Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2

Enoncé

On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par :

f(x) = e^x et g(x) = 1 - e^{-x}

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C_f et C_g , sont fournies en annexe.

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l’annexe.

Hum, et si je ne vois pas du tout où sont ces tangentes, je fais comment ?

Un rapide coup d’oeil à l’énoncé permet de voir très rapidement que l’existence de ces deux tangentes va être démontrée dans l’exercice. Il suffit donc d’attendre d’avoir fait tout l’exercice afin de disposer de toutes les informations nécessaires permettant de tracer ces deux tangentes.

Bref, si vous les apercevez tout de suite, vous les tracez, sinon, vous attendez la fin de l’exercice.

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-1

Partie B

Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note \mathcal{D} l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point A d’abscisse a et tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point B d’abscisse b.

Question 1

a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point A.

Alors là, vous devez pouvoir répondre à cette question en moins de temps qu’il ne faut pour dire « Je mange une pomme ». En effet, je suppose que vous savez tous par coeur que :

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse a est f.
f donc f d’où le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point A d’abscisse a vaut e^a.

b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point B.

Il suffit de procéder exactement de la même façon que ci-dessus :

g donc g d’où le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point B d’abscisse b vaut e^{-b}.

c. En déduire que b = −a.

Autrement dit, on cherche à prouver une égalité. Dans ce cas, une bonne question à se poser est la suivante :

Pour prouver une égalité, il faut toujours se demander quelles entités sont d’ores et déjà égales.

C’est en écrivant que ces entités sont égales, que l’on en déduit l’égalité demandée.

Or, on vient de vous faire exprimer :

  • le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point A d’abscisse a ;
  • le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point B d’abscisse b.
Ah mais attends, si je me fie à l’énoncé (« Cette droite est tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point A d’abscisse a et tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point B d’abscisse b. »), les deux tangentes dont ils parlent, c’est la même droite non ?

Exactement ! Donc ?

Les deux coefficients directeurs sont égaux !

Bingo ! Il ne reste plus qu’à traduire ça en termes mathématiques :

Les tangentes à \mathcal{C}_f au point A et à \mathcal{C}_g au point B constituent la même droite donc leurs coefficients directeurs sont égaux. On a donc :
f
e^a = e^{-b}

Or :

e^x = e^y si et seulement si x = y.

Donc on peut écrire :

Or, e^x = e^y si et seulement si x = y d’où a = -b donc b = -a.

Question 2

Démontrer que le réel a est solution de l’équation 2(x-1)e^x + 1 = 0.

Montrer que « a est solution de l’équation 2(x-1)e^x + 1 = 0« , c’est montrer que 2(a-1)e^a + 1 = 0.

Ce n’est rien d’autre qu’une autre égalité à prouver !

Donc même question à se poser que tout à l’heure : quelles entités sont d’ores et déjà égales ?

Je vois que ça commence à rentrer. :)

La seule « égalité d’entités » que je vois, c’est que les deux tangentes correspondent à la même droite, mais ça, on l’a déjà dit.

C’est vrai, mais on n’en a pas tiré toutes les conséquences ! On en a juste déduit que les coefficients directeurs étaient égaux. Il y a quelque chose d’autre à déduire !

Je ne vois pas du tout ce qu’on peut en déduire d’autre…

Ah bon ? Comment définit-on une droite ?

Par une équation de type « y = ax + b« 

Exactement ! Et le cours ne dit-il pas que :

L’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse a est y = f.
Ah si, maintenant je vois ! L’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse a est y = f tandis que l’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point d’abscisse b est y = g. Or, les deux tangentes correspondent à la même droite donc f ! Ca y est, on a autre égalité de départ !

Je ne l’aurais pas mieux dit ! Il ne reste plus qu’à l’écrire et en déduire l’égalité demandée :

L’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point d’abscisse a est y = f tandis que l’équation de la tangente à la courbe \mathcal{C}_g au point d’abscisse b est y = g. Or, les deux tangentes correspondent à la même droite donc on a :

f

\Leftrightarrow f
\Leftrightarrow e^a(x - a) + e^a = e^a(x + a) + (1 - e^a)
\Leftrightarrow xe^a - ae^a + e^a = xe^a + ae^a + 1 - e^a
\Leftrightarrow - ae^a + e^a = ae^a + 1 - e^a

Arrivé ici, je choisis de tout passer à gauche et de factoriser par e^a ce qui peut l’être (car l’égalité demandée fait apparaître e^a en facteur) :

\Leftrightarrow (1 - a - a + 1)e^a - 1 = 0
\Leftrightarrow (2 - 2a)e^a - 1 = 0

Puis je factorise par 2 ce qui peut l’être, pour faire apparaître le facteur 2 :

\Leftrightarrow 2(1 - a)e^a - 1 = 0

Il ne reste plus qu’à passer à l’opposé pour obtenir exactement ce que demande l’énoncé :

\Leftrightarrow 2(a - 1)e^a + 1 = 0

Partie C

On considère la fonction \varphi définie sur \mathbb{R} par \varphi(x) = 2(x - 1)e^x + 1.

Question 1

a. Calculer les limites de la fonction \varphi en -\infty et +\infty.

  • Limite de \varphi en +\infty

Aucune difficulté en +\infty :

\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~2(x - 1) = +\infty \\\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^x = +\infty\end{cases} donc, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~2(x - 1)e^x + 1 = +\infty
  • Limite de \varphi en -\infty
\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~2(x - 1) = -\infty \\\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~e^x = 0\end{cases} donc, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~2(x - 1)e^x + 1 = ... euh…

Egal rien du tout malheureusement ! Retenez bien que :

« 0 \times \infty » est une forme indéterminée.
Ah zut, on est bloqué alors ?

Non, il suffit juste de s’y prendre autrement :

Dès que l’on se retrouve face à une forme indéterminée lors du calcul d’une limite faisant apparaître les fonctions exponentielle ou logarithme népérien, il faut se tourner vers les limites dites de « croissances comparées ».

En l’occurrence ici, en développant (x - 1)e^x, on va pouvoir se servir de la limite suivante :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~xe^x = 0
2(x - 1)e^x + 1 = 2(xe^x - e^x) + 1
Or,
\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~xe^x = 0 ~\text{par croissances comparees}\\\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~e^x = 0\end{cases}
Donc \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~2(xe^x - e^x) = 0 d’où \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~\varphi(x) = 1.

b. Calculer la dérivée de la fonction \varphi, puis étudier son signe.

  • Calcul de la dérivée

Aucune difficulté particulière sur le calcul de cette dérivée qui comporte un produit de fonctions :

On pose :
\begin{cases}u(x) = 2(x - 1), u

Donc \varphi.

  • Etude du signe de \varphi

\varphi est une fonction dont le signe est assez simple à étudier. Petit réflexe à garder en tête :

Lors de l’étude des signes d’une fonction, il convient toujours de repérer le facteur qui reste strictement positif sur l’intervalle de définition de cette fonction afin de ne pas avoir à en tenir compte dans le tableau de signes.

Ici, on peut en effet remarquer que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, 2e^x ~\textgreater ~0 donc le signe de \varphi ne dépend que du signe de x.

Cela rend le tableau de signes extrêmement concis :

D’où le tableau de signes suivant :

\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline x & & - & 0 & + & \\\hline \varphi

c. Dresser le tableau de variation de la fonction \varphi sur \mathbb{R}. Préciser la valeur de \varphi(0).

Cette question est bien sûr extrêmement classique et a été préparée par les questions 1. a. et 1. b. précédentes. Par conséquent, l’établissement du tableau de variation ici est immédiat :

\varphi(0) = 2(0 - 1)e^0 + 1 = -1.
Le tableau de variations de la fonction \varphi est le suivant :

\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline \varphi


Question 2

a. Démontrer que l’équation \varphi(x) = 0 admet exactement deux solutions dans \mathbb{R}.

Question ultra classique !

Dès que vous voyez une question du type « Démontrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution sur l’intervalle [a;b] » ([a;b] pouvant être remplacé par ]a;b[, ]a;b], [a;b[ ou encore \mathbb{R}) vous devez penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Oh non ! je n’ai jamais rien compris à ce théorème !

On va y aller doucement. Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ainsi, la rédaction de la réponse à une telle question est toujours la même. Pour des raisons de simplicité, je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur un intervalle [a;b] donné ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. Cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Bien sûr ici, c’est la fonction \varphi qui joue le rôle de f. D’après le tableau de variations établi à la question précédente, on peut remarquer que \varphi est :

  • strictement décroissante sur ]-\infty;0] ;
  • strictement croissante sur [0;+\infty[ ;

Chacun des deux cas est donc à étudier. Dans la suite de la présentation de la démarche, je ne m’intéresserai qu’à l’intervalle ]-\infty;0].

Donc, si on reprend la méthode, ici, c’est ]-\infty;0] qui joue le rôle de [a;b]. Sur cet intervalle, on sait que :

  • Monotonie de \varphi
    \varphi est strictement décroissante sur ]-\infty;0] ;
  • Valeurs de \varphi aux bornes de [a;b]
    \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~\varphi(x) = 1 et \varphi(0) =-1

On peut donc écrire :

D’après le tableau de variations déterminé à la question précédente, on sait que \varphi est strictement décroissante sur ]-\infty;0]. De plus :

  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~\varphi(x) = 1
  • \varphi(0) =-1

donc \varphi(]-\infty;0]) = [-1~;~1[.

Vous remarquerez que :

  • l’image de [a;b] par f se note f([a;b]) ;
  • j’ai fermé l’intervalle en -1 car -1 est atteint (\varphi(0) = 1) et que je l’ai ouvert en 1 puisque, sur l’intervalle ]-\infty;0], \varphi tend vers 1 en \-infty sans jamais l’atteindre.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, c’est  0 qui joue le rôle de k et [-1~;~1[ qui joue le rôle de l’image de [a;b] par \varphi :

Or, 0 \in [-1~;~1[
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique \alpha \in ~]-\infty;0] tel que \varphi(\alpha) = 0.

Reste à procéder exactement de la même façon sur l’intervalle [0;+\infty[\varphi est strictement croissante :

D’après le tableau de variations déterminé à la question précédente, on sait que \varphi est strictement croissante sur [0;+\infty;[. De plus :

  • \varphi(0) =-1
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\varphi(x) = +\infty

donc \varphi([0;+\infty[) = [-1~;~+\infty[.
Or, 0 \in [-1~;~+\infty[ donc il existe un unique \beta \in ~[0;+\infty[ tel que \varphi(\beta) = 0.

b. On note \alpha la solution négative de l’équation \varphi(x) = 0 et \beta la solution positive de cette équation.

Vous remarquerez qu’à la question précédente nous avons anticipé les notations indiquées ici : nous avons appelé \alpha la solution qui se trouve dans l’intervalle ]-\infty;0] (et qui est donc bien négative) et \beta la solution qui se trouve dans l’intervalle [0;+\infty[ (et qui est donc bien positive)…

A l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de \alpha et \beta arrondies au centième.

Deuxième partie de la question ultra classique… Après vous avoir fait démontrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] donné (ici, on vous l’a même demandé deux fois !), on vous demande d’en trouver un encadrement.

Bref, il faut utiliser la fonction TABLE de votre calculatrice. Je vais détailler comment trouver un encadrement de \alpha. Il faudra procéder de la même façon pour \beta.

Je ne sais jamais à quelle valeur faire commencer la table, ni quel pas prendre !

OK je vais vous montrer comment je fais sur une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale S et que je la recommande vivement !).

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
L’écran par défaut que vous devez obtenir est l’écran ci-contre. Si ce n’est pas le cas, appuyer sur la touche « HOME ».
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-2
2. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « Y= ».
L’écran de saisie des fonctions apparaît.
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-3
3. Saisir \varphi et cliquer sur « ENTER ». Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-4
4. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « GRAPH ».
La courbe représentatrice de \varphi apparaît.
Afficher la courbe permet de voir à partir d’où faire commencer la table de valeurs. Ici, puisque la courbe ne croise l’axe des abscisses sur ]-\infty;0] qu’entre -1 et -2, on peut faire commencer la table de valeurs à -1.
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-5
5. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TblSet ».
L’écran de configuration de la table des valeurs apparaît.
Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-6
6. « tblStart » correspond à la valeur de x à laquelle la table commence et \Delta tbl correspond au pas. Ici, on fait commencer la table à -1.

Quant au pas, l’énoncé demande « donner une valeur arrondie au centième ». Par conséquent, il faut disposer du 3e chiffre après la virgule pour savoir à quel centième arrondir.

Cela veut-il dire que je dois mettre 0.001 dans \Delta tbl pour voir le 3e chiffre après la virgule ?

En principe oui : 0.1 pour voir un chiffre après la virgule, 0.01 pour voir deux chiffres après la virgule, etc. Dans la pratique, si vous mettez directement 0.001, vous allez mettre longtemps à trouver la bonne valeur. C’est pourquoi je vous conseille de mettre d’abord 0.01.
Une fois les deux valeurs saisies, cliquer sur « ENTER » pour revenir à l’écran de saisie des fonctions. Puis cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TABLE ». La table apparaît.

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-7
7. On remarque alors que pour x = -1.67, y1 (c’est-à-dire \varphi(x)) est strictement inférieur à  0 et que pour x = -1.68, y1 est strictement supérieur à  0 . Cela signifie que \alpha est compris entre -1.67 et -1.68. Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-8
8. Maintenant que l’on dispose d’un encadrement de \alpha au centième près, on peut reconfigurer la table pour voir le 3e chiffre après la virgule en faisant commencer la table à -1.67 et en mettant \Delta tbl à 0.001.

On remarque alors que pour x = -1.678, y1 (c’est-à-dire \varphi(x)) est strictement inférieur à  0 et que pour x = -1.679, y1 est strictement supérieur à  0 . Cela signifie que \alpha est compris entre -1.678 et -1.679 : ainsi, sa valeur arrondie au centième près est -1.68.

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-exo2-9

On peut donc conclure pour \alpha :

D’après la calculatrice,
\begin{cases}\varphi(-1.678) \simeq -0.0002~ \textless ~0\\\varphi(-1.679) \simeq 0.00041~ \textgreater ~0\end{cases}
donc la valeur arrondie de \alpha au centième est -1.68.

On procède exactement de la même façon avec \beta :

D’après la calculatrice,
\begin{cases}\varphi(0.768) \simeq -0.0001~ \textless ~0\\\varphi(0.769) \simeq 0.00319~ \textgreater ~0\end{cases}
donc la valeur arrondie de \beta au centième est 0.77.

Partie D

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.

On note E le point de la courbe \mathcal{C}_f d’abscisse a et F le point de la courbe \mathcal{C}_g d’abscisse -a (a est le nombre réel défini dans la partie B).

Question 1

Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point E.

Cette question et celle qui suit sont les deux questions réellement difficiles de cet exercice.

Ah bon ? En quoi sont-elles plus difficiles que le reste de l’exercice ?

Elles sont plus difficiles au sens où, pour les résoudre, il faut avoir une idée. Votre seul cours ne vous permettra pas de démarrer la réponse et il n’y a pas non plus de « démarche réflexe » à enclencher.

En fait, ici, le piège consiste à essayer de prouver que la droite (EF) est effectivement tangente à la courbe \mathcal{C}_f, c’est-à-dire :

  • déterminer l’équation de la droite (EF) en utilisant les coordonnées des points E et F ;
  • puis montrer que l’intersection de la droite (EF) avec la courbe \mathcal{C}_f est réduite à un point unique.

Je peux vous le dire très franchement : ça a été mon premier raisonnement et je me suis retrouvé bloqué (je me suis retrouvé avec une équation qui contient à la fois du x et du e^x que l’on ne sait pas résoudre…).

Bah pourquoi tu nous l’indiques alors ?

Je vous l’indique parce que l’objectif de ce site Web est de vous amener à « penser » à la réponse, c’est-à-dire à être capable de déterminer vous-même à quel raisonnement il faut faire appel. En vous indiquant ma première pensée, vous aurez une idée plus précise du « chemin mental » que j’ai été amené à faire.

Bref, quand je me suis retrouvé face à une équation qui contenait à la fois du x et du e^x, je me suis dit : « Tu dois certainement faire fausse route. Il n’y a rien, dans le programme de Terminale S, qui te permette de résoudre une telle équation ». Et c’est quelque chose que vous devez être capables de vous dire vous aussi ! Arriver à se faire ce genre de réflexion permet de ne pas perdre plus de temps pour rien.

Ah ok, je vois. Et donc, comment t’en es-tu sorti ?

En reprenant la question de zéro. Je me suis demandé « De quoi est-ce que je dispose dans l’énoncé ? »

Si on repart de zéro, tout ce que l’on sait dans cette partie, c’est que :

  • le point E d’abscisse a appartient à \mathcal{C}_f ;
  • le point F d’abscisse -a appartient à \mathcal{C}_g.

OK. Et maintenant, quels éléments de mon cours sont en ma possession et qui pourraient être en rapport avec la question ?

Hum… La question parle de tangentes et on sait donner l’équation d’une droite tangente à une courbe \mathcal{C}_f à un point d’abscisse a.

Tout à fait. Votre cours vous dit en effet que :

Soit \mathcal{C}_f la courbe représentative d’une fonction f dérivable en a.
La tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse a a pour équation y = f.

Donc on sait donner l’équation de la tangente à \mathcal{C}_f en E :

L’équation de la tangente à \mathcal{C}_f au point E d’abscisse a est :
y = f
y = e^a(x - a) + e^a

L’équation d’une droite étant de la forme y = ax + b, il faut arranger l’équation obtenue pour avoir une expression de cette forme :

y = e^ax + e^a(1 - a)

Maintenant qu’on dispose de l’équation de la tangente à \mathcal{C}_f en E, il suffit de montrer que F appartient à cette tangente ! Ainsi, E et F appartiendront tous deux à cette tangente et (EF) sera donc cette tangente !

Montrons que F appartient à cette tangente,
Comment montres-tu qu’un point appartient à une droite déjà ?

Ah ça, il faut absolument vous en souvenir :

Soit \mathcal{D} une droite d’équation y = ax + b.
Le point A de coordonnées (x_A;y_A) appartient à \mathcal{D} si et seulement si ax_A + b = y_A.

Montrons donc que e^ax_F + e^a(1 - a) = y_F. Votre cours vous indique que :

Soit \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f.
Un point A d’abscisse a appartient à \mathcal{C}_f si et seulement s’il a pour coordonnées (a;f(a)).

On peut donc écrire :

Le point F d’abscisse -a appartient à \mathcal{C}_g donc F a pour coordonnées (-a;g(-a)), soit (-a;1 - e^a). On a donc :
e^ax_F + e^a(1 - a) = e^a \times (-a) + e^a(1 - a)

= -ae^a + e^a - ae^a
= e^a(1 - 2a)
Ouh là, ça ne fait pas du tout 1 - e^a ça !

On ne dirait pas, non. Mais rappelez-vous que a n’est pas n’importe quel réel : il est solution de l’équation 2(x - 1)e^x + 1 = 0 :

Or a est solution de l’équation 2(x - 1)e^x + 1 = 0 donc on a :
2(a - 1)e^a + 1 = 0
2ae^a - 2e^a + 1 = 0

On veut obtenir 1 - e^a donc il faut le faire apparaître :

2ae^a - e^a - e^a + 1 = 0
1 - e^a = 2ae^a - e^a
1 - e^a = e^a(1 - 2a)

Et voilà ! e^a(1 - 2a) n’était autre que 1 - e^a « caché ». On peut donc conclure :

Donc e^ax_F + e^a(1 - a) = 1 - e^a = y_F d’où F appartient à la tangente à \mathcal{C}_f en E : (EF) est donc tangente à \mathcal{C}_f en E.

Question 2

Démontrer que (EF) est tangente à \mathcal{C}_g au point F.

Allez, c’est exactement la même question que la précédente. Vous devez y arriver tout seul.

L’équation de la tangente à \mathcal{C}_g au point F d’abscisse -a est :
y = g
y = e^a(x + a) + 1 - e^a
y = e^ax + (a - 1)e^a + 1

Montrons que E appartient à cette tangente.
Le point E d’abscisse a appartient à \mathcal{C}_f donc E a pour coordonnées (a;f(a)), soit (a;e^a). On a donc :
e^ax_E + (a - 1)e^a + 1 = ae^a + (a - 1)e^a + 1
= 2ae^a - e^a + 1
Or, d’après ce qui précède, 1 - e^a = e^a(1 - 2a) donc on a :
e^ax_E + (a - 1)e^a + 1 = 2ae^a + e^a(1 - 2a)
= 2ae^a + e^a - 2ae^a
= e^a
= y_E
Donc E appartient à la tangente à \mathcal{C}_g en F : (EF) est donc tangente à \mathcal{C}_g en F.
Tu nous as dit en début d’exercice que, si on apercevait pas « tout de suite » les tangentes communes, on pouvait attendre la fin de l’exercice pour pouvoir les tracer. Sauf que je ne vois pas du tout en quoi l’exercice nous a aidés…

Si vous ne voyez pas en quoi l’exercice vous a aidé, alors c’est que vous ne comprenez pas la logique de cet exercice. Voici comment il est construit :

  • Partie A : les deux courbes tracées dans l’énoncé admettent deux tangentes communes. Les voyez-vous ? Si oui, tracez-les. Dans la suite de l’exercice, on démontrera rigoureusement que ces deux courbes admettent effectivement deux tangentes communes et on déterminera en quelles abscisses elles sont tangentes aux deux courbes ;
  • Partie B : c’est parti pour la démonstration rigoureuse. Dans un premier temps, on admet que ces tangentes communes existent. Dans ce cas, on prouve que :
    1. si une droite est tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse a, alors elle est tangente à \mathcal{C}_g au point d’abscisse -a ;
    2. si une droite est tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse a, alors a est solution de l’équation 2(x - 1)e^x + 1 = 0. Ainsi, on peut déterminer quels sont les réels a qui conviennent en résolvant cette équation : c’est ce qu’on fait dans la partie C ;
  • Partie C : on ne sait pas résoudre de façon exacte l’équation 2(x - 1)e^x + 1 = 0. Ainsi, on introduit la fonction \varphi \mapsto x : 2(x - 1)e^x + 1, et on étudie \varphi, ce qui nous permet de trouver les solutions approchées de l’équation 2(x - 1)e^x + 1 = 0. Il y en a deux : -1.68 et 0.77. Ainsi, en prenant en compte ce que l’on a prouvé dans la partie B, on sait que, si on suppose que les deux tangentes communes existent, alors :
    1. la première est tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse -1.68 et tangente à \mathcal{C}_g au point d’abscisse 1.68 ;
    2. la seconde est tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse 0.77 et tangente à \mathcal{C}_g au point d’abscisse -0.77 ;
  • Partie D : supposer aux parties précédentes que les tangentes communes existaient nous a permis de tirer un grand nombre d’informations. Reste à prouver qu’elles existent effectivement : c’est ce que l’on fait dans cette partie.
C’est bizarre, je trouve, de supposer l’existence et d’en déduire plein de trucs et de ne prouver l’existence qu’à la fin !

C’est vrai que cela peut paraître contre-intuitif mais c’est une façon de faire qui est souvent utilisée en Mathématiques.

Bref, la partie en bleu devrait vous aider à tracer les tangentes communes non ? 😉

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2.


Annexe

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 2 2013-as-annexe-1

Exprimez vous!