Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1

Enoncé

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda = 0,0002.

Question 1

Quelle est la durée de vie moyenne d’une vanne ?

Ceci est une question de cours. Elle cherche à voir si vous connaissez la propriété suivante :

Soit X une variable aléatoire qui représente la durée de vie d’un objet.
On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda.
La durée de vie moyenne de l’objet vaut :
E(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Ici, T est la variable aléatoire qui représente la durée de vie d’une vanne en heures. On peut donc écrire :

T suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = 0,0002 donc la durée de vie moyenne d’une vanne vaut :
E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,0002} = 5000 heures

Question 2

Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à 6 000 heures.

Deuxième question de cours. Cette fois-ci, c’est cette propriété que l’on veut vous faire écrire :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda et a un nombre réel.
P(X ~\textgreater ~a) = e^{-\lambda a}.

Ici, cela donne :

La probabilité que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à 6000 heures vaut :
P(X ~\textgreater ~6000) = e^{-6000\lambda} = e^{-6000~\times~0,0002} = 0,301
Ah tiens ! Je ne la connaissais pas, moi, cette formule. Par contre, je connaissais celle-ci : P(X ~\leq ~a) = 1 - e^{-\lambda a}.

Ce n’est rien d’autre que la probabilité de l’événement contraire de l’événement X ~\textgreater ~a ! Ainsi, si vous connaissez P(X ~\leq ~a) alors vous pouvez retrouver P(X ~\textgreater ~a) :
P(X ~\textgreater ~a) = 1 - P(X ~\leq ~a) = 1 - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a}.


Partie B

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-1Avec trois vannes identiques V_1, V_2 et V_3, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.

Le circuit est en état de marche si V_1 est en état de marche ou si V_2 et V_3 le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état de marche après 6000 heures. On note :

  • F_1 l’évènement : « la vanne V1 est en état de marche après 6 000 heures ».
  • F_2 l’évènement : « la vanne V2 est en état de marche après 6 000 heures ».
  • F_3 l’évènement : « la vanne V3 est en état de marche après 6 000 heures ».
  • E : l’évènement : « le circuit est en état de marche après 6 000 heures ».

On admet que les évènements F_1, F_2 et F_3 sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité
égale à 0,3.

Question 1

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-2L’arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.
Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.

Intéressons-nous aux deux premières branches :

 

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-3

L’énoncé nous indique que :

On admet que les évènements F_1, F_2 et F_3 sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.
Tu n’as pas mis en gras le fait qu’ils étaient « deux à deux indépendants » : tu t’en fiches ?

Pour l’instant, oui ! D’après ce que j’ai mis en gras, on a p(F_1) = 0,3, ce qui me permet de compléter une première branche :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-4
Et p(\overline{F_1}) alors ?

Là, il suffit de se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Donc p(\overline{F_1}) = 1 - 0,3 = 0,7. On peut donc compléter l’arbre pondéré de la façon suivante :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-5

Intéressons-nous maintenant à la partie droite de l’arbre :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-6

Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que :

Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une branche qui relie A à B (A est à gauche, B est à droite) est p_A(B) :Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-8

Cela signifie que les deux probabilités qui restent à déterminer sont les deux probabilités en rouge ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-9

Et là, un élément de l’énoncé doit vous parvenir immédiatement à l’esprit :

On admet que les évènements F_1, F_2 et F_3 sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.
Ah, tu te sers enfin de l’indépendance !

Eh oui ! Pour ceux qui ne s’en souviennent pas, je rappelle la définition de l’indépendance :

On dit que deux événements A et B sont indépendants si la probabilité pour que A soit réalisé n’est pas modifiée par le fait que B se soit produit ou non.
Autrement dit, P_B(A) = P_{\overline{B}}(A) = P(A).

On en déduit directement que P_{\overline{F_1}}(F_2) = P(F_2) = 0,3 et P_{F_2}(F_3) = P(F_3) = 0,3.

On peut donc compléter l’arbre pondéré :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-10

Question 2

Démontrer que P(E) = 0,363.

Hum, j’ai un problème… En général, dans les questions qui suivent l’établissement d’un arbre pondéré, j’essaie de m’appuyer sur cet arbre pour répondre. Or ici, E n’apparaît même pas dans l’arbre !
Essayer de s’appuyer sur l’arbre pondéré que l’on vient d’établir pour répondre aux questions qui suivent est un excellent réflexe qu’il faut absolument avoir !

Et ici, la question ne fait pas exception : c’est l’arbre pondéré que l’on vient de réaliser à la question précédente qui va nous permettre de répondre !

C’est vrai que l’événement E n’y apparaît pas, mais E peut être exprimé en fonction d’événements qui, eux, y sont. Souvenez-vous de ce que dit l’énoncé :

Le circuit est en état de marche si V_1 est en état de marche ou si V_2 et V_3 le sont simultanément.

Il y a un petit piège là-dedans… Ce qu’il faut comprendre, c’est que le circuit est en état de marche si :

  • soit V_1 est en état de marche ;
  • soit V_1 n’est pas en état de marche et V_2 et V_3 sont en état de marche simultanément.

Or, « V_1 est en état de marche » correspond à l’événement F_1. Idem pour V_2 et V_3 avec les événements F_2 et F_3.

D’où, si on traduit ce qu’il faut comprendre de l’énoncé, l’événement E, c’est l’événement F_1 \cup (\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3).

C’est bien beau, tout ça ! Mais comment tu sais qu’il faut comprendre que lorsque V_2 et V_3 sont en état de marche simultanément, V_1 n’est pas en état de marche ?

Là-dessus, il y a deux possibilités :

  • soit vous comprenez tout de suite que l’on n’utilise les vannes V_2 et V_3 que lorsque la vanne V_1 ne fonctionne plus ;
  • soit vous vous dites : « Attends, dans l’arbre pondéré proposé par l’énoncé, sur la branche où apparaissent les événements F_2 et F_3 figure également l’événement \overline{F_1}… A mon avis, cela veut dire que quand les vannes V_2 et V_3 fonctionnent, la vanne V_1 ne fonctionne pas » : c’est ce qui s’appelle lire intelligemment un énoncé !

Et en plus, si vous ne faites pas intervenir \overline{F_1}, en calculant P(E), vous ne parviendrez jamais à P(E) = 0,363 comme demandé…

Comme annoncé plus haut, exploitons donc l’arbre pondéré pour calculer la probabilité de l’événement E = F_1 \cup (\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3). Pour cela, il faut se souvenir que :

Sur un arbre pondéré, si on arrive à tracer un chemin qui part de la racine de l’arbre et qui relie n événements, alors, la probabilité de l’intersection de ces n événements correspond au produit des probabilités de chacune des branches qui constitue le chemin tracé.

Ici, le chemin qui part de la racine de l’arbre et qui relie les événements \overline{F_1}, F_2 et \cap F_3 est facile à trouver :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-11

Donc on peut écrire :

En exploitant l’arbre pondéré établi à la question précédente, on a :
P((\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3) = 0,7 \times 0,3 \times 0,3 = 0,063.

Ensuite, il faut remarquer que :

De plus, les événements F_1 et \overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3 sont incompatibles.

car la vanne V_1 ne peut à la fois fonctionner et ne pas fonctionner. En effet, je rappelle que :

Deux événements A et B sont incompatibles si et seulement s’ils ne peuvent avoir lieu en même temps.

Dans ce cas, on a : P(A \cap B) = 0 et P(A \cup B) = P(A) + P(B).

D’où :

Donc P(E) = P(F_1 \cup (\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3)) = P(F_1) ~+~ P(\overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3) = 0,3 ~+~ 0,063 = 0,363.

Question 3

Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne V_1 soit en état de marche à ce moment là.
Arrondir au millième.

A la lecture de l’énoncé, la probabilité à calculer doit être immédiate :

Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne V_1 soit en état de marche à ce moment là.

Il s’agit donc de calculer Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-12. Au vu de la probabilité à calculer, une formule doit immédiatement vous venir à l’esprit :

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

Ici, on peut donc écrire :

P_E(F_1) = \dfrac{P(F_1 \cap E)}{P(E)}

E est l’union des deux événements incompatibles \overline{F_1} et \overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3 donc, si on devait schématiser les événements E, F_1 et \overline{F_1} \cap F_2 \cap F_3 par des « patates », voici ce que l’on obtiendrait :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-13

On voit donc que l’événement F_1 est inclus dans l’événement E. Or :

Si A est inclus dans B (ce que l’on note « A \subset B »), alors A \cap B = A.

Donc on peut écrire :

Or, F_1 \subset E donc F_1 \cap E = F_1 d’où :
P(E) = \dfrac{P(F_1 \cap E)}{P(E)} = \dfrac{P(F_1)}{P(E)} = \dfrac{0,3}{0,363} = 0,826.

Partie C

L’industriel affirme que seulement 2 % des vannes qu’il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l’on note F la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale.

Question 1

Déterminer l’intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable F.

C’est parti pour cette question de cours classique ! Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont F représente la fréquence constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.
« Choisir une vanne » est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « la vanne est défectueuse », de probabilité p = 0,02 (car l’industriel indique que « 2% des vannes qu’il fabrique sont défectueuses ») ou « la vanne n’est pas défectueuse », de probabilité 1 - p = 0,98. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « la vanne est défectueuse ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, F représente la fréquence de vannes défectueuses « dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale ». Donc cela peut être assimilé à 400 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 400 et p = 0,02.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 400 \ge 30
  • np = 400 \times 0.02 = 8 \ge 5
  • n(1 - p) = 400 \times (1 - 0.02) = 392 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F vaut I = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,00628 ; 0,03372].

Question 2

On choisit 400 vannes au hasard dans la production. On assimile ce choix à un tirage aléatoire de 400 vannes, avec remise, dans la production.
Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.
Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause, au seuil de 95 %, l’affirmation de l’industriel ?

Pour répondre, il suffit de retenir la chose suivante :

Si, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité annoncée pour les succès est considérée comme exacte. Sinon, elle est considérée comme inexacte.

Calculons donc la fréquence des succès dans l’échantillon prélevé :

Sur les 400 vannes choisies, 10 sont défectueuses. Donc, la fréquence des succès vaut \dfrac{10}{400} = 0,025 \in I. Donc l’affirmation de l’industriel ne peut être remise en cause.

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.
L’industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients. La demande mensuelle est une variable aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance \mu = 800 et d’écart-type \sigma = 40.

Question 1

Déterminer P(760 \le D \le 840).

Lorsque l’on considère une loi normale, s’il s’agit de calculer une probabilité du type P(a \le X \le b), il suffit d’utiliser directement la calculatrice.

Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-14
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-16
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-20
4. Cliquer sur F5 > 4.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires au calcul de la probabilité cherchée apparaît.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-21
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à calculer P(760 \le D \le 840) donc :

  • Lower Value : 760 ;
  • Upper Value : 840.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 800 et d’écart-type \sigma = 40 donc :

  • \mu : 800 ;
  • \sigma : 40.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-18
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Cdf ».
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1 2013-ce-exo1-19

On peut donc directement noter le résultat sur la copie :

D’après la calculatrice, on a P(760 \le D \le 840) = 0,683.

Question 2

Déterminer P(D \le 880).

La calculatrice ne sait pas calculer les probabilités du type P(X \le a). Elle ne sait calculer que les probabilités du type P(a \le X \le b).

Par conséquent, pour calculer une probabilité du type P(X \le a)X suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma, il faut systématiquement appliquer la règle suivante :

  • Si a \ge \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 + P(\mu \le X \le a) ;
  • Si a \le \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 - P(a \le X \le \mu).

Ici, a = 880 et \mu = 800 donc a \ge \mu d’où on utilise le premier cas :

880 \ge \mu donc P(X \le 880) = 0,5 + P(\mu \le X \le 880).

Comme à la question précédente, on utilise la calculatrice pour déterminer P(\mu \le X \le 880) (je vous laisse faire !) :

D’après la calculatrice, on trouve P(\mu \le X \le 880) = 0,477 donc :
P(X \le 880) = 0,5 + 0,477 = 0,977.

Question 3

L’industriel pense que s’il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n’aura pas plus de 1 % de chance d’être en rupture de stock. A-t-il raison ?

Pour répondre à cette question, il faut vous demander « quand est-ce que l’industriel est en rupture de stock ? ».

Hum… L’industriel est en rupture de stock si la demande mensuelle dépasse le stock mensuel qu’il a constitué… Or, la demande mensuelle est représentée par la variable aléatoire D et le stock mensuel est de 880 vannes. Donc, il est en rupture de stock si et seulement si D ~\textgreater ~880 ?

Exactement ! Et comme on s’intéresse au pourcentage de chance qu’il a d’être en rupture de stock, il faut calculer la probabilité de cet événement.

Or, l’événement D ~\textgreater ~880 est l’événement contraire de l’événement D \le 880 et on sait que :

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

Donc on peut écrire :

La probabilité que l’industriel soit en rupture de stock vaut :
P(D ~\textgreater ~880) = 1 - P(D \le 880) = 1 - 0,977 = 0,023, soit 2,3 %.

La conclusion est alors sans appel :

L’industriel a tort.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 1.

Exprimez vous!