Bac S 2013 Maths Asie Exercice 3

Enoncé

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :
a = 2 + 2i, b = -\sqrt{3} + i, c = 1 + i\sqrt{3}, d = -1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i, e = -1 + (2 + \sqrt{3})i.

Affirmation 1

Les points A, B et C sont alignés.

La première chose à remarquer, c’est le passage suivant de l’énoncé :

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
Qui dit « repère orthonormé direct » dit « il faut penser à utiliser les coordonnées ».

Je vous rappelle que :

On suppose que le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}). Soit A un point d’affixe z_A = x_A + iy_A. Les coordonnées du point A sont (x_A;y_A).

Ainsi, dans le repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}), les coordonnées des points mentionnés sont :

  • pour A : (2,2) ;
  • pour B : (-\sqrt{3},1) ;
  • pour C : (1,\sqrt{3}) ;
  • pour D : (-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}) ;
  • pour E : (-1,2 + \sqrt{3}).

Ici, on doit montrer que les points A, B et C sont alignés. Tout de suite, vous devez avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que trois points A, B et C ont alignés, il suffit de montrer que deux des vecteurs pouvant être formés avec ces 3 points sont colinéaires.

Personnellement, je choisis de montrer que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires :

Montrons que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

Pour cela, il faut appliquer la condition de colinéarité :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} deux vecteurs du plan de coordonnées respectives (x ; y) et (x.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires si et seulement si xy.

Calculons donc les coordonnées de ces deux vecteurs :

  • \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AB}}(-\sqrt{3} - 2 ; 1 - 2)
    \overrightarrow{\mathrm{AB}}(-\sqrt{3} - 2 ; -1)
  • \overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1 - 2 ; \sqrt{3} - 2)
    \overrightarrow{\mathrm{AC}}(-1 ; \sqrt{3} - 2)

Et appliquons donc la condition de colinéarité :

(-\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} - 2) - (-1) \times (-1)
= -3 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4 - 1
= 0
Donc, d’après la condition de colinéarité, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.
Ainsi, les points A, B et C sont alignés : la proposition est vraie.

Affirmation 2

Les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.

Montrer que des points appartiennent à un même cercle de centre E, c’est montrer que la distance entre chacun de ces points et le point E est identique.

Vous l’aurez donc compris, il suffit de calculer EB, EC et ED. Petit rappel :

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points du plan.
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Donc on peut écrire :

EB = \sqrt{(x_B - x_E)^2 + (y_B - y_E)^2}
EB = \sqrt{(-\sqrt{3} - (-1))^2 + (1 - (2 + \sqrt{3}))^2}
EB = \sqrt{(-\sqrt{3} + 1)^2 + (-1 - \sqrt{3})^2}
EB = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1 + 1 + 2\sqrt{3} + 3}
EB = \sqrt{8}
EB = 2\sqrt{2}


EC = \sqrt{(x_C - x_E)^2 + (y_C - y_E)^2}
EC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (\sqrt{3} - (2 + \sqrt{3}))^2}
EC = \sqrt{2^2 + (-2)^2}
EC = \sqrt{8}
EC = 2\sqrt{2}


ED = \sqrt{(x_D - x_E)^2 + (y_D - y_E)^2}
ED = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - (2 + \sqrt{3})\right)^2}
ED = \sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2\right)^2}
Arrivé ici, j’ai un peu de mal à finir le calcul de ED

OK je vais vous aider. Sommes-nous d’accord que :

  • -\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2 = -\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right) : j’ai simplement « sorti le moins » ;
  • et que (-A)^2 = A^2 ?
Oui je suis d’accord.

Du coup, on a :

ED = \sqrt{\left(-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)\right)^2}
ED = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)^2}
\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 et hop, on a fini !

Pas si vite ! Même si ici, vous avez effectivement raison, j’aimerais vous mettre en garde contre une erreur que les élèves font souvent :

\sqrt{A^2} = |A| et non pas A !

Sauf qu’ici, on a de la chance, \left|\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right| est effectivement égal à \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 (car \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 est clairement positif) d’où le fait que la conclusion soit effectivement :

ED = \left|\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\right|
ED = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 car \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2 ~\textgreater ~0.

Ayant fini le calcul de ces trois longueurs, on peut se prononcer sur l’affirmation :

ED \neq EC donc l’affirmation est fausse.

Dans cette question, l’espace est muni d’un repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).
On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).

Affirmation 3

La droite \mathcal{D} de représentation paramétrique \begin{cases}x = 2 - t \\y = 6 - 2t \\z = -2 + t\end{cases}t \in \mathbb{R}, coupe le plan (IJK) au point E(-\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}).

Déterminer l’intersection d’une droite dont on dispose de la représentation paramétrique avec un plan est un savoir faire que vous devez maîtriser. La démarche est toujours la même :

Détermination d’une équation cartésienne du plan (IJK)

Pourquoi dis-tu « une équation » et non pas « l’équation » ?

Comme vous allez le voir, on pourrait déterminer une infinité d’équations pour le plan (IJK). Une seule nous suffit !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Rappeler qu’une équation cartésienne d’un plan de l’espace a pour forme ax + by + cz + d = 0.
Soit ax + by + cz + d = 0 l’équation du plan (IJK).
Comment sais-tu que l’équation du plan (IJK) est de cette forme là ?

Ca, c’est le cours qui me le dit :

Dans l’espace muni d’un repère (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}), l’équation cartésienne d’un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer le fait que chacun des points I; J et K appartient au plan (IJK).

Une fois encore, le cours nous vient en aide :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et A(x_A;y_A;z_A) un point de l’espace.
A \in \mathcal{P} si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation du plan \mathcal{P}, c’est-à-dire si et seulement si ax_A + by_A + cz_A + d = 0.

Donc on peut écrire :

I, J et K appartiennent au plan (IJK) donc :
\begin{cases}ax_I + by_I + cz_I + d = 0 \\ax_J + by_J + cz_J + d = 0 \\ax_K + by_K + cz_K + d = 0 \\\end{cases}
\begin{cases}a \times 1 + b \times 0 + c \times 0 + d = 0 \\a \times 0 + b \times 1 + c \times 0 + d = 0 \\a \times 0 + b \times 0 + c \times 1 + d = 0 \\\end{cases}
\begin{cases}a + d = 0 \\b + d = 0 \\c + d = 0 \\\end{cases}
Ah zut ! J’ai quatre inconnues, mais seulement trois équations pour les déterminer !

Très bonne remarque ! En fait, on ne cherche pas à déterminer les valeurs des quatre inconnues. Il s’agit simplement de fixer au choix la valeur de l’une d’entre elles et d’en déduire les autres en fonction de celle-là.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Exprimer 3 inconnues en fonction d’une quatrième que l’on a arbitrairement choisie.

Ici, étant donné la « tête » du système que l’on obtient, je choisis d’exprimer toutes les inconnues en fonction de d :

\begin{cases}a = - d \\b = - d \\c = - d\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Choisir arbitrairement une valeur (simple) pour l’inconnue que l’on a fixée.

Vous vous souvenez ? Plus haut, je vous indiquais que l’on pouvait déterminer une infinité d’équations cartésiennes pour le plan (IJK). Ce que je viens de vous dire vous explique pourquoi : je peux donner n’importe quelle valeur à l’inconnue que j’ai choisi de fixer. Il y a donc autant d’équations possibles pour le plan (IJK) que de valeurs que je choisis de donner à l’inconnue que je fixe.

Je pourrais très bien prendre la valeur \dfrac{3\pi}{27} pour d, mais cela compliquerait inutilement mes calculs pour la suite. Pour obtenir une équation cartésienne vraiment simple, je choisis la valeur -1 pour d :

En prenant d = -1, on obtient :
\begin{cases}a = 1 \\b = 1 \\c = 1\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur une équation cartésienne de (IJK).
Donc, une équation cartésienne de (IJK) est x + y + z - 1 = 0.

Détermination de l’intersection

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Remplacer les expressions de x, y et z dans l’équation cartésienne du plan par leurs expressions données dans la représentation paramétrique de \mathcal{D}.
En utilisant la représentation paramétrique de la droite \mathcal{D}, on obtient (2 - t) + (6 - 2t) + (-2 + t) - 1 = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Résoudre l’équation obtenue d’inconnue t. Si :

  • on ne trouve pas de solution : l’intersection entre la droite et le plan est vide ;
  • on trouve une unique solution : l’intersection entre la droite et le plan est un point unique ;
  • on trouve une infinité de solutions : la droite appartient au plan.

Poursuivons donc les calculs :

(2 - t) + (6 - 2t) + (-2 + t) - 1 = 0
2 - t + 6 - 2t - 2 + t - 1 = 0
-2t + 5 = 0
t = \dfrac{5}{2}
Donc l’intersection du plan (IJK) et de la droite \mathcal{D} est un point unique E.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Si l’intersection est un point unique, déterminer ce point en calculant ses coordonnées x, y et z. Pour cela, dans l’équation paramétrique de la droite \mathcal{D}, remplacer t par la valeur trouvée.
Les coordonnées de E sont :
x_E = 2 - t = 2 - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2}
y_E = 6 - 2t = 6 - 2 \times \dfrac{5}{2} = 1
z_E = -2 + t = -2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}
L’affirmation est vraie.

Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF]..

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 3 2013-as-exo3-1

Affirmation 4

Les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.

Là, tout de suite, réflexe :

Pour montrer que deux droites sont orthogonales, il faut montrer que leur produit scalaire vaut  0 .
Oh non ! Ne me dis pas que je vais devoir utiliser la relation de Chasles ! Je ne sais jamais par quel point passer !

Effectivement, on pourrait utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AT}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}}. Cependant, j’ai moi aussi horreur de la relation de Chasles donc, si comme moi, vous voulez l’utiliser le moins possible, ayez le réflexe suivant :

Pour calculer un produit scalaire sans utiliser la relation de Chasles, il faut voir s’il est possible d’introduire un repère orthonormé dans lequel les coordonnées des différents points sont faciles à déterminer.

Ici, ce repère est assez simple à trouver. Introduisons le repère orthonormé (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}) :

On munit l’espace du repère orthonormé (A;\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AD}};\overrightarrow{\mathrm{AE}}).

Dans ce repère, les coordonnées des points A, T, E et C sont faciles à déterminer :

A a pour coordonnées (0;0;0).
T a pour coordonnées (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1).
E a pour coordonnées (0;0;1).
C a pour coordonnées (1;1;0).

Cela nous permet d’en déduire les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AT}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}}. En effet, il suffit de se souvenir que :

Soit A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).

Donc ici, on peut écrire :

\overrightarrow{\mathrm{AT}}(x_T-x_A;y_T-y_A;z_T-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AT}}(\dfrac{1}{2}-0;\dfrac{1}{2}-0;1-0)
\overrightarrow{\mathrm{AT}}(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};1)

\overrightarrow{\mathrm{EC}}(x_C-x_E;y_C-y_E;z_C-z_E)
\overrightarrow{\mathrm{EC}}(1-0;1-0;0-1)
\overrightarrow{\mathrm{EC}}(1;1;-1)

C’est bien beau, tout ça ! Mais qu’est-ce que je fais de toutes ces coordonnées ?

Eh bien, nous allons calculer le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AT}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}} en utilisant leurs coordonnées. Et croyez-moi, le calcul d’un produit scalaire lorsqu’on dispose des coordonnées des vecteurs, c’est un jeu d’enfant ! En effet, tout ce dont il faut se souvenir, c’est que :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} vaut xx.

Donc ici, on peut écrire :

\overrightarrow{\mathrm{AT}}.\overrightarrow{\mathrm{EC}} = \dfrac{1}{2} \times 1 + \dfrac{1}{2} \times 1 + 1 \times (-1) = 0.
Donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AT}} et \overrightarrow{\mathrm{EC}} sont orthogonaux : l’affirmation est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Asie Exercice 3.

Exprimez vous!