons par écrire u_n en fonction de a_n et b_n :

u_n = |z_n| = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}

Or, il est clair que \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \ge \sqrt{a_n^2} :

... \ge \sqrt{a_n^2}
\sqrt{a_n^2} = a_n ! Comment va-t-on pouvoir faire apparaître la valeur absolue ?

Non, non et non ! Retenez absolument que :

\sqrt{x^2} = |x|

… et non pas x !

Autrement dit, on obtient directement ce que l’on souhaite :

... = |a_n|
D’où |a_n| \le u_n.

Pour déterminer la limite de la suite (a_n), on va à nouveau utiliser le théorème des gendarmes, exactement de la même façon qu’à la question 3. b., pour trouver d’abord la limite de la suite (|a_n|) :

Or, pour tout n entier naturel, |a_n|~ \textgreater ~0 donc 0 \le |a_n| \le u_n.
De plus, d’après ce qui précède, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = 0.
D’où, d’après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~|a_n| = 0.

Cela nous permet de conclure sur la limite de (a_n). En effet, il faut savoir que :

Soit (a_n) une suite réelle.
Si \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~|a_n| = 0, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a_n = 0.

Donc, on peut directement écrire :

D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a_n = 0.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl.

Commentaires

  1. Marie C a écrit:

    Bonjour, je tiens à vous remercier de tous vos corrigés qui sont vraiment bien et m’aident beaucoup pour mes révisions du bac !

    J’ai cependant remarqué une erreur dans l’exercice 4 des Antilles de 2013 : partie A, question 2, on obtient a1 et b1 et non a0 et b0.

    • admin a écrit:

      Bonjour Marie,

      Merci pour ton commentaire et tes remerciements qui me font vraiment plaisir.
      J’ai bien pris en compte ta remarque et c’est maintenant corrigé !

      Bon courage !

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