Bac S 2013 Maths Asie Exercice 4 Obl

Enoncé

Partie A

On considère la suite (u_n) définie par : u_0 = 2 et, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Question 1

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u_n ~\textgreater ~1.

Rappelons les étapes d’un raisonnement par récurrence :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n« . Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Initialisation
u_0 = 2 ~\textgreater ~1 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que u_k ~\textgreater ~1. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que u_{k+1} ~\textgreater ~1.

Ici, toute l’idée est de montrer que u_{k+1} est égal à « 1 + quelque chose de toujours strictement positif ». Ainsi, u_{k+1} est strictement supérieur à 1.

Pour cela, il faut faire apparaître le terme 1 en ajoutant et en retirant au numérateur le contenu du dénominateur :

\dfrac{1+3u_k}{3+u_k} = \dfrac{(3+u_k) + 1 + 3u_k - (3+u_k)}{3+u_k} = \dfrac{3+u_k}{3+u_k} + \dfrac{1 + 3u_k - 3 - u_k}{3+u_k} = 1 + \dfrac{2u_k - 2}{3+u_k}

Il suffit donc de montrer que \dfrac{2u_k - 2}{3+u_k} ~\textgreater ~0. C’est maintenant que nous allons nous servir de l’hypothèse de récurrence :

D’après l’hypothèse de récurrence, u_k ~\textgreater ~1 donc 2u_k - 2 ~\textgreater ~0 et 3 + u_k ~\textgreater ~4 ~\textgreater ~0 d’où \dfrac{2u_k - 2}{3+u_k} ~\textgreater ~0.

On peut alors conclure :

Donc u_{k+1} = 1 + \dfrac{2u_k - 2}{3+u_k} ~\textgreater ~1 : la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n ~\textgreater ~1.

Question 2

a. Établir que, pour tout entier naturel n, on a : u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}.

C’est un simple calcul qui est demandé ici. Il suffit de tout mettre au même dénominateur :

u_{n+1} - u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} - u_n = \dfrac{(1+3u_n) - u_n(3+u_n)}{3+u_n} = \dfrac{1 + 3u_n - 3u_n - u_n^2}{3+u_n} = \dfrac{1 - u_n^2}{3+u_n}

Arrivé ici, il suffit de se souvenir de la fameuse identité remarquable (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 et de l’appliquer :

... = \dfrac{(1 - u_n)(1 + u_n)}{3+u_n}

b. Déterminer le sens de variation de la suite (u_n). En déduire que la suite (u_n) converge.

Tout de suite, un réflexe à avoir :

Pour déterminer le sens de variation d’une suite (u_n), il faut déterminer le signe de u_{n+1} - u_n.

En effet, le cours nous indique que :

Soit (u_n) une suite numérique.

  • (u_n) est croissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\geq ~0
  • (u_n) est décroissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\leq ~0

Si les inégalités sont strictes, la suite est dite respectivement « strictement croissante » et « strictement décroissante ».

Ici, avec ce qui a été démontré à la question 1, étudier le signe de u_{n+1} - u_n est un jeu d’enfant :

D’après la question 1, pour tout n entier naturel, u_n ~\textgreater ~1 donc, on a :

  • 1 - u_n ~\textless ~0
  • 1 + u_n ~\textgreater ~0
  • 3 + u_n ~\textgreater ~0

D’où u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n} ~\textless ~0 donc la suite u_n est strictement décroissante.

Quant à la deuxième partie de la question, elle cherche à vérifier que vous connaissez les propriétés suivantes du cours :

  • Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge ;
  • Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.

Ici, la suite (u_n) est décroissante et, pour tout entier naturel n, u_n ~\textgreater ~1 donc elle est minorée par 1. On peut donc conclure :

De plus, pour tout entier naturel n, u_n ~\textgreater ~1 donc la suite (u_n) est minorée par 1 donc elle converge.

Partie B

On considère la suite (u_n) définie par : u_0 = 2 et, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = \dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n}

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Question 1

On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 4 Obl 2013-as-exo4-1

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3. Les valeurs de u seront arrondies au millième.

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 4 Obl 2013-as-exo4-2

Vous l’aurez compris, il s’agit de calculer u_1, u_2 et u_3 en utilisant la formule de récurrence par laquelle est définie la suite (u_n) :

  • pour i = 1, on affecte à u la valeur \dfrac{1+0.5u}{0.5+u} = \dfrac{1+0.5 \times 2}{0.5+2} = 0.8 ;
  • pour i = 2, on affecte à u la valeur \dfrac{1+0.5u}{0.5+u} = \dfrac{1+0.5 \times 0.8}{0.5+0.8} = 1.077 ;
  • pour i = 3, on affecte à u la valeur \dfrac{1+0.5u}{0.5+u} = \dfrac{1+0.5 \times 1.077}{0.5+1.077} = 0.976.

Donc on peut remplir le tableau :

i 1 2 3
u 0.8 1.077 0.976

Question 2

Pour n = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

Bac S 2013 Maths Asie Exercice 4 Obl 2013-as-exo4-3

Conjecturer le comportement de la suite (u_n) à l’infini.

Hum… Je ne vois pas trop… Elle ne semble ni croissante, ni décroissante…

Effectivement, vous ne croyez pas si bien dire :

La suite (u_n) semble « osciller » autour de 1, qui semble être sa limite lorsque n tend vers +\infty.

Question 3

On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par : v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}.

a. Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison -\dfrac{1}{3}.

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (v_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

Calculons donc \dfrac{v_{n+1}}{v_n}. Ce n’est pas que le calcul est vraiment difficile mais il faut rester calme pour éviter de faire des erreurs :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{\dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1}}{\dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1} \times \dfrac{u_n + 1}{u_n - 1}

= \dfrac{\dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n} - 1}{\dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n} + 1} \times \dfrac{u_n + 1}{u_n - 1}
= \dfrac{\dfrac{1 + 0.5u_n - 0.5 - u_n}{0.5 + u_n}}{\dfrac{1 + 0.5u_n + 0.5 + u_n}{0.5 + u_n}} \times \dfrac{u_n + 1}{u_n - 1}
= \dfrac{0.5 - 0.5u_n}{1.5 + 1.5u_n} \times \dfrac{u_n + 1}{u_n - 1}
= \dfrac{-0.5(u_n - 1)}{1.5(u_n + 1)} \times \dfrac{u_n + 1}{u_n - 1}
Comment sais-tu qu’au numérateur de la première fraction, il faut factoriser par -0.5 et non pas 0.5 ?

Je ne l’ai pas deviné. Je l’ai simplement vu : en factorisant par 0.5, je me retrouve avec du 1 - u_n. Or, le dénominateur de la seconde fraction est u_n - 1 donc il faut que je « sorte un moins » si je veux me retrouver avec u_n - 1 et pouvoir le simplifier ! Terminons le calcul :

... = \dfrac{-0.5}{1.5}

Arrivé ici, il faut remplacer 0.5 et 1.5 par leurs fractions respectives, sinon, on on n’obtiendra jamais le -\dfrac{1}{3} recherché. 0.5 = \dfrac{1}{2} et 1.5 = \dfrac{3}{2} d’où :

... = \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = -\dfrac{1}{3}
Donc la suite (v_n) est bien géométrique de raison -\dfrac{1}{3}.

b. Calculer v_0 puis écrire v_n en fonction de n.

Rien n’est plus simple que de calculer v_0 :

v_0 = \dfrac{u_0 - 1}{u_0 + 1} = \dfrac{2 - 1}{2 + 1} = \dfrac{1}{3}

Quant à écrire v_n en fonction de n, il suffit de se souvenir que :

Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Donc ici, on a :

v_n = v_0 \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n
... = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} non ?

Surtout pas, malheureux ! Regardez la différence entre les deux expressions :

  • \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = \dfrac{1}{3}(-1)^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} = (-1)^n\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}
  • \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} = (-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}

En les réécrivant ainsi, on voit bien que les deux expressions sont différentes…


Question 4

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v_n ~\neq ~1.

J’avoue que cette question est difficile au sens où il faut avoir une idée pour commencer la question. Sans cette idée, vous avez beau savoir votre cours, cela ne vous aidera pas à vous en sortir…

Ah bon ?! Mais c’est horrible les questions comme ça !!

Je suis bien d’accord. Heureusement pour vous, au bac, les questions qui vous demandent d’avoir des idées originales sont rares… En général, connaître le cours et avoir les quelques réflexes qui sont indiqués sur ce site Web suffisent.

Ici, il s’agit de montrer que, quelque soit n entier naturel, v_n est strictement inférieur à 1. Du coup, il est forcément différent de 1. Pour ce faire, il faut s’intéresser à la valeur absolue de v_n et remarquer que v_n ~\textless ~|v_n| :

v_n ~\leq ~|v_n| = \left|\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\right|

Or, on sait que :

Pour tout réel a,

  • |ab| = |a| \times |b|
  • |a^n| = |a|^n

Donc on peut poursuivre les calculs de la façon suivante :

... = \left|\dfrac{1}{3}\right|\left|\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right|^n = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}

Or, sommes-nous d’accord que plus n est grand, plus \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} est petit ? Si vous n’en êtes pas convaincus, affichez à la calculatrice \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} avec des valeurs de n de plus en plus grandes ; vous verrez que \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} devient de plus en plus petit.

Du coup, la valeur maximum de \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} est atteinte lorsque n est le plus petit possible, c’est-à-dire lorsqu’il vaut  0 . Donc on a :

... ~\leq ~\dfrac{1}{3} ~\textless ~1.

On peut alors conclure :

Donc, pour tout n entier naturel, v_n ~\textless ~1 d’où v_n \neq 1.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 - v_n}.

Alors là, ce que vous devez vous dire immédiatement, c’est : « L’expression de v_n dépend de u_n. Or, le membre de droite est censé être égal à u_n : calculons donc le membre de droite en remplaçant v_n par son expression qui dépend de u_n pour voir ce que ça donne !

Une fois que vous vous êtes dit ça, la question devient un simple calcul :

Pour tout n entier naturel,
\dfrac{1 + v_n}{1 - v_n} = \dfrac{1 + \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}}{1 - \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}} = \dfrac{\dfrac{u_n + 1 + u_n - 1}{u_n + 1}}{\dfrac{u_n + 1 - u_n + 1}{u_n + 1}} = \dfrac{2u_n}{u_n + 1} \times \dfrac{u_n + 1}{2} = u_n

…et le tour est joué !

c. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Bien sûr, il faut utiliser l’expression de u_n trouvée à la question précédente.

En effet, votre cours vous indique que :

Soit (v_n) une suite géométrique de raison q :

  • si |q| ~\textless ~1, (v_n) converge vers  0 ;
  • si q = 1, (v_n) est constante et, pour tout n entier naturel, v_n est égal au terme initial de la suite ;
  • si q ~\textgreater ~1, (v_n) est divergente et possède une limite égale à :
    1. +\infty si son terme initial est strictement positif ;
    2. -\infty si son terme initial est strictement négatif.

Ici, on peut donc écrire :

D’après la question 3. a., (v_n) est une suite géométrique de raison -\dfrac{1}{3}. Or, \left|\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right| ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = 0.

Il ne reste plus qu’à faire le lien avec l’expression de u_n trouvée à la question précédente :

De plus, d’après la question précédente, u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 - v_n} d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = 1.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Asie Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!