Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1

Enoncé

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.

10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • événement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
  • événement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
  • événement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».

Question 1

Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.

Pour construire un arbre pondéré, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.

En lisant cela, on sait que notre arbre pondéré va tout d’abord contenir deux branches :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1 2013-as-exo1-1
Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.

Maintenant, je peux indiquer les probabilités de chacune des deux branches de mon arbre :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1 2013-as-exo1-2
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

Avec cela, je peux donc compléter l’arbre pondéré avec les probabilités de l’événement S sachant que la boîte de thé vert a été achetée chez le fournisseur A ou sachant que la boîte de thé vert a été achetée chez le fournisseur B :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1 2013-as-exo1-3
Il n’y a plus d’information à exploiter dans l’énoncé. On s’arrête là, non ?

Surtout pas, malheureux ! Il faut toujours garder à l’esprit que :

La somme des probabilités de toutes les branches qui partent d’un même noeud doit valoir 1 (100%).

Par conséquent, il faut faire figurer l’événement contraire de S, \overline{S} (« S barre »), avec les probabilités qui peuvent être déduites de la règle ci-dessus :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1 2013-as-exo1-4

Cette fois-ci, l’arbre pondéré est terminé.


Question 2

a. Quelle est la probabilité de l’événement B \cap \overline{S} ?

Pour calculer la probabilité d’une intersection, une fois qu’on a réalisé un arbre de probabilité, il faut avoir le réflexe suivant :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1 2013-as-exo1-5

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1., la probabilité de l’événement B \cap \overline{S} vaut :
p(B \cap \overline{S}) = 0.20 \times 0.80 = 0.16

b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0,88.

Il s’agit donc simplement de calculer P(\overline{S}). Pour répondre à cette question, vous devez à nouveau savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1 2013-as-exo1-6

Ici, on peut donc écrire :

En exploitant l’arbre pondéré obtenu à la question 1., on obtient que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides vaut :
P(\overline{S}) = \underbrace{0.80 \times 0.90}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0.20 \times 0.80}_{\text{chemin 2}} = 0.88.

Question 3

On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?

Clairement, l’énoncé souhaite ici que l’on calcule la probabilité conditionnelle p_S(B). Pour calculer une probabilité conditionnelle ou la probabilité d’une intersection, un seul réflexe :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}
La probabilité qu’elle provienne du fournisseur B vaut :
p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)}
Ah, j’ai la probabilité de l’intersection B \cap S à calculer. Réflexe, j’utilise la formule p_B(S) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(B)}, ce qui me donne p(B \cap S) = p_B(S) \times p(B) !

Je vois que ça commence à rentrer !

Or, p_B(S) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(B)}, donc p(B \cap S) = p_B(S) \times p(B) = 0.20 \times 0.20 = 0.04.
Hum, je dispose de p(\overline{S}) mais pas de p(S)

Oh mais ça c’est facile ! Dès qu’on voit intervenir des « événements contraires », il faut penser à :

p(\overline{A}) = 1 - p(A)

Donc :

De plus, p(S) = 1 - p(\overline{S}) = 1 - 0.88 = 0.12

On peut donc conclure :

D’où p_S(B) = \dfrac{0.04}{0.12} = 0.33

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

Question 1

Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Justifier que X suit une loi binomiale, c’est justifier que X est la variable aléatoire qui représente le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli.
C’est quoi, un « schéma de Bernoulli » ?

Bonne question.

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues contraires de probabilité p et 1 - p.
  • Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d’indépendance.

Ainsi, la démarche à adopter pour montrer qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale est la suivante :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente le nombre d’occurrences constitue le « succès ».
« Acheter une boîte de thé vert chez le grossiste » est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « la boîte présente des traces de pesticides », de probabilité p(S) ou « la boîte ne présente aucune trace de pesticides », de probabilité p(\overline{S}) = 1 - p(S). Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement \overline{S} « la boîte ne présente aucune trace de pesticides ».
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, « on achète 10 boîtes » et cela est modélisé par un « tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise » donc on répète 10 fois l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = p(\overline{S}) = 0.88.

Question 2

Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.

Ce qui est demandé ici, c’est la probabilité d’obtenir 10 succès. Or :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
La probabilité d’obtenir k succès vaut p(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k(1 - p)^{n-k}.

Donc il suffit de calculer p(X = 10) :

La probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticide vaut :
p(X = 10) = \dbinom{10}{10} 0.88^{10}(1 - 0.88)^{10-10} \simeq 0.28.

Question 3

Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

La probabilité « qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides » correspond à la probabilité d’obtenir au moins 8 succès. Donc il s’agit de calculer p(X \ge 8). Or, l’événement X \ge 8 correspond à l’événement X = 8 \cup X = 9 \cup X = 10 donc :

p(X \ge 8) = p(X = 8 \cup X = 9 \cup X = 10)

Or, les événements X = 8, X = 9 et X = 10 sont 2 à 2 disjoints (= « ils ne peuvent se produire en même temps »), ce qui nous facilite grandement la vie. En effet :

Soient A_1, A_2, … A_n n événements 2 à 2 disjoints.
p(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = p(A_1) + p(A_2) + ... + p(A_n)

Ce qui nous permet de suivre les calculs :

... = p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10) car les événements X = 8, X = 9 et X = 10 sont 2 à 2 disjoints
= \dbinom{10}{8}0.88^{8}(1-0.88)^{10-8} + \dbinom{10}{9}0.88^{9}(1-0.88)^{10-9} + \dbinom{10}{10}0.88^{10}(1-0.88)^{10-10}

= 0.89

Donc la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides vaut 0.89.


Partie C

À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : « 88 % de notre thé est garanti sans trace de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l’affirmation. À cette fin, il prélève 50 boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve 12 avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à 0,88.
On note F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

Question 1

Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 %.

En voilà, une belle question de cours ! Aucune réflexion à avoir, on veut juste vérifier que vous savez ce qu’est « l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n = \dfrac{X_n}{n} au seuil de 95% ». Eh bien apprenez par coeur qu’il s’agit de ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, la démarche pour répondre à ce genre de questions :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Montrer que dans la situation proposée, la variable aléatoire qui représente le nombre de succès suit une loi binomiale et en déterminer les paramètres n et p.
Oh non, tu nous as déjà fait le coup à la question B. 1. ! C’est super long à faire !

Mais non… En plus, cette fois-ci, c’est super facile ! Il suffit de remarquer qu’on est exactement dans le même schéma de Bernoulli que dans la partie B, à ceci près qu’on ne réitère pas l’épreuve de Bernoulli 10 fois, mais 50 fois. Et comme on a déjà détaillé le raisonnement dans la partie B, ici, on peut aller (un peu) plus vite :

« Prélever 50 boîtes de thé vert chez le grossiste », c’est réitérer 50 fois l’expérience de Bernoulli « Prélever une boîte de thé vert chez le grossiste » dont seules deux issues possibles : « la boîte présente des traces de pesticides », de probabilité p(S), ou « la boîte ne présente aucune trace de pesticides », de probabilité p(\overline{S}) = 1 - p(S). Comme à la partie B, le succès est l’événement \overline{S} « la boîte ne présente aucune trace de pesticides ».
Ainsi, la variable aléatoire X_{50} qui, à ce prélèvement de 50 boîtes, associe le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = p(\overline{S}) = 0.88.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :

  • n = 50 \ge 30
  • np = 50 \times 0.88 = 44 \ge 5
  • n(1 - p) = 50 \times (1 - 0.88) = 6 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F = F_{50} vaut I_{50} = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0.78 ; 0.97].

Question 2

L’inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mensongère ?

Pour répondre, il suffit de retenir la chose suivante :

Si, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité annoncée est considérée comme exacte. Sinon, la probabilité annoncée est considérée comme inexacte.

Calculons donc la fréquence des succès dans l’échantillon prélevé par l’inspecteur :

Sur les 50 boîtes prélevées par l’inspecteur, 50 - 12 = 38 ne présentent pas de traces de pesticides. Donc, la fréquence des succès vaut \dfrac{38}{50} = 0.76 \notin I_{50}. L’inspecteur de la brigade de répression peut donc décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mensongère.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Asie Exercice 1.

Exprimez vous!