Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 4 Obl

Enoncé

Soit la suite numérique (u_n) définie sur \mathbb{N} par :

u_0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1.

Question 1

a. Calculer u_1, u_2, u_3 et u_4. On pourra en donner des valeurs à 10^{-2} près.

De façon très classique, on commence l’exercice sur les suites en calculant quelques valeurs, afin de conjecturer ensuite son sens de variation. La suite étant définie par une relation de récurrence, on calcule les termes un par un, en s’appuyant sur le terme de rang précédent :

u_1 = \dfrac{2}{3}u_0+\dfrac{1}{3} \times 0 + 1 = \dfrac{4}{3} + 0 + 1 = \dfrac{7}{3} \approx 2,33
u_2 = \dfrac{2}{3}u_1+\dfrac{1}{3} \times 1 + 1 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{3} + \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{14}{9} + \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{26}{9} \approx 2,89
u_3 = \dfrac{2}{3}u_2+\dfrac{1}{3} \times 2 + 1 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{26}{9} + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{52}{27} + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{97}{27} \approx 3,59
u_4 = \dfrac{2}{3}u_3+\dfrac{1}{3} \times 3 + 1 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{97}{27} + 1 + 1 = \dfrac{194}{81} + 2 = \dfrac{356}{81} \approx 4,40

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

Aucune difficulté ici, les quatre valeurs calculées sont de plus en plus grandes :

Si on s’appuie sur les valeurs calculées à la question précédente, la suite (u_n) semble croissante.

Question 2

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, u_n ~\leq ~n+3.

Ici, on va utiliser le raisonnement par récurrence.

Ah bon ? Mais comment sais-tu qu’il faut utiliser le raisonnement par récurrence ?

A vrai dire, on n’a pas vraiment le choix. u_n est définie par récurrence : autrement dit, on ne connait pas (encore) d’expression « autonome » de u_n (c’est-à-dire une expression qui nous permettrait de calculer n’importe quel terme de la suite u_n sans avoir à calculer les termes qui le précèdent). Or, on nous demande ici de prouver une inégalité où u_n apparaît seul, sans u_{n+1}. La seule façon de démontrer cela est donc de le supposer au rang n et de montrer que cela est alors vrai au rang n+1 : c’est l’objet du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n ~\leq ~n+3.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Initialisation
u_0 = 2 ~\leq 0+3 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que u_k ~\leq ~k + 3. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que u_{k+1} ~\leq ~(k+1) + 3 = k + 4.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la première solution et partir de l’hypothèse de récurrence faisant intervenir u_k pour faire apparaître u_{k+1} :

D’après l’hypothèse de récurrence, on a u_k ~\leq ~k + 3. On en déduit :
\dfrac{2}{3}u_k ~\leq ~\dfrac{2}{3}(k + 3)
\underbrace{\dfrac{2}{3}u_k + \dfrac{1}{3}k + 1}_{u_{k+1}} ~\leq \underbrace{~\dfrac{2}{3}(k + 3) + \dfrac{1}{3}k + 1}_{k ~+ ~4}
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n ~\leq ~n+3.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n).

Aucune difficulté ici : on cherche à soustraire u_n à u_{n+1}. Or, on dispose de l’expression de u_{n+1} en fonction de u_n donc il suffit de remplacer u_{n+1} par cette expression et de mener les calculs :

u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1 - u_n = -\dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1

En factorisant par \dfrac{1}{3}, on obtient l’expression voulue :

... = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n)

c. En déduire une validation de la conjecture précédente.

Rappelons que notre conjecture, émise à la question 1. a., était que la suite (u_n) est probablement croissante. Montrons donc nous avions raison de conjecturer cela.

Le cours nous indique que :

Soit (u_n) une suite numérique.

  • (u_n) est croissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\geq ~0
  • (u_n) est décroissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\leq ~0

Si les inégalités sont strictes, la suite est dite respectivement « strictement croissante » et « strictement décroissante ».

Ici, il suffit donc de montrer que u_{n+1} - u_n ~\geq ~0. Or, on vient de calculer une expression de u_{n+1} - u_n à la question précédente. Servons-nous en donc !

Montrons que u_{n+1} - u_n ~\geq ~0. D’après la question 2. b., on sait que u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n).
Or, d’après la question 2. a., pour tout n \in \mathbb{N}, u_n ~\leq ~n+3 donc n + 3 - u_n \geq 0 d’où \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n) \geq 0. Ainsi, u_{n+1} - u_n ~\geq ~0 d’où, la suite (u_n) est croissante.

Question 3

On désigne par (v_n) la suite définie sur \mathbb{N} par v_n = u_n - n.
a. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{2}{3}.

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (v_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

Calculons donc \dfrac{v_{n+1}}{v_n} :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{u_{n+1} - (n+1)}{u_n - n} = \dfrac{\dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1 - n - 1}{u_n - n} = \dfrac{\dfrac{2}{3}u_n - \dfrac{2}{3}n}{u_n - n} = \dfrac{\dfrac{2}{3}(u_n - n)}{u_n - n} = \dfrac{2}{3}
Donc la suite (v_n) est géométrique de raison \dfrac{2}{3}.

b. En déduire que pour tout entier naturel n, u_n = 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n + n

Trouver l’expression de u_n juste après qu’une suite (v_n) (arithmétique ou géométrique) ait été introduite est une question classique qu’il faut absolument savoir faire. La démarche à adopter est toujours la même.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Exprimer v_n en fonction de n.

Etant donné que la suite (v_n) est, soit arithmétique de raison r, soit géométrique de raison q, il est facile d’en donner une expression en fonction de n. En effet, votre cours vous indique que :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Autrement dit, v_n = v_0 q^n mais on pourrait également écrire v_n = v_1 q^{n-1} ou encore v_n = v_2 q^{n-2} etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer v_n en fonction de son terme initial, ici v_0. Donc on peut écrire :

D’après la question précédente, (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{2}{3} donc on a v_n = v_0\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
Or, d’après l’énoncé, v_n = u_n - n donc v_0 = u_0 - 0 = 2 d’où v_n = 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer u_n en fonction de l’expression de v_n trouvée précédemment.
Puisque v_n = u_n - n, alors u_n = v_n + n = 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n + n

c. Déterminer la limite de la suite (u_n).

L’expression de (u_n) doit absolument faire penser à la portion de cours suivante :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Muni de cela, le calcul de la limite de (u_n) devient évident :

-1 ~\textless ~\dfrac{2}{3} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0
De plus, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~n = +\infty d’où, par somme, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = +\infty

Question 4

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + ... + u_n et T_n = \dfrac{S_n}{n^2}.

a. Exprimer S_n en fonction de n.

Pour pouvoir répondre à cette question, il faut savoir manipuler le signe \sum. En particulier, il faut savoir que :

\sum\limits_{k=0}^{n} (a\alpha_k + b\beta_k) = a\sum\limits_{k=0}^{n} \alpha_k + b\sum\limits_{k=0}^{n} \beta_k où :

  • a et b sont des constantes qui ne dépendent pas de k ;
  • \alpha_k et \beta_k sont des termes qui dépendent de k.

Cela nous permet de commencer nos calculs :

S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = \sum\limits_{k=0}^{n} \left[2\left(\dfrac{2}{3}\right)^k + k\right]
C’est bien beau tout ça, mais comment on l’applique, ta formule, là ?

Pour l’appliquer, vous devez vous demander qui jouent les rôles respectifs de a, b, \alpha_k et \beta_k. En l’occurrence :

  • 2 joue le rôle de a ;
  • 1 joue le rôle de b ;
  • \left(\dfrac{2}{3}\right)^k joue le rôle de \alpha_k ;
  • k joue le rôle de \beta_k.

Ayant identifié ces éléments, vous pouvez sereinement appliquer la formule :

... = 2\sum\limits_{k=0}^{n} \left(\dfrac{2}{3}\right)^k + \sum\limits_{k=0}^{n} k

Arrivé ici, c’est à nouveau votre cours qui va vous permettre de vous en sortir. En effet, deux formules sont à connaître absolument par coeur :

  • Soit q \in \mathbb{R}, q \neq 1. \sum\limits_{k} q^k = \text{1er terme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}
  • \sum\limits_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}

La première formule va nous permettre de calculer \sum\limits_{k=0}^{n} \left(\dfrac{2}{3}\right)^k tandis que la seconde va nous permettre de calculer \sum\limits_{k=0}^{n} k.

Calcul de \sum\limits_{k=0}^{n} \left(\dfrac{2}{3}\right)^k

Appliquons la première formule :

  • c’est \dfrac{2}{3} qui joue le rôle de q ;
  • la somme commence pour k = 0 donc le \text{1er terme} vaut \left(\dfrac{2}{3}\right)^0 ;
  • comme il s’agit d’une somme sur k qui va de k = 0 à k = n, le \text{nombre de termes} vaut… n + 1 et non pas n !

Maintenant que l’on a bien compris qui joue le rôle de quoi, le tour est joué :

Or \sum\limits_{k=0}^{n} \left(\dfrac{2}{3}\right)^k = \left(\dfrac{2}{3}\right)^0 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}}{1 - \dfrac{2}{3}} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}}{ \dfrac{1}{3}} = 3\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right)

Calcul de \sum\limits_{k=0}^{n} k

Ici, il n’y a rien à « calculer », il faut juste écrire la formule, apprise par coeur, sur la copie :

et \sum\limits_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}

Conclusion

Reste à finir le calcul :

D’où S_n = 2 \times 3\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right) + \dfrac{n(n+1)}{2} = 6\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right) + \dfrac{n(n+1)}{2}

b. Déterminer la limite de la suite T_n.

Avant toute chose, calculons T_n :

T_n = \dfrac{S_n}{n^2} = \dfrac{6\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right)}{n^2} + \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \dfrac{6\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right)}{n^2} + \dfrac{n+1}{2n}

Calcul de la limite de \dfrac{6\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right)}{n^2}

Aucune difficulté particulière ici. On calcule d’abord la limite du numérateur, puis celle du dénominateur, puis on regarde ce que cela donne ! :p

  • \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 0 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~6\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right) = 6
  • \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~n^2 = +\infty

D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\dfrac{6\left(1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n + 1}\right)}{n^2} = 0.

Calcul de la limite de \dfrac{n+1}{2n}

\dfrac{n+1}{2n} est une fraction rationnelle (c’est-à-dire une fraction dont le numérateur est un polynôme et le dénominateur également). Calculer la limite d’une fraction rationnelle doit être aussi facile pour vous que de respirer !

Pour déterminer la limite d’une fraction rationnelle, il faut factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré.
\dfrac{n+1}{2n} = \dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{2n} = \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{2}
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\dfrac{1}{n} = 0 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\dfrac{1 + \dfrac{1}{n}}{2} = \dfrac{1}{2}
D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\dfrac{n+1}{2n} = \dfrac{1}{2}.
Ça me paraît bien long, tout ça… Je connais un théorème qui me permet de calculer facilement la limite d’une fonction rationnelle !

Effectivement, un tel théorème existe. Il s’agit du théorème suivant :

A l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Cependant, ce théorème n’est pas au programme. Mon propre professeur de mathématiques de Terminale refusait que nous l’utilisions. Rien n’assure donc qu’un éventuel examinateur le refuse aussi… Je vous conseille donc de passer systématiquement par la factorisation du numérateur et du dénominateur.

Reste à conclure sur la limite de T_n :

Donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~T_n = \dfrac{1}{2}.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths France Métropole Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!