Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2

Enoncé

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), la courbe représentative \mathcal{C} d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ] 0~;~+ \infty [.

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-1

On dispose des informations suivantes :

  • les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2) et (0,2) ;
  • la courbe \mathcal{C} passe par le point B et la droite (BC) est tangente à \mathcal{C} en B ;
  • il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x :

f(x) = \dfrac{a+b~ln x}{x}

Question 1

a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f(1) et f.

Question simple pour commencer l’exercice. :)

Pour trouver la valeur de f(1), il suffit de se souvenir que :

Un point A de coordonnées (x_{A}, y_{A}) appartient à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f si et seulement si f(x_{A}) = y_{A}.

Bah ça alors, le point B, dont l’abscisse est 1, appartient à \mathcal{C} ! On peut donc écrire :

B(1, 2) appartient à la courbe \mathcal{C} représentative de f donc f(1) = 2.

Qu’en est-il de f ? Il faut savoir que :

Si A est un point de coordonnées (x_{A}, y_{A}) appartenant à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f, alors f est égale à la pente de la tangente à \mathcal{C} en A.

Ici, on nous demande de calculer f. Comme B a pour abscisse 1, cela revient donc à calculer la pente de la tangente à \mathcal{C} en B.

Oh non ! On fait des calculs de pente en physique et c’est super chiant !

C’est vrai, mais ici, c’est super facile ! La tangente à \mathcal{C} en B est une droite horizontale. Or :

La pente d’une droite horizontale est égale à 0.

On peut donc simplement écrire :

La tangente à \mathcal{C} en 1 est horizontale donc f.

b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f.

Il s’agit d’une dérivée on ne peut plus classique. Tout de suite, on repère que f est de la forme f=\dfrac{u}{v} avec :

  • u(x) = a + b~ln x ;
  • v(x) = x ;

Et là, on se souvient que :

  • \left(\dfrac{u}{v}\right)
  • (ln x)

Ici on a :

  • u ;
  • v(x) = 1 ;

D’où :

Pour tout x > 0, f
Est-ce si important d’écrire « Pour tout x > 0″ ?

La réponse est oui. En toute rigueur, avant de calculer quelle que dérivée que ce soit, vous devriez déterminer l’ensemble de définition de cette dérivée. Il se trouve que ce savoir-faire n’est pas exigible. Du coup, l’énoncé vous indique l’ensemble de définition de la dérivée (ici, \mathbb{R}^*_+). Il convient donc de rappeler au correcteur que vous êtes conscient(e) que vos calculs ne sont valables que sur l’ensemble de définition de la dérivée.

Rien ne nous empêche de placer des parenthèses autour du b - a présent au numérateur : en faisant cela, on ne modifie pas les ordres de priorité du calcul. Ainsi, on obtient bien :

f

Le calcul des dérivées est une gymnastique intellectuelle qui doit être maîtrisée. Si ce n’est pas le cas pour vous, je vous invite fortement à multiplier les exercices de calculs de dérivée.

c. En déduire les réels a et b.

On cherche deux inconnues. Il nous faut donc à notre disposition deux égalités (si on cherchait 3 inconnues, il nous faudrait trois égalités, etc etc…). Et comme l’énoncé dit « En déduire », c’est qu’on les a déjà quelque part, ces deux égalités :

D’après la question 1. a., on sait que :
\begin{cases}f(1) = 2 \\f

Il ne reste plus qu’à remplacer f(1) et f par leurs expressions respectives et le tour est joué :

Ainsi, on a :
\begin{cases}f(1) = 2 \\f

Or, on sait que :

ln~1 = 0

D’où la poursuite des calculs :

...\Leftrightarrow\begin{cases}a = 2 \\b - a = 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a = 2 \\b = a\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a = 2 \\b = 2\end{cases}
Ouf ! C’est fini !

Eh bah non ! Certes l’énoncé demande de déterminer les réels a et b et c’est ce que l’on a fait. Mais on s’en fiche de a et b ! Ce qui nous intéresse (et c’est ça le but de la question), c’est de trouver les expressions de f et de f ! Il faut donc conclure en remplaçant a et b dans les expressions de f et de f :

Donc, pour tout x > 0, f(x) = \dfrac{2+2~ln x}{x} = \dfrac{2(1+ln x)}{x} et f

Vous remarquerez que j’ai pris le soin de factoriser le numérateur de f.

Il faut toujours prendre le soin d’obtenir des expressions littérales sous la forme la plus factorisée possible.

Cela facilite grandement les tableaux de signes et les tableaux de variation que l’on vous demande ensuite.


Question 2

a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0~;~+ \infty[, f a le même signe que - ln~x.

Question également très classique !

Lorsque l’on vous demande de prouver que le signe d’une fonction revient au signe d’une expression plus simple sur un intervalle donné, il suffit de prouver que le facteur « qu’on a enlevé » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Je m’explique : ici, il est demandé de prouver que le signe de f est le même que celui de - ln~x. Cela revient donc à prouver que le facteur « que l’on a enlevé », \dfrac{2}{x^2} est strictement positif sur ]0~;~+ \infty[. Voici comment on s’y prend :

Pour tout x~ \textgreater ~0

Ça, c’est pour rappeler qu’on sait que ce que l’on va dire n’est valable que sur l’intervalle ]0~;~+ \infty[. Ensuite :

x^2~ \textgreater ~0

Cette première inégalité est un fait : tout le monde sait (car la fonction x \mapsto x^2 est une fonction de référence) que pour tout x~ \textgreater ~0, x^2~ \textgreater ~0. Pour les inégalités suivantes en revanche, il faut justifier chacune d’entre elles, c’est ce que nous allons faire :

\dfrac{1}{x^2}~ \textgreater ~0 car le signe est conservé par passage à l’inverse

\dfrac{2}{x^2}~ \textgreater ~0 car le signe est conservé par multiplication par un réel strictement positif

On peut donc conclure :

D’où f a le même signe que - ln~x.

b. Déterminer les limites de f en  0 et en + \infty.

  • Limite de f en  0

On va bien sûr calculer la limite au numérateur, puis la limite au dénominateur.

Limite au numérateur

Votre cours vous indique que :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~ln~x = - \infty

Vous remarquerez que je n’ai pas simplement écrit \lim\limits_{\substack{x \to 0}} mais \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}} : en effet, la fonction ln n’étant définie que sur ]0~;~+\infty[, elle ne peut tendre vers 0 qu’avec x~ \textgreater ~0. Il faut donc écrire :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~ln~x = - \infty donc \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~2(1+ln~x) = - \infty

Limite au dénominateur

Au dénominateur, c’est super facile : \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~x = 0 ! T’as vu ? J’ai même pensé au x~ \textgreater ~0 !

Eh bien cela ne suffit pas ! Gardez toujours à l’esprit que :

Dès lors que l’on calcule la limite d’une fraction et que le dénominateur tend vers 0, il faut indiquer s’il tend vers 0^+ (c’est-à-dire « tend vers  0 en étant positif ») ou 0^- (c’est-à-dire « tend vers  0 en étant négatif »).

Ici, comme on étudie f sur ]0~;~+\infty[, lorsque x tend vers  0 , il le fait en étant positif, d’où :

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~x = 0^+

Or, vous savez d’après votre cours que :

Si f tend vers -\infty et g tend vers 0^+, alors \dfrac{f}{g} tend vers -\infty.

Vous pouvez donc conclure :

D’où \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty
  • Limite de f en +\infty
Alors, pour le numérateur, je sais d’après mon cours que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~ln~x = +\infty donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~2(1+ln~x) = +\infty. Au dénominateur, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~x = +\infty. L’infini sur l’infini, ça fait…

…ça fait rien du tout ! Mettez-vous dans la tête que :

\dfrac{\infty}{\infty} est une forme indéterminée, quels que soient les signes qui sont devant les \infty !

Et quand on tombe sur une forme indéterminée, ce n’est pas grave ! Il faut juste exprimer la fonction dont on cherche à déterminer la limite d’une manière différente.

Eh mais attends ! On a une manière différente d’exprimer f ! L’énoncé nous rappelle que f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{ln~x}{x}

Je vois que ça commence à rentrer ! Commencez par indiquer au correcteur que vous avez remarqué qu’il fallait utiliser l’autre expression de f :

L’énoncé rappelle que f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{ln~x}{x}.

Et en exprimant f ainsi, tout roule ! Pour le premier terme, on peut directement écrire :

Or \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{2}{x} = 0
Zut ! Le deuxième terme, 2\dfrac{ln~x}{x}, ça fait encore l’infini sur l’infini, non ?

Effectivement ! Sauf que vous devez absolument apprendre par coeur que :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x} = 0

Cette limite fait partie des limites dites « de croissance comparée » qu’il faut connaître sur le bout des doigts ! Muni de ces croissances comparées, vous pouvez donc simplement écrire :

et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x} = 0 par croissances comparées d’où \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~2\dfrac{ln~x}{x} = 0

Il ne vous reste plus qu’à conclure sur la limite de f en +\infty :

donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = 0

c. En déduire le tableau de variation de la fonction f.

En voilà une question ultra classique… 😉 Voyons ensemble les différentes étapes qui permettent d’y répondre.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de ]0~;~+\infty[.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.

D’après la question 1. c., f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x)=0« .

Ici, on a montré à la question 2. a. que le signe de f ne dépendait que du signe de u : x \mapsto - ln~x donc, on va calculer les racines de u :

Soit u : x \mapsto -ln~x. D’après la question 2. a., le signe de f ne dépend que du signe de u donc, pour tout x~ \textgreater ~0,
f
\Leftrightarrow -ln~x = 0
\Leftrightarrow ln~x = 0
\Leftrightarrow x = 1
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Déterminer le signe de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.

Ici, déterminer le signe de f revient donc à déterminer le signe de u. Or, la fonction logarithme népérien est une fonction de référence, donc vous devez savoir que :

Pour tout x~ \textgreater ~0,

  • ln~x~ \textless ~0 sur ]0~;~1[
  • ln~x = 0 pour x = 1
  • ln~x~ \textgreater ~0 sur ]1~;~+\infty[

Comme u(x) = -ln~x, les signes sont inversés.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Ici, on sait que f ne s’annule qu’en 1 sur ]0~;~+\infty[ donc on calcule f(1) :

D’après la question 1. a., f(1) = 2.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, il n’y a pas de valeur interdite (excepté  0 qui correspond à l’une des bornes de l’ensemble de définition) et les limites aux bornes de l’ensemble de définition ont été calculées à la question 2. b.. On peut donc établir notre tableau de variation :

\begin{array}{|l|cccccc|}\hline x & 0 & & & 1 & & +\infty \\\hline f

Question 3

a. Démontrer que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution sur l’intervalle ]0, 1].

Question ultra classique !

Dès que vous voyez une question du type « Démontrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution sur l’intervalle [a;b] » ([a;b] pouvant être remplacé par ]a;b[, ]a;b] ou encore [a;b[), vous devez penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Oh non ! je n’ai jamais rien compris à ce théorème !

On va y aller doucement. Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ainsi, la rédaction de la réponse à une telle question est toujours la même. Pour des raisons de simplicité, je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur l’intervalle [a;b] ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. Cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ici, c’est ]0;1] qui joue le rôle de [a;b]. D’après le tableau de variations déterminé à la question précédente, on sait que :

  • Monotonie de f
    f est strictement croissante sur ]0;1] ;
  • Valeurs de f aux bornes de [a;b]
    \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty et f(1) = 2

Vous pouvez donc écrire :

D’après le tableau de variations déterminé à la question précédente, on sait que f est strictement croissante sur ]0;1]. De plus :

  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x \textgreater 0}}~f(x) = -\infty
  • f(1) = 2

donc f(]0;1]) = ]-\infty~;~2].

Vous remarquerez que l’image de [a;b] par f se note f([a;b]).

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, c’est 1 qui joue le rôle de k et ]-\infty~;~2] qui joue le rôle de l’image de [a;b] par f :

Or, 1 \in ]-\infty~;~2]
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique \alpha \in ]0;1] tel que f(\alpha) = 1.

b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel \beta de l’intervalle ]1;+\infty[ tel que f(\beta) = 1.

Déterminer l’entier n tel que n~\textless~\beta~\textless~n+1.

Deuxième partie de la question ultra classique… Après vous avoir fait démontrer que l’équation f(x) = k admet une unique solution sur un intervalle [a;b], on demande d’en trouver un encadrement. Ici, le sujet est un peu original, on vous demander de prouver d’existence d’une unique solution à l’équation f(x) = 1 sur un intervalle, et on vous demande de trouver un encadrement à la solution de cette équation sur un autre intervalle ! Allez savoir pourquoi ! C’est peut-être pour vous embrouiller… je ne vois pas d’autre raison !

Bref, il faut utiliser la fonction TABLE de votre calculatrice.

Je ne sais jamais à quelle valeur faire commencer la table, ni quel pas prendre !

OK je vais vous montrer comment je fais sur une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale S et que je la recommande vivement !).

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
L’écran par défaut que vous devez obtenir est l’écran ci-contre. Si ce n’est pas le cas, appuyer sur la touche « HOME ».
Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-2
2. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « Y= ».
L’écran de saisie des fonctions apparaît.
Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-3
3. Saisir f et cliquer sur « ENTER ». Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-4
4. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TblSet ».
L’écran de configuration de la table des valeurs apparaît.
Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-5
5. « tblStart » correspond à la valeur de x à laquelle la table commence et \Delta tbl correspond au pas.Ici, comme on s’intéresse à l’intervalle ]1;+\infty[, on doit faire commencer la table à 1. Si on s’intéressait à l’intervalle ]5;+\infty[, on ferait commencer la table à 5. Vous voyez le truc ?

OK et donc, si on s’intéresse à l’intervalle [6;12] par exemple, on fait commencer la table à 6. Compris. Maintenant, si on s’intéresse à l’intervalle ]-\infty;1], on la fait commencer où la table ?

Vous la faites commencer à 1 et vous remontez la table au lieu de la descendre !

Quant au pas, on demande ici de trouver un entier n tel que n~ \textless \beta ~\textless ~n+1. Autrement dit, on souhaite obtenir un encadrement de \beta à 1 près. On doit donc indiquer un pas de 1. Autrement dit, on met dans \Delta tbl la valeur de l’amplitude de l’encadrement. Si on vous avait demandé de trouver un encadrement de \beta à 0,1 près, vous auriez indiqué 0.1 comme valeur pour \Delta tbl.

Une fois les deux valeurs saisies, cliquer sur « ENTER » pour revenir à l’écran de saisie des fonctions. Puis cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TABLE ». La table apparaît.

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-6
6. On remarque alors que pour x = 5, y1 (c’est-à-dire f(x)) est strictement supérieur à 1 et que pour x = 6, y1 est strictement inférieur à 1. Cela signifie que \beta est compris entre 5 et 6. Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-7

On peut donc conclure que n = 5 :

D’après la calculatrice,
\begin{cases}f(5) \simeq 1,0438~ \textgreater ~1\\f(6) \simeq 0,93059~ \textless ~1\end{cases}
Donc 5 ~ \textless ~\beta~\textless~6 d’où n = 5.

Question 4

On donne l’algorithme ci-dessous :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-8

a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l’on recopiera sur la copie :

étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5
a 0
b 1
b-a
m

Aucune difficulté ici, il suffit de suivre chacune des instructions de l’algorithme et penser à calculer f(m) afin de savoir si c’est à a ou à b qu’on affecte la valeur m :

étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5
a 0 0 0,25 0,375 0,4375
b 1 0,5 0,5 0,5 0,5
b-a 1 0,5 0,25 0,125 0,0625
m 0,5 0,25 0,375 0,4375 Sortie car b-a < 0,1

b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?

Il s’agit de l’algorithme de recherche par dichotomie qui permet ici de trouver un encadrement d’amplitude 10^{-1} de la solution à l’équation f(x) = 1 sur l’intervalle [0;1]. Vous devez absolument connaître les principes de l’algorithme de recherche par dichotomie. Nous allons donc le décortiquer instruction par instruction.

Variables : a, b et m sont des nombres réels.

Tout algorithme a besoin de variables. Il faut voir les variables comme des « boîtes » dans lesquelles on va mettre des valeurs. Ici, ces trois boîtes peuvent contenir n’importe nombre réel.

Initialisation
Affecter à a la valeur  0 .
Affecter à b la valeur 1.

Comme son nom l’indique, l’initialisation correspond à la situation « de départ ». Ici, on fixe a à  0 et b à 1. Cela signifie que l’on cherche une valeur située dans l’intervalle [0;1].

Traitement : Tant que b - a~ \textgreater ~0.1
Fin de Tant que.

Toute l’idée de cette algorithme est de faire « rétrécir » l’intervalle [a;b]. Mais le faire rétrécir jusque quand ? Eh bien c’est cette instruction qui pose la limite : a et b seront séparés, au minimum, de 0,1. Et tant qu’ils ne sont pas autant rapprochés, on continuer à dérouler les instructions qui sont entre « Tant que » et « Fin de tant que ». On obtiendra donc un encadrement d’amplitude 10^{-1}.

Affecter à m la valeur \dfrac{1}{2}(a+b).
Si f(m)~\textless~ 1 alors Affecter à a la valeur m.
Sinon Affecter à b la valeur m.
Fin de Si.

On arrive maintenant au « coeur » de l’algorithme.

  • Première instruction : on donne à m la valeur correspondant au « milieu » de l’intervalle [a;b].
  • Pour faire rétrécir l’intervalle [a;b], on va faire prendre à a ou à b la place de m. Ce sont les deux instructions suivantes qui permettent d’indiquer si c’est a ou si c’est b qui va prendre la place de m. Appelons \alpha la solution de l’équation f(x) = 1. Donc f(\alpha) = 1.
    • Si f(m)~\textless ~1, alors f(m)~\textless ~f(\alpha). Or, la fonction f est strictement croissante sur [0;1] donc l’ordre est conservé d’où m ~\textless ~\alpha. Autrement dit m, qui est le milieu de l’intervalle [a;b], est inférieur à la valeur cherchée. Il est donc inutile de garder a « aussi bas ». On fait donc prendre à a la place de m.
    • Sinon, c’est que f(m)~\geq ~1. Or, la fonction f est strictement croissante sur [0;1] donc l’ordre est conservé d’où m ~\textgreater ~\alpha. Autrement dit m, qui est le milieu de l’intervalle [a;b], est supérieur à la valeur cherchée. Il est donc inutile de garder b « aussi haut ». On fait donc prendre à b la place de m.
  • Et enfin, on termine le bloc « Si » par « Fin de Si. ».
Pourquoi l’instruction « Fin de Si » se trouve après le « Sinon » ?

Bonne question ! Eh bien c’est parce qu’en algorithmique, un bloc d’instructions « Si » représente souvent un bloc « Si-Sinon ». C’est donc bien le bloc « Si-Sinon » que l’on termine par l’instruction « Fin de Si. ».

Ne reste plus que les 2 dernières lignes à décortiquer :

Sortie : Afficher a. Afficher b.

Le but d’un algorithme est d’accomplir une tâche. Ici, la tâche est de déterminer les valeurs de a et b. Il faut donc les afficher ! Voilà pourquoi ces deux lignes sont là.

OK OK ! On a bien compris l’algorithme maintenant ! Mais qu’est-ce qu’on répond sur la copie ?

Ah ces élèves, toujours aussi pressés d’avoir la réponse. Eh bien moi, je répondrais de la façon suivante :

L’algorithme présenté est l’algorithme de recherche par dichotomie. Il permet d’obtenir un encadrement d’amplitude 10-1 de la solution de l’équation f(x) = 1 sur l’intervalle [0;1]. Une fois l’algorithme exécuté, a correspond à la borne inférieure de l’intervalle recherché, et b correspond à sa borne supérieure. Ici, l’algorithme nous permet de savoir que cette solution \alpha est comprise entre 0,4375 et 0,5.

c. Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de \beta d’amplitude 10^{-1}.

Pour rappel, \beta est la solution de l’équation f(x) = 1 sur l’intervalle ]1;+\infty[. L’algorithme présente trois endroits « stratégiques » :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2 2013-fm-exo2-9

  1. Cette partie détermine l’intervalle dans lequel on souhaite trouver la solution à l’équation.
    Ici, on ne s’intéresse non plus à [0;1] mais à ]1;+\infty[. a doit prendre donc être initialisée à 1. Quant à b, il doit prendre une valeur fixée (la valeur « infini » ne peut être affectée à une variable). L’idée est de prendre une valeur « suffisamment grande ». Or, d’après la question 3. b., vous savez que \beta est compris entre 5 et 6. Donc on peut initialiser b avec la valeur 8 par exemple.
  2. Cette partie détermine la condition selon laquelle on fait prendre à a ou à b la place de m.
    Or, si f(m)~\textless~1, cela signifie que f(m)~\textless~f(\beta) et donc, comme f est décroissante sur ]1;+\infty[, m~\textgreater ~\beta (eh oui ! On inverse l’ordre lorsque la fonction est décroissante !). Du coup, dans ces conditions, c’est b qui doit prendre la place de m et non pas a : a et b doivent être inversés dans l’algorithme… ou alors il faut inverser la condition !
  3. Cette partie détermine l’amplitude de l’encadrement souhaité.
    Ici, cela ne change pas, on souhaite toujours obtenir un encadrement d’amplitude 0,1.

Résultat des courses, il faut vous faut recopier l’algorithme en effectuant les remplacements suivants :

L’instruction… …est à remplacer par
Affecter à a la valeur  0 .  Affecter à a la valeur 1.
Affecter à b la valeur 1.  Affecter à b la valeur 8.
Si f(m)~\textless~ 1 alors Affecter à a la valeur m.
 Si f(m)~\textgreater~ 1 alors Affecter à a la valeur m.

Question 5

Le but de cette question est de démontrer que la courbe \mathcal{C} partage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales.

a. Justifier que cela revient à démontrer que \int_{1/e}^{1} f(x)\,dx = 1.

Si la courbe \mathcal{C} partage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales, alors cela veut dire que l’aire sous la courbe qui traverse le rectangle OABC vaut la moitié de l’aire du rectangle OABC.

Elémentaire mon cher Watson, non ? Il suffit maintenant de traduire chacune des parties colorées de cette phrase en vocabulaire mathématique.

« l’aire sous la courbe qui traverse le rectangle OABC »

Avant toute chose, je rappelle que :

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a;b] et \mathcal{C} sa courbe représentative. L’intégrale de a à b de la fonction f, notée \int_{a}^{b} f(x)\,dx, est l’aire du domaine situé sous la courbe \mathcal{C}.
Exprimons l’aire sous la courbe qui traverse le rectangle OABC.
La courbe \mathcal{C} traverse le rectangle OABC à partir de la valeur de x telle que f(x) = 0 jusque x = 1.

La seule difficulté est de déterminer la borne inférieure de l’intégrale. Cette borne correspond à la valeur de x pour laquelle f(x) = 0.

Résolvons l’équation f(x) = 0.
f(x) = 0~ \Leftrightarrow ~\dfrac{2(1+ln x)}{x} = 0~ \Leftrightarrow ~2(1+ln x) = 0~ \Leftrightarrow ~1+ln x = 0
\Leftrightarrow ~-ln x = 1~ \Leftrightarrow ~ln \left(\dfrac{1}{x} \right) = 1~ \Leftrightarrow ~\dfrac{1}{x} = e~ \Leftrightarrow ~x = \dfrac{1}{e}

Vous remarquerez que pour résoudre l’équation f(x) = 0, j’ai utilisé quelques propriétés de la fonction logarithme que vous devez absolument connaître :

  • ln \left(\dfrac{1}{x} \right) = -ln~x
  • ln~x = 1 ~ \Leftrightarrow ~x~=~e
Donc l’aire sous la courbe \mathcal{C} qui traverse le rectangle OABC s’écrit \int_{1/e}^{1} f(x)\,dx.

« vaut la moitié de l’aire du rectangle OABC »

Absolument aucune difficulté pour cette partie de la phrase :

De plus, A a pour coordonnées (1,0) et C a pour coordonnées (0,2) donc l’aire du triangle OABC vaut 2 x 1 = 2 (u.a.)
Ça veut dire quoi « u.a. » ?

« u.a. » signifie « unité d’aire ». Lorsque vous calculez une intégrale, le résultat s’exprime en unités d’aire. Sauf qu’on n’est pas obligé de le mettre (c’est pour cela que je ne l’ai signalé uniquement entre parenthèses).

Il ne reste plus qu’à conclure :

Donc démontrer que la courbe \mathcal{C} partage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales revient bien à démontrer que \int_{1/e}^{1} f(x)\,dx = 1.

b. En remarquant que l’expression de f(x) peut s’écrire \dfrac{2}{x}+2 \times \dfrac{1}{x} \times ln~x, terminer la démonstration.

Allez, une intégrale toute gentille pour finir l’exercice. 😀
On va bien sûr se servir de l’expression de f suggérée par l’énoncé en gardant à l’esprit que :

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] et k et k deux nombres réels.
\int_{a}^{b} (kf(x) + k.

Autrement dit, lors du calcul d’une intégrale,

  • on peut « sortir » les constantes ;
  • et remarquer que l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales.
Pour tout x \in \left[\dfrac{1}{e};1\right],

\int_{1/e}^{1} f(x)\,dx = \int_{1/e}^{1} \left(\dfrac{2}{x}+2 \times \dfrac{1}{x} \times ln~x\right)\,dx = 2\int_{1/e}^{1} \dfrac{1}{x}\,dx+\int_{1/e}^{1} \left(2 \times \dfrac{1}{x} \times ln~x\right)\,dx

Eh ! Pourquoi tu n’as pas sorti le « 2 » de la deuxième intégrale ?

Parce que pour la deuxième intégrale, on peut remarquer autre chose : il s’agit d’un joli 2uu : x \mapsto ln~x. Or, vous savez très certainement que :

\int 2u

On va donc pouvoir calculer chacune des intégrales très facilement ! Reprenons notre calcul :

... = 2 \left[ln~x \right]^{1}_{1/e} + \left[(ln~x)^2 \right]^{1}_{1/e} = 2(ln~1 - ln~(1/e))+(ln~1)^2 - (ln~(1/e))^2

Reste, pour terminer le calcul, à utiliser que :

  • ln~1 = 0
  • ln~e = 1
  • ln \left(\dfrac{a}{b} \right) = ln~a~-~ln~b
... = 2 (0 - (0-1)) + 0^2 - (0-1)^2 = 1

Donc la courbe \mathcal{C} partage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 2.

Exprimez vous!