Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 3

Enoncé

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Proposition 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité |z - i| = |z + 1| est une droite.

Trouver le lieu géométrique des points M d’affixe z vérifiant une équation du type |z - z_{A}| = |z - z_{B}| est un exercice classique qu’il faut absolument savoir faire. Les étapes à suivre sont toujours les mêmes :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Poser les points M, A et B d’affixes respectives z, z_{A} et z_{B}.

Ici, c’est i qui joue le rôle de z_{A} et -1 qui joue le rôle de z_{B}.

Soient M(z), A(i) et B(-1).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Traduire à quoi équivaut l’équation une fois les points A et B posés.
|z - i| = |z + 1| \Leftrightarrow |z - z_{A}| = |z - z_{B}|

Arrivé ici, il faut se souvenir que :

Soient A et B deux points d’affixes respectives z_{A} et z_{B}.
AB = |z_{B} - z_{A}|

On peut donc poursuivre nos équivalences :

... \Leftrightarrow AM = BM

A nouveau, le cours va vous être utile pour conclure. En effet, il faut savoir que :

L’ensemble des points M tels que AM = BM est la médiatrice du segment [AB].

Il suffit alors de conclure :

L’ensemble des points M tels que AM = BM est la médiatrice du segment [AB]. Ainsi, il s’agit bien d’une droite. L’affirmation est vraie.

Proposition 2

Le nombre complexe (1 + i\sqrt{3})^{4} est un nombre réel.

Première chose qu’il faut garder à l’esprit :

Il est toujours plus facile d’élever un produit à une puissance n qu’une somme !
Aïe ! Ici, c’est une somme !

Oui… sauf que ce n’est pas n’importe quelle somme ! Il s’agit ici de la forme algébrique d’un nombre complexe. Il suffit donc de déterminer la forme exponentielle de ce nombre complexe pour obtenir un produit.

Je suis un peu perdu avec toutes ces notations…

OK ! Petit rappel :

Soit z = a + ib. On note \rho et \theta respectivement son module et son argument.

  • Notation algébrique : z = a + ib
  • Notation trigonométrique : z = \rho (cos~\theta + i sin~\theta)
  • Notation exponentielle : z = \rho e^{i\theta}

sachant que la forme trigonométrique est très facile à déduire de la forme exponentielle et vice-versa puisque :

Par définition : e^{i\theta} = cos~\theta + i sin~\theta

Revenons à notre exercice :

Déterminons la forme exponentielle du nombre complexe 1 + i\sqrt{3}.
Tu peux nous rappeler comment on passe de la forme algébrique d’un nombre complexe à sa forme exponentielle stp ?

Bien sûr que je peux vous le rappeler ! Le passage d’une forme à l’autre est un savoir-faire qu’il faut maîtriser.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer le module \rho de z.

Pour cela, il suffit de se souvenir que :

Soit z = a + ib. Le module de z vaut \rho = \sqrt{a^2 + b^2}.

Pour z = 1 + i\sqrt{3}, c’est 1 qui joue le rôle de a et \sqrt{3} qui joue le rôle de b.

Soit \rho le module de 1 + i\sqrt{3}.
|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer l’argument \theta de z qui vérifie le système d’équations
\begin{cases}cos~ \theta = \dfrac{x}{\rho} \\sin~ \theta = \dfrac{y}{\rho}\end{cases}
Soit \theta l’argument de 1 + i\sqrt{3}. On a :\begin{cases}cos~ \theta = \dfrac{1}{2} \\sin~ \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

Il ne reste plus qu’à trouver le « bon » \theta dont les valeurs de cosinus et de sinus sont celles ci-dessus. Pour cela, je vous invite retenir le schéma suivant :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 3 2013-po-exo3-1
Pour chaque angle qui figure sur ce schéma, son abscisse x correspond à la valeur du cosinus de cet angle tandis que son ordonnée y correspond à la valeur du sinus de cet angle.

En ayant bien ce schéma en tête, on trouve aisément que la valeur de \theta qui convient est \dfrac{\pi}{3} :

Donc \theta = \dfrac{\pi}{3} ~[2\pi].
Pourquoi as-tu rajouté [2\pi] après \dfrac{\pi}{3} ?

Le [2\pi] est là pour signaler que \theta = \dfrac{\pi}{3} + k \times 2\pi, quel que soit k entier relatif, conviendrait aussi (car quelque soit k, on se trouverait au même endroit sur le cercle trigonométrique).

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en indiquant que z = \rho e^{i\theta} si c’est la forme exponentielle que l’on souhaite obtenir ou que z = \rho(cos~\theta + i sin~\theta) si c’est la forme trigonométrique que l’on souhaite obtenir.

Ici, c’est la forme exponentielle que l’on souhaite obtenir. Ayant trouvé le module et l’argument de 1 + i\sqrt{3}, on peut conclure :

D’où 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\dfrac{\pi}{3}}.

Maintenant, on peut poursuivre l’exercice et élever 1 + i\sqrt{3} à la puissance 4 :

Ainsi, on a :
(1 + i\sqrt{3})^4 = (2e^{i\dfrac{\pi}{3}})^4 = 2^4 (e^{i\dfrac{\pi}{3}})^4

Là, on se rappelle que :

(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}

ce qui nous permet de poursuivre les calculs :

... = 16 e^{i\dfrac{4\pi}{3}}
Bon et donc, c’est un réel ou pas, alors ?

Ah ces élèves… Toujours aussi pressés d’avoir la réponse !

Soit z un nombre complexe de module \rho et d’argument \theta. z = \rho e^{i\theta} est un réel si et seulement si \theta = k\pi, k \in \mathbb{Z}, autrement dit, si et seulement si \theta = 0 [\pi].

Muni de cela, on peut conclure :

\dfrac{4\pi}{3} \neq 0 [\pi] donc (1 + i\sqrt{3})^4 n’est pas un réel : l’affirmation est fausse.

Soit ABCDEFGH un cube.

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 3 2013-fm-exo3-2

Proposition 3

Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.

Voilà le type de question que je détestais quand j’étais moi-même en Terminale.

Ah bon ? Pourquoi ?

Parce que c’est bien le genre de question où connaître simplement votre cours ne vous sert quasiment à rien ! En effet, votre cours vous dit que :

  • Deux droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = 0
  • Relation de Chasles
    Soient A, B, et C trois points de l’espace.
    \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}

Une fois qu’on a dit ça, on a (presque) rien dit ! OK, on va calculer le produit vectoriel \overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} en utilisant la relation de Chasles… mais en passant par quels points ? Et là, votre cours vous dit « Démerde-toi ! J’en sais rien ! » ! Ici, vous allez le voir, c’est relativement facile, mais je me souviens d’exercices où j’ai trouvé les « bons » points uniquement par pure chance !

Décomposition de \overrightarrow{\mathrm{EC}}

Alors, personnellement, la question que je me suis posée est « Comment est-ce que, par un « chemin » pas trop long, de E, je rejoins C ? ». Et là, je me suis dit deux choses :

  • Je vais faire intervenir l’un des deux points de l’autre vecteur, le vecteur \overrightarrow{\mathrm{BG}}. En effet, c’est avec ce vecteur que je cherche à calculer un produit vectoriel, je ne peux donc pas me permettre de faire une décomposition qui ne le ferait pas intervenir d’une façon ou d’une autre.

    Pourquoi un seul point, pas les deux ?

    Parce que :

    Il faut toujours essayer de décomposer un vecteur en moins de termes possibles.

    Or, ici, vouloir à tout prix inclure dans la décomposition du vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}} à la fois B et G m’aurait obligé à faire un « détour », c’est-à-dire allonger ma décomposition, pour rejoindre C. Bref, je choisis, au hasard cette fois-ci, B (G aurait aussi très bien fait l’affaire).

  • Je vais « passer par les arêtes du cube ABCDEFGH« , et jamais couper par la diagonale d’un côté. En effet, il est très intéressant de « longer » les arêtes du cube car ils sont orthogonaux 2 à 2. Cela me permet d’espérer que plusieurs termes du produit scalaire vont ainsi s’annuler. Cela revient alors à passer par A ou par F. Comme F est bien plus « proche » des points B et G que ne l’est le point A, je choisis de passer par F.

Par conséquent, je choisis la décomposition suivante pour le vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}} : \overrightarrow{\mathrm{EC}} = \overrightarrow{\mathrm{EF}} + \overrightarrow{\mathrm{FB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Décomposition de \overrightarrow{\mathrm{BG}}

Cette fois-ci, j’utilise bien sûr les mêmes principes que ceux que je me suis imposés ci-dessus, à savoir :

  • décomposition la plus courte possible ;
  • toujours passer par les arêtes du cube.
Et faire intervenir le vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}} via les points E et C alors ?

Ce n’est plus utile ! J’ai déjà fait intervenir les points B et G lors de la décomposition du vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}}. Faire intervenir les points E et C me ferait tourner en rond.

Finalement, il s’agit donc simplement de décomposer le vecteur \overrightarrow{\mathrm{BG}} en passant par F ou par C. Le point F apparaissant plus souvent dans la décomposition du vecteur \overrightarrow{\mathrm{EC}} que le point C, c’est par le point F que je choisis de passer.

La décomposition du vecteur \overrightarrow{\mathrm{BG}} que je choisis de faire est donc la suivante : \overrightarrow{\mathrm{BG}} = \overrightarrow{\mathrm{BF}} + \overrightarrow{\mathrm{FG}}.

Calcul du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}}

Il ne reste plus qu’à calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} en utilisant les décompositions ci-dessus :

\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} = (\overrightarrow{\mathrm{EF}} + \overrightarrow{\mathrm{FB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}).(\overrightarrow{\mathrm{BF}} + \overrightarrow{\mathrm{FG}})

= \overrightarrow{\mathrm{EF}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}} + \overrightarrow{\mathrm{EF}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}} + \overrightarrow{\mathrm{FB}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}} + \overrightarrow{\mathrm{FB}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}}~+
\overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}}

Or, (EF) \perp (BF) donc \overrightarrow{\mathrm{EF}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}} = 0. De même, \overrightarrow{\mathrm{EF}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}} = \overrightarrow{\mathrm{EF}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}} = \overrightarrow{\mathrm{FB}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}} = 0.
D’où :\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} = \overrightarrow{\mathrm{FB}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{FG}}

Arrivé là, il faut se rappeler que :

Soit \overrightarrow{\mathrm{AB}} un vecteur de l’espace.

  • \overrightarrow{\mathrm{BA}} = -\overrightarrow{\mathrm{AB}}
  • \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^2

Ce qui permet de poursuivre les calculs :

Or, \overrightarrow{\mathrm{FB}} = -\overrightarrow{\mathrm{BF}} et \overrightarrow{\mathrm{FG}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} d’où :
\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} = -\overrightarrow{\mathrm{BF}}.\overrightarrow{\mathrm{BF}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}

= -\|BF\|^2 + \|BC\|^2
De plus, \|BF\| = \|BC\| d’où :
\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BG}} = 0
L’affirmation est vraie.

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}). Soit le plan \mathcal{P} d’équation cartésienne x + y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1,-2,-2).

Proposition 4

La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan \mathcal{P} a pour représentation paramétrique
\begin{cases}x = 2 + t \\y = -1 + t, ~t \in \mathbb{R} \\z = 1 + 3t\end{cases}

Déterminer l’équation paramétrique d’une droite perpendiculaire à un plan donné (dont on donne l’équation cartésienne) et passant par un point S donné est un exercice classique qu’il faut maîtriser. Répondre à cette question nécessite toujours le déroulement des mêmes étapes.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Puisque l’on recherche ici la représentation paramétrique d’une droite perpendiculaire à un plan donné, il faut déterminer un vecteur normal au plan.

Déterminer un vecteur normal à un plan dont l’équation cartésienne est fournie est très simple. En effet, votre cours vous indique que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{n} de coordonnées (a ; b ; c).
Tu dis « Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est… » au lieu de « Le vecteur normal au plan \mathcal{P} est… ». Y a-t-il une raison particulière à cela ?

Très bonne remarque. Le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) n’est effectivement que l’un des vecteurs possibles. En fait, tout vecteur de la forme (ka ; kb ; kc), k réel, conviendrait. Mais autant prendre k = 1 pour des raisons de simplicité…

Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 3).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Poser M(x ; y ; z) un point de la droite cherchée et exprimer le fait que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{SM}} est colinéaire à \overrightarrow{n}

En effet, puisque \overrightarrow{n} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}, il est un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire au plan \mathcal{P}, et donc un vecteur directeur de la droite cherchée.

Ainsi, tout vecteur composé de deux points de la droite cherchée est forcément colinéaire à \overrightarrow{n} :

Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 3 2013-fm-exo3-3

Alors, comment exprimer que \overrightarrow{\mathrm{SM}} est colinéaire à \overrightarrow{n} ? Votre cours vous dit que :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace et \overrightarrow{u}(x;y;z) un vecteur de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{u} sont colinéaires \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \overrightarrow{\mathrm{AB}} = k\overrightarrow{u} (« il existe k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{AB}} = k\overrightarrow{u} »)

\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \begin{cases}x_B - x_A = kx \\y_B - y_A = ky \\z_B - z_A = kz\end{cases}

Il suffit donc d’appliquer cela à \overrightarrow{\mathrm{SM}} et à \overrightarrow{n}.

On appelle \mathcal{D} la droite dont on cherche la représentation paramétrique. Soit M(x ; y ; z) \in \mathcal{D}.
\overrightarrow{\mathrm{SM}} et \overrightarrow{n} sont colinéaires \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \overrightarrow{\mathrm{SM}} = k\overrightarrow{n}

\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \begin{cases}x - 1 = k \\y + 2 = k \\z + 2 = 3k\end{cases}
\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \begin{cases}x = 1 + k \\y = -2 + k \\z = - 2 + 3k\end{cases}
Bon bah, ça ressemble pas du tout à la représentation paramétrique proposée dans l’énoncé : l’affirmation est fausse !

Pas si vite ! Si la question était de trouver UNE représentation paramétrique de \mathcal{D}, l’exercice serait effectivement terminé : on a bien trouvé UNE représentation paramétrique de \mathcal{D}. Maintenant, rien ne nous dit qu’elle ne coïncide pas avec celle proposée par l’énoncé !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Faire éventuellement un changement de variable pour faire coïncider l’équation paramétrique trouvée avec l’équation paramétrique proposée par l’énoncé.

Pour cela, il va falloir exprimer k en fonction de t. Prenons la première ligne de l’équation que l’on a trouvée : x = 1 + k. L’énoncé, lui, propose x = 2 + t. Il suffit donc de trouver l’expression de k telle que 1 + k = 2 + t, ce qui donne k = 1 + t. Voici donc ce qu’il faut rédiger sur la copie :

On pose k = 1 + t. L’équation paramétrique trouvée devient :
\begin{cases}x = 1 + k = 1 + (1 + t) = 2 + t\\y = -2 + (1 + t) = -1 + t \\z = -2 + 3k = -2 + 3(1 + t) = 1 + 3t\end{cases}
C’est bien l’équation paramétrique proposée par l’énoncé : l’affirmation est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 3.

Exprimez vous!