Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3

Enoncé

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :

g(x) = 1+e^{-x}

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], g(x) \ge 0.

On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal, et \mathcal{D} le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C, d’autre part entre les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-1

La courbe \mathcal{C} et le domaine \mathcal{D} sont représentés ci-contre.

Le but de cet exercice est de partager le domaine \mathcal{D} en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-2

Soit a un réel tel que 0 \le a \le 1.
On note \mathcal{A}_1 l’aire du domaine compris entre la courbe \mathcal{C}, l’axe (Ox),les droites d’équation x = 0 et x = a, puis \mathcal{A}_2 celle du domaine compris entre la courbe \mathcal{C}, (Ox) et les droites d’équation x = a et x = 1.
\mathcal{A}_1 et \mathcal{A}_2 sont exprimées en unités d’aire.

Question 1

a. Démontrer que \mathcal{A}_1 = a - e^{-a} + 1.

Votre cours vous indique que :

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et \mathcal{C} sa courbe représentative.
L’aire sous la courbe \mathcal{C} et comprise entre les droites d’équation x = a et x = b vaut \int_a^b f(x) \, \mathrm dx en unités d’aire.

Ici, \mathcal{A}_1 correspond très exactement à l’aire sous la courbe \mathcal{C}, comprise entre les courbes d’équation x = 0 et x = a. Ainsi, on a :

\mathcal{A}_1 = \int_0^a g(x) \, \mathrm dx

Reste à calculer cette intégrale :

... = \int_0^a (1 + e^{-x}) \, \mathrm dx

= [x]_0^a + [-e^{-x}]_0^a
= (a - 0) + (-e^{-a} - (-e^{0}))
= a - e^{-a} + e^{0}
= a - e^{-a} + 1

b. Exprimer \mathcal{A}_2 en fonction de a.

\mathcal{A}_2 est l’aire sous la courbe \mathcal{C} et comprise entre les droites d’équation x = a et  x = 1. Donc, si j’applique ce que tu as dit à la question précédente, j’obtiens \mathcal{A}_2 = \int_a^1 g(x) \, \mathrm dx !

Exactement ! Il ne reste plus qu’à la calculer :

\mathcal{A}_2 = \int_a^1 g(x) \, \mathrm dx = [x]_a^1 + [-e^{-x}]_a^1

= (1 - a) + (-e^{-1} - (-e^{-a}))
= 1 - a - e^{-1} + e^{-a}

Question 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par :

f(x) = 2x - 2e^{-x} + \dfrac{1}{e}.

a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs exactes de f(0) et f(1).

Question ultra-classique ! Vous devez savoir y répondre les mains dans les poches !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de [0 ; 1].

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.
Pour tout x \in [0 ; 1],
f.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, le signe de f est assez aisé à déterminer « tel quel » donc cette étape de simplification n’est pas utile. En effet, vous devez savoir par coeur que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-x} ~\textgreater ~0.

Cela vous permet d’écrire que :

Pour tout x \in [0 ; 1], e^{-x} ~\textgreater ~0 d’où, pour tout x \in [0 ; 1], f comme produit de deux termes strictement positifs.
« comme produit de deux termes strictement positifs » : de quels termes parles-tu ?

Du terme 2 et du terme 1 + e^{-x}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x) = 0 ».

Ici, f est strictement positive (et non pas « supérieure ou égale à 0 ») donc elle ne s’annule jamais et n’admet donc pas de racine.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Comme f ne s’annule pas, il n’y a rien à faire ici. :p

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, il n’y a pas de valeur interdite. Par ailleurs, f est définie aux bornes de son ensemble de définition, donc il ne s’agit même pas de calculer les limites à ces bornes, mais tout simplement les valeurs de f à ces bornes :

f(0) = 2 \times 0 - 2e^{-0} + \dfrac{1}{e} = -2 + \dfrac{1}{e}
 
f(1) = 2 \times 1 - 2e^{-1} + \dfrac{1}{e} = 2 - \dfrac{2}{e} + \dfrac{1}{e} = 2 - \dfrac{1}{e}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors f est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors f est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccc|}\hline x & 0 & & 1 \\\hline f

b. Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel \alpha. Donner la valeur de \alpha arrondie au centième.

On pourrait reformuler cette question de la façon suivante : « Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0;1]« . Et là, boum ! Réflexe !

Dès que vous avez à faire à une question du type « Démontrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution sur l’intervalle [a;b] » ([a;b] pouvant être remplacé par ]a;b[, ]a;b], [a;b[ ou encore \mathbb{R}) vous devez penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Oh non ! je n’ai jamais rien compris à ce théorème !

On va y aller doucement. Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ainsi, la rédaction de la réponse à une telle question est toujours la même. Pour des raisons de simplicité, je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur un intervalle [a;b] donné ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. Cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

D’après le tableau de variations établi à la question précédente, on sait que :

  • Monotonie de f
    f est strictement croissante sur [0 ; 1] ; (c’est donc [0 ; 1] qui joue le rôle de [a;b]
  • Valeurs de f aux bornes de [a ; b]
    f(0) = -2 + \dfrac{1}{e} et f(1) = 2 - \dfrac{1}{e}

On peut donc écrire :

D’après le tableau de variations déterminé à la question précédente, on sait que f est strictement croissante sur [0;1]. De plus :

  • f(0) = -2 + \dfrac{1}{e}
  • f(1) = 2 - \dfrac{1}{e}

donc f([0;1]) = \left[-2 + \dfrac{1}{e}~;~2 - \dfrac{1}{e}\right].

Vous remarquerez que l’image de [a;b] par f se note f([a;b]).

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, c’est  0 qui joue le rôle de k et \left[-2 + \dfrac{1}{e}~;~2 - \dfrac{1}{e}\right] qui joue le rôle de l’image de [a;b] par f :

Or, 0 \in \left[-2 + \dfrac{1}{e}~;~2 - \dfrac{1}{e}\right]
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique \alpha \in ~[0;1] tel que f(\alpha) = 0.

Passons maintenant à la deuxième partie de la question ultra classique… Après vous avoir fait démontrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] donné, on vous demande d’en trouver une valeur arrondie.

Bref, il faut utiliser la fonction TABLE de votre calculatrice.

Je ne sais jamais à quelle valeur faire commencer la table, ni quel pas prendre !

OK je vais vous montrer comment je fais sur une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale S et que je la recommande vivement !).

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
L’écran par défaut que vous devez obtenir est l’écran ci-contre. Si ce n’est pas le cas, appuyer sur la touche « HOME ».
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-3
2. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « Y= ».
L’écran de saisie des fonctions apparaît.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-4
3. Saisir f et cliquer sur « ENTER ». Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-5
4. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « F3 » (= « GRAPH »).
La courbe représentatrice de f apparaît.
L’idée est de déterminer d’où faire commencer la table de valeurs. Ici, la courbe est « coincée » entre 0 et 1 et on a du mal à voir à peu près où la courbe croise l’axe des abscisses. Nous allons donc modifier, dans l’étape suivante, l’échelle de l’axe des abscisses.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-6
5. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « F2 » (= « WINDOW »).
L’écran de configuration des axes du repère apparaît :

  • xmin : abscisse minimale
  • xmax : abscisse maximale
  • xscl : échelle de l’axe des abscisses
  • ymin : ordonnée minimale
  • ymax : ordonnée maximale
  • yscl : échelle de l’axe des ordonnées

Ici, nous allons donc mettre :

  • xmin = 0
  • xmax = 1

puisque f est définie sur [0 ; 1] et :

  • xscl = 0,1

pour graduer l’axe des abscisses en dixièmes.

On va laisser les autres valeurs telles quelles.

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-7
6. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « F3 » (= « GRAPH »).
Cette fois-ci, on voit bien que la courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des abscisses entre 0,4 et 0,5. On va donc pouvoir faire commencer la table des valeurs à 0,4.
Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-8
7. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « F4 » (= « TBLSET »).
L’interface de configuration de la table des valeurs apparaît.
« tblStart » correspond à la valeur de x à laquelle la table commence et \Delta tbl correspond au pas. Ici, on fait commencer la table à 0,4.

Quant au pas, l’énoncé demande « donner une valeur arrondie au centième ». Par conséquent, il faut disposer du 3e chiffre après la virgule pour savoir à quel centième arrondir.

Cela veut-il dire que je dois mettre 0.001 dans \Delta tbl pour voir le 3e chiffre après la virgule ?

En principe oui : 0,1 pour voir un chiffre après la virgule, 0,01 pour voir deux chiffres après la virgule, etc. Dans la pratique, si vous mettez directement 0.001, vous allez mettre longtemps à trouver la bonne valeur. C’est pourquoi je vous conseille de mettre d’abord 0,01.

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-9
8. Une fois les deux valeurs saisies, cliquer sur « ENTER » pour revenir à l’écran de saisie des fonctions. Puis cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TABLE ». La table apparaît.

En faisant défiler les valeurs de la table, on remarque alors que pour x = 0,45, y1 (c’est-à-dire f(x)) est strictement inférieur à  0 et que pour x = 0,46, y1 est strictement supérieur à  0 . Cela signifie que \beta est compris entre 0,45 et 0,46.

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-11
9. Maintenant que l’on dispose d’un encadrement de \alpha au centième près, on peut reconfigurer la table pour voir le 3e chiffre après la virgule en faisant commencer la table à 0,45 et en mettant \Delta tbl à 0.001.

On remarque alors que pour x = 0,452, y1 (c’est-à-dire f(x)) est strictement inférieur à  0 et que pour x = 0,453, y1 est strictement supérieur à  0 . Cela signifie que \alpha est compris entre 0,452 et 0,453 : ainsi, sa valeur arrondie au centième près est 0,45.

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-12

On peut donc conclure pour \alpha :

D’après la calculatrice,
\begin{cases}f(0,452) \simeq -0.0008~ \textless ~0\\f(0,453) \simeq 0.00244~ \textgreater ~0\end{cases}
donc la valeur arrondie de \alpha au centième est 0,45.

Question 3

En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires \mathcal{A}_1 et \mathcal{A}_2 sont égales.

Traduisons le fait que les aires \mathcal{A}_1 et \mathcal{A}_2 soient égales :

\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2

\Leftrightarrow a - e^{-a} + 1 = 1 - a - e^{-1} + e^{-a}

Passons tout à gauche :

\Leftrightarrow 2a - 2e^{-a} + e^{-1} = 0

Et là, quelque chose doit immédiatement vous sauter aux yeux : « 2a - 2e^{-a} + e^{-1} », c’est très exactement f(a) ! Cela nous permet de poursuivre nos équivalences :

\Leftrightarrow f(a) = 0.

Et ça, très franchement, vous devez vous y attendre ! Lorsque :

  • l’on vous dit que le but de l’exercice, c’est de déterminer le réel a tel que les aires \mathcal{A}_1 et \mathcal{A}_2 sont égales,
  • et que, comme par hasard, on vous demande d’étudier une fonction sortie de « nulle part » et de déterminer quand elle s’annule,

c’est que la valeur que vous allez trouver en étudiant cette fonction a indéniablement un lien avec le but de l’exercice. Personnellement, dès que j’ai écrit la première équivalence, je me suis dit : « On parie combien que je trouve que \mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 \Leftrightarrow f(a) = 0 » ?

Bref, on peut conclure :

Or, d’après la question 2, f s’annule pour \alpha \simeq 0,45 donc les aires \mathcal{A}_1 et \mathcal{A}_2 sont égales si et seulement si a = \alpha \simeq 0,45.

Partie B

Soit b un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine \mathcal{D} en deux domaines de même aire par la droite
d’équation y = b. On admet qu’il existe un unique réel b positif solution.

Question 1

Justifier l’inégalité b ~\textless ~1 + \dfrac{1}{e}. On pourra utiliser un argument graphique.

Je vous propose de raisonner par l’absurde :

Raisonnons par l’absurde et supposons que b \geq 1 + \dfrac{1}{e}.

Tout d’abord, vous devez vous demander « Pourquoi 1 + \dfrac{1}{e} ? Pourquoi cette valeur en particulier ? ». Sur votre copie, il faudrait représenter schématiquement la situation :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-13

La première chose à faire remarquer, c’est que 1 + \dfrac{1}{e}, c’est l’ordonnée du point d’abscisse 1 :

g(1) = 1 + \dfrac{1}{e}

Graphiquement, on constate alors que l’aire \mathcal{B}_1 est supérieure à l’aire du rectangle délimité par l’abscisse 1 et l’ordonnée 1 + \dfrac{1}{e} :

Ainsi, \mathcal{B}_1 \geq \left(1 + \dfrac{1}{e}\right) \times 1 = 1 + \dfrac{1}{e}

Vous reconnaîtrez volontiers avec moi que 1 + \dfrac{1}{e} ~\textgreater ~1 n’est-ce pas :

... ~\textgreater ~1.

Or, on a supposé que b divisait l’aire \mathcal{D} en deux aires égales \mathcal{B}_1 et \mathcal{B}_2. Donc, si \mathcal{B}_1 ~\textgreater ~1, \mathcal{B}_2 aussi :

Or, \mathcal{B}_1 = \mathcal{B}_2 donc \mathcal{B}_2 ~\textgreater ~1.

Ce qui nous permet de conclure sur \mathcal{D} que :

D’où \mathcal{D} = \mathcal{B}_1 + \mathcal{B}_2 ~\textgreater ~2.

Et c’est là qu’apparaît l’absurdité :

Or, \mathcal{D} est « contenue » dans le rectangle délimité par l’abscisse 1 et l’ordonnée 2 dont l’aire vaut très exactemnt 2 donc, affirmer que \mathcal{D} ~\textgreater ~2 est une absurdité.

Cela nous permet de conclure sur b :

D’où b ~\textless ~1 + \dfrac{1}{e}.

Question 2

Déterminer la valeur exacte du réel b.

Faisons un nouveau schéma pour bien voir les choses :

Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3 2013-ce-exo3-14

Au vu de ce schéma, on peut écrire que :

\mathcal{B}_2, c’est l’aire sous la courbe \mathcal{C} entre les droites d’équation x = 0 et x = 1, privée de l’aire \mathcal{B}_1. Or \mathcal{B}_1 = b \times 1 = b d’où \mathcal{B}_2 = \int_0^1 (1 + e^{-x}) \, \mathrm dx - b.

D’où :

\mathcal{B}_1 = \mathcal{B}_2

\Leftrightarrow b = \int_0^1 (1 + e^{-x}) \, \mathrm dx - b
\Leftrightarrow 2b = \int_0^1 (1 + e^{-x}) \, \mathrm dx

Calculons \int_0^1 (1 + e^{-x}) \, \mathrm dx avant de poursuivre la résolution de l’équation \mathcal{B}_1 = \mathcal{B}_2 :

Or :
\int_0^1 (1 + e^{-x}) \, \mathrm dx = [x]_0^1 + [-e^{-x}]_0^1

= (1 - 0) + (-e^{-1} - (-e^{0}))
= 1 - e^{-1} + 1
= 2 - e^{-1}

On peut alors reprendre la résolution de l’équation :

Donc :

\mathcal{B}_1 = \mathcal{B}_2

\Leftrightarrow 2b = 2 - e^{-1}
\Leftrightarrow b = 1 - \dfrac{1}{2}e^{-1}

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 3.

Exprimez vous!