Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 1

Enoncé

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25% de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50% et celle de l’horticulteur H3 seulement 30%.

Question 1

Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
– H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 »,
– H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 »,
– H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 »,
– C : « l’arbre choisi est un conifère »,
– F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».

a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

Pour construire un arbre pondéré, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs :

En lisant cela, je sais que mon arbre va tout d’abord contenir trois branches :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 1 2013-fm-exo1-1
35% des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25% de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3.

Maintenant, je peux indiquer les probabilités de chacune des trois branches de mon arbre :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 1 2013-fm-exo1-2
« 0.35 » (35%) et « 0.25 » (25%), je vois bien d’où ils sortent. Mais d’où vient le « 0.40 » (40%) ?

Bonne question ! Cela vient du fait que :

La somme des probabilités de toutes les branches qui partent d’un même noeud doit valoir 1 (100%).

Or, on nous indique que « 35% des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25% de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. ». Le « reste » vaut donc 1 - (0.35 + 0.25) = 0.40.

Passons à la suite :

Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

Ici, on comprend bien qu’à l’extrémité de chaque branche, on doit faire figurer les deux événements C et F :

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Reste à faire figurer les probabilités sur chacune de ces nouvelles branches. L’énoncé nous indique les proportions de conifères :

La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50% et celle de l’horticulteur H3 seulement 30%.

On peut donc pondérer chacune des branches dont l’extrémité correspond à l’événement C :

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Les probabilités des branches restantes se déduisent de celles qui figurent déjà en appliquant une nouvelle fois le fait que la somme des probabilités de toutes les branches qui partent d’un même noeud vaut 1 :

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b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H_3.

Quand on lit : « Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H_3. », il faut comprendre « Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère ET qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H_3. ». Autrement dit, c’est p(C \cap H_3) qu’il faut déterminer.

Pour calculer la probabilité d’une intersection, une fois qu’on a réalisé un arbre de probabilité, il faut avoir le réflexe suivant :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 1 2013-fm-exo1-6

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1.a., la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H_3 vaut :
p(C \cap H_3) = 0.30 \times 0.40 = 0.12

c. Justifier que la probabilité de l’événement C est égale à 0,525.

Pour répondre à cette question, vous devez à nouveau savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de trois chemins :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 1 2013-fm-exo1-7

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1.a., la probabilité de l’événement C vaut :
p(C) = \underbrace{0.35 \times 0.80}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0.25 \times 0.50}_{\text{chemin 2}} + \underbrace{0.40 \times 0.30}_{\text{chemin 3}} = 0.525

Question 2

On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Justifier que X suit une loi binomiale, c’est justifier que X est la variable aléatoire qui représente le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli.
C’est quoi, un « schéma de Bernoulli » ?

Bonne question.

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues contraires de probabilité p et 1 - p.
  • Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d’indépendance.

Ainsi, la démarche à adopter pour montrer qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale est la suivante :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente le nombre d’occurrences constitue le « succès ».
« Choisir un arbre dans le stock de cette jardinerie » est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « l’arbre choisi est un conifère », de probabilité p(C) ou « l’arbre choisi est un arbre feuillu », de probabilité p(F) = 1 - p(C). Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « l’arbre choisi est un conifère ».
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, « on choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie » donc on répète 10 fois l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = p(C) = 0.525.

b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10^{-3}.

Ce qui est demandé ici, c’est la probabilité d’obtenir 5 succès. Or :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
La probabilité d’obtenir k succès vaut p(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k(1 - p)^{n-k}.

Donc il suffit de calculer p(X = 5) :

La probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères vaut :
p(X = 5) = \dbinom{10}{5} 0.525^5(1 - 0.525)^{10-5} \simeq 0.243.

c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10^{-3}.

Le fait que l’échantillon comporte au moins deux arbres feuillus, cela signifie qu’il comporte au plus huit conifères. Il s’agit donc de calculer p(X \le 8).

L’événement « X \le 8 » correspond à l’événement « X = 1 \cup X = 2 \cup X = 3 \cup X = 4 \cup X = 5 \cup X = 6 \cup X = 7« . Comme les événements X = 1, X = 2, …, X = 7 sont disjoints 2 à 2, on a :
p(X \le 8) = p(X = 1 \cup X = 2 \cup ... \cup X = 7) = p(X = 1) + p(X = 2) + ... + p(X = 7).

Ohlà ! Est-ce que cela veut dire qu’on va devoir se taper le calcul de p(X = 1), p(X = 2), ..., p(X = 7) ?

Cela serait bien long n’est-ce pas ? C’est pourquoi nous n’allons pas procéder ainsi !

Pourquoi tu nous as montré tout ça alors ?

Parce que je vais introduire la notion d’événement contraire, et qu’avec tout ce que je viens d’expliquer, vous allez pouvoir comprendre l’intêret de passer par cette notion d’événement contraire.

L’événement « X \le 8 » a pour événement contraire l’événement « X~ \textgreater ~8« . Or :

Soit A un évenement quelconque de l’univers \Omega et B l’événement contraire de l’événement A. On a :
p(A) = 1 - p(B).
B est noté \overline{A}.

Donc on peut écrire :

p(X \le 8) = 1 - p(X~ \textgreater ~8)

L’événement « X~ \textgreater ~8 » correspond à l’événement « X = 9 \cup X = 10« , les événements « X = 9 » et « X = 10 » étant disjoints.

... = 1 - p(X = 9 \cup X = 10)
= 1 - [p(X = 9) + p(X = 10)] car les événements « X = 9 » et « X = 10 » sont disjoints

= 1 - \left[\dbinom{10}{9} 0.525^9(1 - 0.525)^{1} + \dbinom{10}{10} 0.525^{10}(1 - 0.525)^{0}\right]

\simeq 0.984

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 1.

Exprimez vous!