Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2

Enoncé

Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :
— les points A(12;0;0), B(0;-15;0), C(0;0;20), D(2;7;-6), E(7;3;-3) ;
— le plan \mathcal{P} d’équation cartésienne : 2x + y - 2z - 5 = 0.

Affirmation 1

Une équation cartésienne du plan parallèle à \mathcal{P} et passant par le point A est :

2x + y + 2z - 24 = 0

Ce qui doit immédiatement vous « sauter aux yeux », c’est ce qui est en gras ci-dessous !

Une équation cartésienne du plan parallèle à \mathcal{P} et passant par le point A

Vérifions chacun de ces deux points pour l’équation cartésienne proposée :

On pose \mathcal{P le plan d’équation 2x + y + 2z - 24 = 0.

Vérification de l’appartenance du point A au plan représenté par l’équation proposée

Pour cela, votre cours vous dit que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et M(x_M;y_M;z_M) un point de l’espace.
M \in \mathcal{P} si et seulement si ax_M + by_M + cz_M + d = 0.

Ici, il faut donc écrire :

2x_A + y_A + 2z_A - 24 = 2 \times 12 + 0 + 2 \times 0 - 24 = 0 donc A \in \mathcal{P.

Vérification du parallélisme entre \mathcal{P} et \mathcal{P

Regardez la figure ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-1

Que remarquez-vous sur les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n ?

Hum, ils sont colinéaires, non ?

Exactement :

Soient \mathcal{P} et \mathcal{P deux plans de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n deux vecteurs respectivement normaux à \mathcal{P} et à \mathcal{P.
\mathcal{P} et \mathcal{P sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires.

Déterminons donc deux vecteurs normaux respectivement à \mathcal{P} et \mathcal{P et voyons s’ils sont colinéaires.

OK, mais comment est-ce qu’on détermine un vecteur normal à un plan ?

Très bonne question :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (a;b;c).
Tu dis « Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est… » au lieu de « Le vecteur normal au plan \mathcal{P} est… ». Y a-t-il une raison particulière à cela ?

Très bonne remarque. Le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) n’est effectivement que l’un des vecteurs possibles. En fait, tout vecteur de la forme (ka ; kb ; kc), k réel, conviendrait. Mais autant prendre k = 1 pour des raisons de simplicité…

Donc ici, on peut écrire :

\overrightarrow{\mathrm{n}}(2;1;-2) et \overrightarrow{\mathrm{n sont des vecteurs normaux respectivement à \mathcal{P} et \mathcal{P.

Reste à voir si les deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires. Or :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{n}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si et seulement s’il existe un réel k tel que :\begin{cases}x.
Pour trouver ce réel k, il suffit de diviser les coordonnées deux à deux. Si on trouve toujours le même résultat, ce résultat est le réel k cherché et les vecteurs sont colinéaires. Sinon, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Ici, si on divise les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{n par celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} (on pourrait faire l’inverse et diviser les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} par celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{n, c’est comme vous voulez), on trouve :

  • \dfrac{2}{2} = 1
  • \dfrac{1}{1} = 1
  • \dfrac{2}{-2} = -1

Le réel trouvé n’est pas toujours le même donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n ne sont pas colinéaires. On peut donc conclure :

Or, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n ne sont pas colinéaires donc les plans \mathcal{P} et \mathcal{P ne sont pas parallèles : l’affirmation est fausse.

Affirmation 2

Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :\begin{cases}x = 9 - 3t \\y = 0 ~~~~~~~~, t \in \mathbb{R}. \\z = 5 + 5t\end{cases}

Déterminer l’équation paramétrique d’une droite dont on connaît les coordonnées de deux points est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(0-12;0-0;20-0)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-12;0;20)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Introduire un point M de coordonnées (x;y;z) appartenant à (AC) et exprimer le fait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AM}} sont colinéaires.
Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{v}} sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{v}} = t\overrightarrow{\mathrm{u}}.

Ici, il faut donc écrire :

Soit M(x;y;z) \in (AC). \overrightarrow{\mathrm{AM}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires donc il existe k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}} = k\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Traduire l’égalité vectorielle obtenue à l’étape deux à l’aide des coordonnées.

Pour cela, il faut donc calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et k\overrightarrow{\mathrm{AC}} :

\overrightarrow{\mathrm{AM}}(x_M-x_A;y_M-y_A;z_M-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AM}}(x-12;y-0;z-0)
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-2
k\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-12 \times k ; 0 \times k ; 20 \times k)
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-3

puis se souvenir que :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.

Donc, ici, étant donné que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et k\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont égaux, on obtient donc :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-4

soit :

\begin{cases}x = 12-12k \\y = 0 \\z = 20k\end{cases}
Eh mais attends, ça ne ressemble pas du tout à ce qui est proposé dans l’énoncé, donc l’affirmation est fausse !

Pas si vite ! On a obtenu une représentation paramétrique de la droite (AC). Rien ne nous dit encore que celle proposée par l’énoncé n’est pas valable. Il reste donc une dernière étape avant de pouvoir se prononcer :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Effectuer un changement de variable.

Pour cela, il faut supposer que l’une des coordonnées, exprimée fonction de k, soit égale à l’expression en fonction de t proposée par l’énoncé. Ici, je choisis de faire le changement de variable sur la coordonnée x :

Soit t \in \mathbb{R} tel que 12 - 12k = 9 - 3t.

Ensuite, il faut exprimer k en fonction de t :

On a 12k = 3 + 3t soit k = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}t.

Enfin, il faut exprimer les deux autres coordonnées en remplaçant k par son expression en fonction de t :

On obtient :

  • y = 0
  • z = 20k = 20\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}t\right) = 5 + 5t

On peut donc conclure :

Donc \begin{cases}x = 9 - 3t \\y = 0 ~~~~~~~~, t \in \mathbb{R}\\z = 5 + 5t \\\end{cases} est bien une représentation paramétrique de la droite (AC) : l’affirmation est vraie.
OK ici, c’est facile : en effectuant le changement de variable, on obtient exactement ce que propose l’énoncé. Qu’est-ce qu’on dit si ça ne nous donne pas ce que propose l’énoncé ?

La réponse est toute aussi simple : en supposant que vos calculs sont justes, cela signifierait que la proposition de l’énoncé est incorrecte. Il faudrait donc conclure que l’affirmation est fausse.


Affirmation 3

La droite (DE) et le plan \mathcal{P} ont au moins un point commun.

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe une démarche systématique pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P}, nous l’avons déjà fait à l’affirmation 1 :

\overrightarrow{\mathrm{n}}(2;1;-2) est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Quant à un vecteur directeur de la droite (DE), connaissant les coordonnées des points D et E, il suffit de prendre le vecteur \overrightarrow{\mathrm{DE}} lui-même :

Un vecteur directeur de la droite (DE) est le vecteur :
\overrightarrow{\mathrm{DE}}(x_E-x_D;y_E-y_D;z_E-z_D)
\overrightarrow{\mathrm{DE}}(7-2;3-7;-3-(-6))
\overrightarrow{\mathrm{DE}}(5;-4;3)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P}, alors A appartient à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P}, alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Pour rappel :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{DE}} = 2 \times 5 + 1 \times (-4) + (-2) \times 3 = 10 - 4 - 6 = 0.
Donc (DE) et \mathcal{P} sont parallèles.

Reste à déterminer s’ils sont strictement parallèles ou si \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P}. Pour cela, on choisit de voir si le point D appartient à \mathcal{P} ou non :

De plus :
2x_D + y_D - 2z_D - 5 = 2 \times 2 + 7 - 2 \times (-6) - 5 = 4 + 7 + 12 - 5 = 18 \ne 0.
Le point D ne vérifie pas l’équation cartésienne de \mathcal{P} donc D \notin \mathcal{P} d’où la droite \mathcal{D} et le plan \mathcal{P} sont strictement parallèles : l’affirmation est fausse.

Affirmation 4

La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).

Alors là, réflexe :

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

On a déjà calculé les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{DE}}, vecteur directeur de la droite (DE). Reste à calculer les coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Personnellement, j’ai choisi les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(0-12;-15-0;0-0)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-12;-15;0)

\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(0-12;0-0;20-0)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-12;0;20)

Précisez bien que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont non colinéaires. Cette condition est nécessaire pour que notre démarche soit valide :

Reste à calculer les produits scalaires \overrightarrow{\mathrm{DE}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{DE}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} :

\overrightarrow{\mathrm{DE}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 5 \times (-12) + (-4) \times (-15) + 3 \times 0 = -60 + 60 + 0 = 0

\overrightarrow{\mathrm{DE}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 5 \times (-12) + (-4) \times 0 + 3 \times 20 = -60 + 0 + 60 = 0

Au vu de ces résultats, la conclusion est immédiate :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{DE}} est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} du plan (ABC) donc la droite (DE) est orthogonale au plan (ABC) : l’affirmation est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2.

Exprimez vous!