Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1

Enoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}};\overrightarrow{\mathrm{k}}).
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A(1 ; -1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8),
C(-3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3).

On note \mathcal{D} la droite ayant pour représentation paramétrique \begin{cases}x = t + 1 \\y = 2t - 1, t \in \mathbb{R} \\z= 3t + 2\end{cases} et \mathcal{D la droite ayant pour représentation paramétrique \begin{cases}x = k + 1 \\y = k + 3, k \in \mathbb{R} \\z = -k + 4\end{cases}.

On note \mathcal{P} le plan d’équation x + y - z + 2 = 0.

Question 1

Proposition a. Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont parallèles.
Proposition b. Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont coplanaires.
Proposition c. Le point C appartient à la droite \mathcal{D}.
Proposition d. Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont orthogonales.

Voyons si la première affirmation est vraie. Regardez la figure suivante :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-li-exo1-1

Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont parallèles. Que remarquez-vous sur les vecteurs directeurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ?

Ils sont colinéaires non ?

Exactement :

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Or :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Donc, puisque l’énoncé fournit les représentations paramétriques des droites \mathcal{D} et \mathcal{D, on peut déterminer un vecteur directeur pour chacune d’elles :

La droite \mathcal{D} admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x = t + 1 \\y = 2t - 1, t \in \mathbb{R} \\z= 3t + 2\end{cases} donc \overrightarrow{\mathrm{u}}(1;2;3) est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

De même, la droite \mathcal{D admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x = k + 1 \\y = k + 3, k \in \mathbb{R} \\z = -k + 4\end{cases} donc \overrightarrow{\mathrm{u est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D.

Reste à vérifier si \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u sont colinéaires. Pour cela, il faut savoir que :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{u sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si et seulement s’il existe un réel k tel que :\begin{cases}x.
Pour trouver ce réel k, il suffit de diviser les coordonnées deux à deux. Si on trouve toujours le même résultat, ce résultat est le réel k cherché et les vecteurs sont colinéaires. Sinon, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Ici, si on divise les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u par celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} (on pourrait faire l’inverse et diviser les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} par celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u, c’est comme vous voulez), on trouve :

  • \dfrac{1}{1} = 1
  • \dfrac{1}{2}
  • \dfrac{-1}{3} = -\dfrac{1}{3}

Le réel trouvé n’est pas toujours le même donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ne sont pas colinéaires. On peut donc conclure :

Or, les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ne sont pas colinéaires d’où les droites \mathcal{D} et \mathcal{D ne sont pas parallèles.

Tant que nous y sommes, après avoir regardé si les droites \mathcal{D} et \mathcal{D étaient parallèles, voyons maintenant si elles sont orthogonales.

Cette fois-ci, regardez la figure ci-dessous. Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont orthogonales :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-li-exo1-2

Que remarquez-vous sur les vecteurs directeurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ?

Ils sont aussi orthogonaux, non ?

Tout à fait :

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Or :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{u sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si et seulement si xx.

Calculons donc le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u :

\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{u donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u sont orthogonaux d’où les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont orthogonales.

Donc la réponse à choisir est :

1. d.

Bien sûr, il n’est pas utile d’étudier les deux autres affirmations : l’énoncé indique qu’une seule affirmation est juste par question. Donc, une fois qu’on a trouvé l’affirmation juste, on passe à la question suivante !


Question 2

Proposition a. Le plan \mathcal{P} contient la droite \mathcal{D} et est parallèle à la droite \mathcal{D.
Proposition b. Le plan \mathcal{P} contient la droite \mathcal{D et est parallèle à la droite \mathcal{D}.
Proposition c. Le plan \mathcal{P} contient la droite \mathcal{D} et est orthogonal à la droite \mathcal{D.
Proposition d. Le plan \mathcal{P} contient les droites \mathcal{D} et \mathcal{D.

Etudions donc l’intersection du plan \mathcal{P} respectivement avec les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}.

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe une démarche systématique pour étudier l’intersection d’un plan et d’une droite. Commençons par l’intersection du plan \mathcal{P} avec la droite \mathcal{D} :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Pour déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P}, il faut savoir que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (a;b;c).

Ici, puisque le plan \mathcal{P} admet pour équation cartésienne x + y - z + 2 = 0, cela donne :

\overrightarrow{\mathrm{n}}(1;1;-1) est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Par ailleurs, on a déjà déterminé un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}(1;2;3) est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (respectivement à \mathcal{P}) et choisi arbitrairement :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A appartient à \mathcal{P} (respectivement à \mathcal{D}). Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Ici, on a :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{u}} = 1 \times 1 + 1 \times 2 + (-1) \times 3 = 1 + 2 - 3 = 0.
Donc \mathcal{D} et \mathcal{P} sont parallèles.

Reste à déterminer s’ils sont strictement parallèles ou si \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P}.

Pour cela, il nous faut « avoir sous la main », soit un point de \mathcal{P}, soit un point de \mathcal{D}. Or, comme nous l’avons vu plus haut, disposer de l’équation paramétrique d’une droite permet de déterminer :

  • un vecteur normal à cette droite ;
  • un point appartenant à cette droite.

Déterminons donc un point appartenant à la droite \mathcal{D} :

La droite \mathcal{D} admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x = t + 1 \\y = 2t - 1, t \in \mathbb{R} \\z= 3t + 2\end{cases} donc le point A de coordonnées (1 ; -1 ; 2) appartient à \mathcal{D}.

Voyons alors si ce point A appartient à \mathcal{P}. Pour cela, votre cours vous dit que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et M(x_M;y_M;z_M) un point de l’espace.
M \in \mathcal{P} si et seulement si ax_M + by_M + cz_M + d = 0.

Ici, il faut donc écrire :

x_A + y_A - z_A + 2 = 1 + (-1) - 2 = -2 \neq 0. Le point A ne vérifie pas l’équation cartésienne de \mathcal{P} donc A \notin \mathcal{P} d’où la droite \mathcal{D} et le plan \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Ainsi, le plan \mathcal{P} ne contient pas la droite \mathcal{D}, ce qui élimine les réponses a., c. et d. Seule la réponse b. reste en lice : c’est donc forcément la bonne réponse !

2. b.

Question 3

Proposition a. Les points A, D et C sont alignés.
Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A.
Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral.
Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB].

Voyons si la proposition a. est vraie ou fausse :

Pour montrer que trois points A, B et C ont alignés, il suffit de montrer que deux des vecteurs pouvant être formés avec ces 3 points sont colinéaires.

Si les deux vecteurs choisis ne sont pas colinéaires, alors les 3 points ne sont pas alignés.

Personnellement, je choisis de m’intéresser aux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}} mais j’aurais pu choisir \overrightarrow{\mathrm{CD}} et \overrightarrow{\mathrm{CA}} par exemple. C’est vraiment au choix :

  • \overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A ; z_C - z_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AC}}(-3 - 1 ; 5 - (-1) ; 4 - 2)
    \overrightarrow{\mathrm{AC}}(-4 ; 6 ; 2)
  • \overrightarrow{\mathrm{AD}}(x_D - x_A ; y_D - y_A ; z_D - z_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AD}}(1 - 1 ; 2 - (-1) ; 3 - 2)
    \overrightarrow{\mathrm{AD}}(0 ; 3 ; 1)

Cette fois-ci, si on divise les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AD}} par celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}} (et on ne peut pas faire l’inverse, car on se retrouverait à diviser par  0 pour la première coordonnée), on trouve :

  • \dfrac{0}{-4} = 0
  • \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}
  • \dfrac{1}{2}

Le réel trouvé n’est pas toujours le même donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}} ne sont pas colinéaires. On peut donc conclure :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}} ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}} ne sont pas colinéaires d’où les points A, D et C ne sont pas alignés.

Donc la proposition a. est fausse.

Intéressons-nous à la proposition b. Regardez la figure ci-dessous qui représente un triangle ABC rectangle en A :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-li-exo1-3

A votre avis, pour voir si le rectangle ABC est rectangle en A, que faut-il faire ?

Il suffit de voir si les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont orthogonaux, non ?

Exactement ! Et pour vérifier cela, comment fait-on ?

Il suffit de calculer leur produit scalaire !

Tout à fait. Pour cela, il faut disposer des coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}. On a déjà calculé les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}}. Calculons les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} :

  • \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)
    \overrightarrow{\mathrm{AB}}(3 - 1 ; 3 - (-1) ; 8 - 2)
    \overrightarrow{\mathrm{AB}}(2 ; 4 ; 6)

Ainsi, le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} vaut :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2 \times (-4) + 4 \times 6 + 6 \times 2 = -8 + 24 + 12 = 28 \neq 0 donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas orthogonaux.

La conclusion s’impose alors d’elle-même :

Donc le triangle ABC n’est pas rectangle en A.

La proposition b. est, elle aussi, fausse.

Intéressons-nous à la proposition c. Quelle est la première caractéristique d’un triangle équilatéral qui vous vient à l’esprit ?

Il a trois côtés égaux !

Tout à fait. Et donc, comment feriez-vous pour voir si le triangle ABC est équilatéral ou non ?

Je calculerais les longueurs AB, AC et BC et je regarderais si j’obtiens la même valeur pour les trois longueurs calculées ou non.

Je ne l’aurais pas mieux dit ! C’est parti :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - (-1))^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}
 
AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (5 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}
 
BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (5 - 3)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}

La conclusion est alors immédiate :

AB = AC = BC donc le triangle ABC est équilatéral.

La proposition c. est donc la bonne :

3. c.

Question 4

On note \mathcal{P le plan contenant la droite \mathcal{D et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
Proposition a. \overrightarrow{\mathrm{n}}(-1 ; 5 ; 4)
Proposition b. \overrightarrow{\mathrm{n}}(3 ; -1 ; 2)
Proposition c. \overrightarrow{\mathrm{n}}(1 ; 2 ; 3)
Proposition d. \overrightarrow{\mathrm{n}}(1 ; 1 ; -1)

Réflexe :

Un vecteur est normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Donc, pour trouver la bonne réponse, il suffit de calculer le produit scalaire du vecteur proposé avec 2 vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P. Si les deux produits scalaires sont nuls, alors le vecteur proposé est normal au plan \mathcal{P.

Quels vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P je prends ?

Bonne question ! A nouveau, on va partir d’un petit schéma :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1 2013-li-exo1-4

Sur ce schéma :

  • le plan \mathcal{P contient la droite \mathcal{D et le point A ;
  • \overrightarrow{\mathrm{u est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D ;
  • I est un point de la droite \mathcal{D ;
  • \overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P.

Quels vecteurs du plan \mathcal{P avez-vous envie de considérer ?

Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IA}} et \overrightarrow{\mathrm{u. Mais je ne connais pas les coordonnées du point I !

N’importe quel point I appartenant à la droite \mathcal{D convient ! Ce qui importe, c’est que ce point appartienne à \mathcal{D. Ainsi, puisque le plan \mathcal{P contient \mathcal{D, I appartient aussi à \mathcal{P et donc, \overrightarrow{\mathrm{IA}} est bien un vecteur de \mathcal{P.

N’y a-t-il pas un point appartenant à la droite \mathcal{D facile à déterminer ? Allez, je vous aide un peu : appuyez-vous sur la représentation paramétrique de \mathcal{D

Ah mais oui ! Puisque la droite \mathcal{D admet comme représentation paramétrique \begin{cases}x = k + 1 \\y = k + 3, k \in \mathbb{R} \\z = -k + 4\end{cases}, alors le point I de coordonnées (1 ; 3 ; 4) appartient à \mathcal{D.

Exactement ! Du coup, on peut déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{IA}} :

\overrightarrow{\mathrm{IA}}(x_A - x_I ; y_A - y_I ; z_A - z_I)
\overrightarrow{\mathrm{IA}}(1 - 1 ; -1 - 3 ; 2 - 4)
\overrightarrow{\mathrm{IA}}(0 ; -4 ; -2)

Vous remarquerez d’ailleurs que :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IA}} et \overrightarrow{\mathrm{u ne sont pas proportionnelles donc \overrightarrow{\mathrm{IA}} et \overrightarrow{\mathrm{u ne sont pas colinéaires.

Vous pouvez diviser les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{IA}} par celles du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u si vous n’en êtes pas convaincus…

Reste alors à calculer le produit scalaire de chacun des vecteurs proposés avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IA}} et \overrightarrow{\mathrm{u. Si les deux produits scalaires sont nuls, alors le vecteur proposé est normal au plan \mathcal{P :

  • -1 \times 1 + 5 \times 1 + 4 \times (-1) = -1 + 5 - 4 = 0
    -1 \times 0 + 5 \times (-4) + 4 \times (-2) = 0 - 20 - 8 = -28 \neq 0
    Donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(-1 ; 5 ; 4) n’est pas normal au plan \mathcal{P.
  • 3 \times 1 + (-1) \times 1 + 2 \times (-1) = 3 - 1 - 2 = 0
    3 \times 0 + (-1) \times (-4) + 2 \times (-2) = 0 + 4 - 4 = 0
    Donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}}(3 ; -1 ; 2) est normal au plan \mathcal{P.

Ainsi, la bonne proposition est la proposition b. :

4. b.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Liban Exercice 1.

Exprimez vous!