Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2

Enoncé

L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».
La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F_1 et F_2.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

La chaîne de production F_2 semble plus fiable que la chaîne de production F_1. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F_1 et 30 % de la chaîne F_2. La chaîne F_1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F_2 en produit 1 %.
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
E : « Le petit pot provient de la chaîne F_2 »
C : « Le petit pot est conforme ».

Question 1

Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

Pour construire un arbre pondéré, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F_1 et F_2.

En lisant cela, je sais que mon arbre va tout d’abord contenir deux branches, une pour F_1 et une pour F_2 :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-1
Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F_1 et 30 % de la chaîne F_2.

Maintenant, je peux indiquer les probabilités de chacune des branches de mon arbre :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-2
La chaîne F_1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F_2 en produit 1 %.

En lisant cela, je me dis : « OK, je vais pouvoir placer les événements « compote conforme » et « compote non conforme » ainsi que les probabilités correspondantes. Mais comment est-ce qu’ils notent l’événement « La compote est conforme » ? ». En cherchant la réponse à cette question dans l’énoncé, je tombe sur ça :

E : « Le petit pot provient de la chaîne F_2 »
C : « Le petit pot est conforme ».

J’en déduis deux choses :

  • l’événement « Le petit pot est conforme » (événement que moi, j’appelais « La compote est conforme ») est noté C ;
  • l’événement « Le petit pot provient de la chaîne F_2 » n’est non pas noté F_2 mais E : je vais devoir remplacer F_2 par E dans mon arbre pondéré.
Et l’événement « Le petit pot provient de la chaîne F_1 » alors, t’en fais quoi ? Tu le laisses comme ça ?

Non. Il faut toujours faire apparaître les données de l’énoncé, et uniquement elles. Si « le petit pot provient de la chaîne F_1 », c’est qu’il ne provient pas de la chaîne F_2. Autrement dit, c’est l’événement contraire de l’événement E : il se note donc \overline{E}.

Avec toutes ces informations, je peux compléter l’arbre pondéré :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-5
Il n’y a plus d’information à exploiter dans l’énoncé. On s’arrête là, non ?

Surtout pas, malheureux ! Il faut toujours garder à l’esprit que :

La somme des probabilités de toutes les branches qui partent d’un même noeud doit valoir 1 (100%).

Par conséquent, il faut faire figurer l’événement contraire de C, \overline{C}, avec les probabilités qui peuvent être déduites de la règle ci-dessus :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-4

Cette fois-ci, l’arbre pondéré est bel et bien terminé.


Question 2

Calculer la probabilité de l’événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F_1. ».

Il s’agit de calculer P(\overline{E} \cap C).

Pour calculer la probabilité d’une intersection, une fois qu’on a réalisé un arbre de probabilité, il faut avoir le réflexe suivant :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-6

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1., la probabilité de l’événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F_1. » vaut :
p(\overline{E} \cap C) = 0.70 \times 0.95 = 0.665

Question 3

Déterminer la probabilité de l’événement C.

Il s’agit donc simplement de calculer P(C). Pour répondre à cette question, vous devez à nouveau savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-7

Ici, on peut donc écrire :

En exploitant l’arbre pondéré obtenu à la question 1., on obtient que la probabilité de l’événement C vaut :
P(C) = \underbrace{0.70 \times 0.95}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0.30 \times 0.99}_{\text{chemin 2}} = 0.962.

Question 4

Déterminer, à 10^{-3} près, la probabilité de l’événement E sachant que l’événement C est réalisé.

Clairement, l’énoncé souhaite ici que l’on calcule la probabilité conditionnelle P_C(E). Pour calculer une probabilité conditionnelle ou la probabilité d’une intersection, un seul réflexe :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Ici, cela donne donc :

P_C(E) = \dfrac{P(C \cap E)}{P(C)}
Et là, on doit calculer la probabilité de l’intersection « C \cap E » donc on exploite l’arbre pondéré, non ?

Je vois que ça commence à rentrer ! Effectivement, pour calculer P(C \cap E), il suffit de s’intéresser au chemin 2 de la figure vue à la question 3 et multiplier les probabilités des branches orange :

Or, P(C \cap E) = 0,30 \times 0,99 = 0,297

Cela nous permet de conclure :

De plus, d’après la question 3., P(C) = 0,962 d’où :
P_C(E) = \dfrac{0,297}{0,962} = 0,309.

Partie B

Question 1

On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F_1, associe sa teneur en sucre.
On suppose que X suit la loi normale d’espérance m_1 = 0,17 et d’écart-type \sigma_1 = 0,006.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-8

Donner une valeur approchée à 10^{-4} près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F_1 soit conforme.

Personnellement, lorsque j’ai vu cette question, la première pensée que j’ai eue a été : « Ca veut dire quoi qu’un petit pot est conforme, déjà ? »

La réponse à cette question se trouve bien sûr dans l’énoncé (au tout début) :

La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot
de compote est conforme.

Or, l’énoncé indique également dans la question que nous sommes en train de traiter que :

On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F_1, associe sa teneur en sucre.

Autrement dit, un pot de compote est conforme lorsque \alpha \leq X \leq \beta. Ainsi, la probabilité qu’un pot soit conforme, c’est P(0,16 \leq X \leq 0,18) :

La probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F_1 soit conforme vaut P(0,16 \leq X \leq 0,18) = 0,9044.

Question 2

On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F_2, associe sa teneur en sucre.
On suppose que Y suit la loi normale d’espérance m_2 = 0,17 et d’écart-type \sigma_2.
On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F_2 soit conforme est égale à 0,99.
Soit Z la variable aléatoire définie par Z = \dfrac{Y - m_2}{\sigma_2}.

a. Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle ?

En voilà, une belle question de cours. Tout ce que le concepteur du sujet cherche à savoir ici, c’est si vous connaissez la partie de cours suivante :

Si la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance m et d’écart-type \sigma notée \mathcal{N}(m, \sigma^2), alors la variable aléatoire Y = \dfrac{X - m}{\sigma} suit une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 notée \mathcal{N}(0, 1).

Remarque : la loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 notée \mathcal{N}(0, 1) s’appelle « loi normale centrée réduite ».

Vous remarquerez que c’est \sigma^2 qui figure dans la notation d’une loi normale d’écart-type \sigma : en fait, la notation indique la moyenne et la variance (qui est égale au carré de l’écart-type).

Ici, cela donne donc :

La variable aléatoire Y suit une loi normale d’espérance m_2 et d’écart-type \sigma_2 donc Z = \dfrac{Y - m_2}{\sigma_2} suit une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 : il s’agit de la « loi normale centrée réduite ».
C’est important de dire que la loi normale suivie par Z est « centrée réduite » ?

Franchement, je ne sais pas si on peut vous enlever des points si vous ne le mentionnez pas. Mais en tout cas, cela montre au correcteur que vous avez en tête un peu de « vocabulaire mathématique », et ça, ça permet de faire bonne impression !

b. Déterminer, en fonction de \sigma_2 l’intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l’intervalle [0,16 ; 0,18].

Lorsque l’on vous demande de déterminer l’intervalle d’appartenance d’une variable Z alors que l’on vous donne l’intervalle d’appartenance d’une variable Y, il suffit souvent de partir de ce que vous indique l’énoncé sur cette variable Y

Y \in [0,16 ; 0,18] \Leftrightarrow 0,16 \leq Y \leq 0,18

…puis d’effectuer les opérations successives qui permettent de faire apparaître Z :

... \Leftrightarrow 0,16 - m_2 \leq Y - m_2 \leq 0,18 - m_2

\Leftrightarrow \dfrac{0,16 - m_2}{\sigma_2} \leq \dfrac{Y - m_2}{\sigma_2} \leq \dfrac{0,18 - m_2}{\sigma_2}
\Leftrightarrow \dfrac{0,16 - m_2}{\sigma_2} \leq Z \leq \dfrac{0,18 - m_2}{\sigma_2}

Etant donné que l’énoncé nous demande d’exprimer l’intervalle dans lequel évolue Z uniquement en fonction de \sigma_2, il faut remplacer m_2 par sa valeur pour le faire « disparaître » :

... \Leftrightarrow \dfrac{0,16 - 0,17}{\sigma_2} \leq Z \leq \dfrac{0,18 - 0,17}{\sigma_2}

\Leftrightarrow \dfrac{-0,01}{\sigma_2} \leq Z \leq \dfrac{0,01}{\sigma_2}

Il ne reste plus qu’à conclure :

Donc, lorsque Y appartient à l’intervalle [0,16 ; 0,18], Z appartient à l’intervalle \left[\dfrac{-0,01}{\sigma_2} ; \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right].

c. En déduire une valeur approchée à 10^{-3} près de \sigma_2.
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1.

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2 2013-li-exo2-9

Cette question, qui clôt l’exercice, n’a rien évident. Son but est de déterminer \sigma_2, l’écart-type de la loi normale que suit la variable aléatoire Y. Elle nécessite de comprendre :

  • pourquoi la question précédente a été posée ;
  • comment faire le lien entre la réponse obtenue à la question précédente et le tableau de valeurs proposé dans cette question-ci.

Pourquoi la question précédente a été posée

Plus précisément, pourquoi l’énoncé choisit-il de faire varier Y dans l’intervalle [0,16 ; 0,18] ? Eh bien, d’une donnée importante de l’énoncé que l’on a déjà mentionné plus tôt dans l’exercice :

La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

Autrement dit, ce qui a été demandé dans la question précédente, ça a été de déterminer l’intervalle dans lequel variait Z lorsque Y correspondait à une teneur en sucre conforme.

La réponse à cette question est que lorsque Y appartient à l’intervalle [0,16 ; 0,18], Z appartient à l’intervalle \left[\dfrac{-0,01}{\sigma_2} ; \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right]. Du coup, la probabilité que Y appartienne à l’intervalle [0,16 ; 0,18] est égale à la probabilité que Z appartienne à l’intervalle \left[\dfrac{-0,01}{\sigma_2} ; \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right] :

P(Y \in [0,16 ; 0,18]) = P\left(Z \in \left[\dfrac{-0,01}{\sigma_2} ; \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right]\right)

Or, l’énoncé indique également que :

On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F_2 soit conforme est égale à 0,99.

La probabilité qu’un pot soit conforme, c’est aussi la probabilité que Y appartienne à l’intervalle [0,16 ; 0,18]. Donc il faut écrire :

Or, P(Y \in [0,16 ; 0,18]) = 0,99

Puis faire le lien avec Z :

Donc P\left(Z \in \left[\dfrac{-0,01}{\sigma_2} ; \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right]\right) = 0,99.

Lien entre la question précédente et le tableau de valeurs proposé

L’autre façon d’écrire P\left(Z \in \left[\dfrac{-0,01}{\sigma_2} ; \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right]\right), c’est d’écrire P\left(\dfrac{-0,01}{\sigma_2} \leq Z \leq \dfrac{0,01}{\sigma_2}\right). Que remarquez-vous ?

Oh bah ça alors ! \dfrac{-0,01}{\sigma_2} \leq Z \leq \dfrac{0,01}{\sigma_2} est exactement de la forme -\beta \leq Z \leq \beta avec \beta = \dfrac{0,01}{\sigma_2} !

Exactement ! On peut donc compléter la phrase que l’on vient d’écrire sur la copie par :

... soit P(-\beta \leq Z \leq \beta) = 0,99 avec \beta = \dfrac{0,01}{\sigma_2}.

C’est le moment de se servir du tableau de valeurs donné par l’énoncé…

Or, d’après le tableau de valeurs donné par l’énoncé, P(-\beta \leq Z \leq \beta) = 0,99 pour \beta = 2,5758

…puis de faire le lien avec \sigma_2 :

... d’où \dfrac{0,01}{\sigma_2} = 2,5758.

On en déduit alors \sigma_2 :

Ainsi, \sigma_2 = \dfrac{0,01}{2,5758} = 0,004 à 10^{-3} près.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Liban Exercice 2.

Commentaires

  1. Anonyme a écrit:

    à quoi ça sert de mettre des corrigés en ligne si on ne peut pas les imprimer ?? vous avez peur de quoi ? qu’on les copie et qu’on en fasse un commerce …. rassurez-vous , on peut les trouver facilement ailleurs
    lire un corrigé en ligne exige une grande attention et ce n’est pas ce qui convient à un élève en difficulté qui a besoin de relire et de surligner ce qu’il n’a pas compris , mais évidemment quand on a réussi des études brillantes comme les vôtres , on ne peut pas comprendre ce que c’est d’être faible !

Exprimez vous!