Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3

Enoncé

Etant donné un nombre réel k, on considère la fonction f_k définie sur \mathbb{R} par f_k(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-kx}}.
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Partie A

Dans cette partie on choisit k = 1. On a donc, pour tout réel x, f_1(x) =\dfrac{1}{1 + e^{-x}}.
La représentation graphique \mathcal{C}_1 de la fonction f_1 dans le repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

Question 1

Déterminer les limites de f_1(x) en +\infty et en -\infty et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

Pour calculer les limites demandées, vous devez savoir que :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~e^x = +\infty
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^x = 0

  • Limite de f_1 en +\infty
\lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~e^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}}

La connaissance de la limite de la fonction exponentielle en +\infty permet de poursuivre :

Or, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~e^x = +\infty donc, par inverse, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}} = 0 d’où \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~e^{-x} = 0.

La conclusion est alors immédiate :

Donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~1 + e^{-x} = 1 d’où, par inverse, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f_1(x) = 1.

  • Limite de f_1 en -\infty

On commence de la même façon qu’en +\infty :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}}
Cette fois-ci, on utilise le fait que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~{e^{x}} = 0

Oui mais cela ne suffit pas :

Dès lors que l’on calcule la limite d’une fraction et que le dénominateur tend vers  0 , il faut indiquer s’il tend vers 0^+ (c’est-à-dire « tend vers 0 en étant positif ») ou 0^- (c’est-à-dire « tend vers 0 en étant négatif »).

Ici, il faut donc écrire :

Or, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^x = 0^+

1 divisé par quelque chose qui tend vers  0 en étant positif, ça fait +\infty donc on a :

Donc, par inverse, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}} = +\infty d’où \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^{-x} = +\infty.

On peut alors conclure :

Donc \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~1 + e^{-x} = +\infty d’où, par inverse, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~f_1(x) = 0.
  • Interprétation graphique

Interpréter graphiquement des limites, c’est déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe représentative de la fonction étudiée. Pour cela, il suffit de se souvenir que :

  • Asymptote verticale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d’équation x = a si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty ou \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = -\infty. Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty :
    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-p-exo1-2
  • Asymptote horizontale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote horizontale la droite d’équation y = b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = b). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b :
    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-p-exo1-1
  • Asymptote oblique
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote oblique la droite d’équation y = ax + b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 :
    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-p-exo1-3

Ici, on a :

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f_1(x) = 1 : on se trouve dans le cas \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b, avec b = 1.
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~f_1(x) = 0 : on se trouve dans le cas \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = b, avec b = 0 ;

Donc on peut écrire :

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f_1(x) = 1 donc la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C}_1 en +\infty ;
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~f_1(x) = 0 donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe \mathcal{C}_1 en -\infty .

Question 2

Démontrer que, pour tout réel x, f_1(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}.

Réflexe :

Lorsque l’on vous demande de prouver qu’une fraction peut être écrite autrement, vous devez penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par un même facteur.

Autrement dit, la question que vous devez vous poser ici est : « Par quoi dois-je multiplier « en haut et en bas » \dfrac{1}{1 + e^{-x}} pour obtenir \dfrac{e^x}{1 + e^x} ? ».

Au numérateur, on a 1 et on souhaite obtenir e^x. Donc il semble assez logique de multiplier le numérateur et le dénominateur par e^x. Essayons pour voir :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f_1(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}} = \dfrac{e^x \times 1}{e^x(1 + e^{-x})} = \dfrac{e^x}{e^x + 1} = \dfrac{e^x}{1 + e^x}.

Et voilà le travail ! Reste à savoir à quoi sert cette question… Peut-être à répondre à la question 3 ?


Question 3

On appelle f_{1} la fonction dérivée de f_1 sur \mathbb{R}. Calculer, pour tout réel x, f_{1}.
En déduire les variations de la fonction f_1 sur \mathbb{R}.

Personnellement, étant donné que l’énoncé nous a demandé de prouver que la fonction f_1 s’écrivait sous la forme \dfrac{e^x}{1 + e^x} à la question précédente, je me suis dit que j’allais calculer f_{1} en partant de cette expression.

Il s’agit donc de calculer la dérivée d’un quotient de fonctions. Une seule formule doit vous venir en tête :

\left(\dfrac{u}{v}\right)

  • x \mapsto e^x joue le rôle de la fonction u ;
  • x \mapsto 1 + e^x joue le rôle de la fonction v.

Sachant que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, (e^x)

le calcul de la dérivée est relativement aisé :

D’après la question précédente, pour tout x \in \mathbb{R}, f_1(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x} donc :
f_{1}

Avec une telle dérivée, déterminer les variations de la fonction f_1 sur \mathbb{R} est extrêmement simple ! En effet, vous savez depuis la classe de Première S que :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
  • si f est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I ;
  • si f est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Or, concernant le numérateur de f_{1} :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^x ~\textgreater ~0

et quant au dénominateur, il s’agit du carré d’une expression strictement positive, donc forcément strictement positif d’où :

Pour tout x \in \mathbb{R}, f_{1} donc f_1 est strictement croissante sur \mathbb{R}.
Aurait-on obtenu le même résultat sur le fait que f_1 soit strictement croissante si on avait calculé la dérivée de f_1 à partir de son expression « originale » \dfrac{1}{1 + e^{-x}} ?

La réponse est oui ! Je vous invite d’ailleurs à le faire pour vous entraîner. Vous verrez que l’on obtient ainsi une expression de la dérivée dont on déduit tout aussi aisément qu’elle est strictement positive et donc que f_1 est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Ce que cela veut surtout dire, c’est que la raison d’exister de la question 2 n’était pas la question 3 comme j’ai pu le croire au début… mais la question 4 !


Question 4

On définit le nombre I = \int_0^1 f_1(x) ~\mathrm{d}x.
Montrer que I = ln~\left(\dfrac{1 + e}{2}\right). Donner une interprétation graphique de I.

C’est parti pour un calcul d’intégrale !

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :
  • u, n \in \mathbb{N}^*, dont la primitive est de la forme \dfrac{1}{n + 1}u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  • \dfrac{u, dont la primitive est de la forme -\dfrac{1}{u} + k, k \in \mathbb{R}
  • \dfrac{u, dont la primitive est de la forme -\dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k, k \in \mathbb{R}
  • \dfrac{u, dont la primitive est de la forme 2\sqrt{u} + k, k \in \mathbb{R}
  • \dfrac{u, dont la primitive est de la forme ln~u + k, k \in \mathbb{R}
  • u, dont la primitive est de la forme e^{u} + k, k \in \mathbb{R}

C’est ici que l’utilité de la question 2 apparaît. En effet, puisque f_1(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}, quelle forme reconnaissez-vous ?

f_1 est de la forme \dfrac{u avec la fonction x \mapsto 1 + e^x dans le rôle de u, non ?

Exactement ! Vous remarquerez que si la question 2 ne nous avait pas demandé de prouver que f_1(x) s’écrivait sous la forme \dfrac{e^x}{1 + e^x}, nous n’aurions reconnu aucune forme et nous n’aurions donc pas été capables de déterminer une primitive de f_1 !

Cela donne donc :

D’après la question 2., pour tout x \in \mathbb{R}, f_1(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}.
 
Donc, une primitive de f_1 est la fonction x \mapsto ln~(1 + e^x) d’où :
I = \int_0^1 f_1(x) ~\mathrm{d}x = [ln~(1 + e^x)]_0^1 = ln~(1 + e^1) - ln~(1 + e^0) = ln~(1 + e) - ln~(2)

Et là, une formule « phare » de la fonction logarithme népérien doit immédiatement vous venir à l’esprit :

ln~\left(\dfrac{a}{b}\right) = ln~a - ln~b

On peut donc compléter le calcul de la façon suivante :

... = ln~\left(\dfrac{1 + e}{2}\right).

Quant à l’interprétation graphique de I, il s’agit d’une question de cours :

\int_{a}^{b} f(x)\,dx est interprétée comme l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b :
Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-an-exo4-3
Dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

Ici, cela donne :

Donc l’aire du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}_1, représentative de la fonction f_1, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = 1 vaut ln~\left(\dfrac{1 + e}{2}\right).

Partie B

Dans cette partie, on choisit k = -1 et on souhaite tracer la courbe \mathcal{C}_{-1} représentant la fonction f_{-1}.
Pour tout réel x, on appelle P le point de C_1 d’abscisse x et M le point de C_{-1} d’abscisse x.
On note K le milieu du segment [MP].

Question 1

Montrer que, pour tout réel x, f_1(x)+ f_{-1}(x) = 1.

Simple calcul pour débuter cette partie (ça se complique après…) :

f_1(x)+ f_{-1}(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}} + \dfrac{1}{1 + e^{x}}

Là, je vais vous rappeler ce que vous disait sans doute votre enseignant(e) de primaire :

Pour additionner des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

Appliquons ce conseil avisé :

... = \dfrac{1 + e^{x} + 1 + e^{-x}}{(1 + e^{-x})(1 + e^{x})} = \dfrac{2 + e^{x} + e^{-x}}{1 + e^x + e^{-x} + 1} = \dfrac{2 + e^{x} + e^{-x}}{2 + e^x + e^{-x}} = 1

Question 2

En déduire que le point K appartient à la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}.

Personnellement, un schéma pour bien se représenter la situation ne me semble pas de trop :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-li-exo3-1

J’y ai représenté :

  • les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_{-1} ;
  • le point P d’abscisse x et appartenant à \mathcal{C}_1 ;
  • le point M d’abscisse x et appartenant à \mathcal{C}_{-1} ;
  • le point K, milieu du segment [MP].

Il nous est demandé de montrer que le point K appartient à la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}. Comme vous pouvez le voir sur le schéma, cela revient à montrer que l’ordonnée du point K vaut \dfrac{1}{2}.

Or :

Soit A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points de l’espace.
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées \left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right).

Ici, cela donne donc :

K est le milieu du segment [MP] donc son ordonnée vaut :
y_K = \dfrac{y_M + y_P}{2}
Euh… mais je ne connais pas y_M et y_P, si ?

Ah si si ! C’est juste que vous ne savez pas que vous les connaissez :

Soit A(x_A ; y_A) un point de l’espace et \mathcal{C}_f la courbe représentative d’une fonction f.
A appartient à \mathcal{C}_f si et seulement si f(x_A) = y_A.

Ici, cela donne :

  • P \in \mathcal{C}_1 donc y_P = f_1(x_P) = f_1(x) ;
  • M \in \mathcal{C}_{-1} donc y_M = f_{-1}(x_M) = f_{-1}(x).

On peut donc poursuivre les calculs de la façon suivante :

... = \dfrac{f_{-1}(x) + f_1(x)}{2}

Or, d’après la question 1., on a f_{-1}(x) + f_1(x) = 1 donc cela donne :

... = \dfrac{1}{2}

D’où la conclusion, puisque l’ordonnée de K vaut \dfrac{1}{2} :

Donc K appartient à la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}.

Question 3

Tracer la courbe \mathcal{C}_{-1} sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie.

Alors là, c’est le moment de bien faire savoir au correcteur que vous avez compris le but de la question précédente…

Ce que nous avons montré à la question précédente, c’est que, pour toute abscisse x, si on prend le point P correspondant de \mathcal{C}_1 et le point M correspondant de \mathcal{C}_{-1}, alors le milieu du segment [MP] se trouve sur la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}. Cela veut dire une chose qu’il convient de mentionner sur la copie :

D’après la question précédente, pour toute abscisse x, si on prend le point P correspondant de \mathcal{C}_1 et le point M correspondant de \mathcal{C}_{-1}, alors le milieu du segment [MP] se trouve sur la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}.
 
Ainsi, les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_{-1} sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}.

Donc, pour tracer la courbe \mathcal{C}_{-1}, il suffit de tracer la courbe symétrique de \mathcal{C}_{1} par rapport à la droite d’équation y = \dfrac{1}{2} :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-li-exo3-2

Question 4

En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_{-1}, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

C’est parti pour cette question pas facile du tout !

Représentons le domaine en question sur un schéma. C’est le domaine rouge translucide sur la figure ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-li-exo3-3

L’aire du domaine considéré, il faut la voir comme la soustraction :

  • de l’aire située sous la courbe \mathcal{C}_1 entre les droites d’équation y = 0 et y = 1 ;
  • par l’aire située sous la courbe \mathcal{C}_{-1} entre les droites d’équation y = 0 et y = 1.

Autrement dit :

L’aire du domaine considéré vaut :
\int_0^1 f_1(x) ~\mathrm{d}x - \int_0^1 f_{-1}(x) ~\mathrm{d}x = \int_0^1 (f_1(x) - f_{-1}(x)) ~\mathrm{d}x
Hum… Autant une primitive de f_1, je connais déjà, autant une primitive de f_{-1}, j’ai beau chercher, je ne trouve pas !

C’est normal ! C’est fait exprès pour que vous cherchiez une autre porte de sortie !

Il faut bien comprendre l’esprit de l’énoncé : après vous avoir fait étudier la fonction f_1, l’énoncé vous a amené à être capable de tracer la courbe représentative de f_{-1} « facilement », à partir de la courbe représentative de f_1 (il suffisait de tracer la courbe symétrique par rapport à la droite d’équation y = \dfrac{1}{2}).

Eh bien là, c’est le même esprit : on cherche à vous faire calculer cette intégrale en vous appuyant sur f_1 uniquement !

Vous devez donc vous demander : « Qu’est-ce qui relie f_1 à f_{-1} ?

Ah mais oui ! D’après la question B. 1., pour tout réel x, f_1(x) + f_{-1}(x) = 1 !

Exactement ! Cela nous permet d’écrire que :

Or, d’après la question B. 1., pour tout réel x, f_1(x) + f_{-1}(x) = 1 donc f_{-1}(x) = 1 - f_1(x) d’où :
\int_0^1 f_1(x) ~\mathrm{d}x - \int_0^1 f_{-1}(x) ~\mathrm{d}x = \int_0^1 (f_1(x) - (1 - f_1(x))) ~\mathrm{d}x = \int_0^1 (2f_1(x) - 1) ~\mathrm{d}x

Et là, les calculs deviennent aisés :

... = 2\int_0^1 f_1(x)~\mathrm{d}x - \int_0^1 1 ~\mathrm{d}x = 2[ln~(1 + e^x)]_0^1 - [x]_0^1 = 2[ln~(1 + e^1) - ln~(1 + e^0)] - (1 - 0) = 2[ln~(1 + e) - ln~2] - 1 = 2~ln~\left(\dfrac{1 + e}{2}\right) - 1

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Affirmation 1

Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction f_k est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1.

Si la représentation graphique de la fonction f_k est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1, que cela veut-il dire sur la fonction f_k ?

Cela veut dire que la fonction f_k est comprise entre  0 et 1 et donc que, pour tout réel x, 0 ~\textless f_k(x) ~\textless 1 non ?

Exactement ! En général, le plus facile est de partir d’un encadrement de départ et d’arriver, par opérations successives, à l’encadrement demandé.

Sauf qu’ici, il n’y a aucun encadrement de départ à tirer de l’énoncé.

Bah… Comment on fait alors si on n’a rien pour commencer ?

Il va falloir s’y prendre autrement (pour une fois). En fait, il faut voir cela comme si on nous demandait de prouver deux choses :

  • d’abord que la fonction f_k est strictement positive sur \mathbb{R} (0 ~\textless ~f_k(x)) ;
  • d’abord que la fonction f_k est strictement inférieure à 1 sur \mathbb{R} (f_k(x) ~\textless ~1).

f_k est strictement positive sur \mathbb{R} (0 ~\textless ~f_k(x))

Pour résoudre cette question, il faut savoir que :

L’exponentielle est une fonction strictement positive : pour tout x \in \mathbb{R}, e^{x} ~\textgreater ~0

f_k étant l’inverse de la fonction x \mapsto 1 + e^{-kx}, il faut d’abord commencer par cette dernière :

Montrons que pour tout réel k, f_k est strictement positive sur \mathbb{R}.
Pour tout réel x et pour tout réel k, e^{-kx} ~\textgreater ~0 donc 1 + e^{-kx} ~\textgreater ~0.

Or :

  • L’inverse d’un nombre strictement positif est strictement positif.
  • L’inverse d’un nombre strictement négatif est strictement négatif.

Cela donne :

D’où \dfrac{1}{1 + e^{-kx}} ~\textgreater ~0 comme inverse d’un nombre strictement positif soit f_k(x) ~\textgreater ~0.

f_k est strictement inférieure à 1 sur \mathbb{R} (f_k(x) ~\textless ~1)

Alors, on commence également par mentionner que « exponentielle de n’importe quoi », c’est toujours positif :

Montrons que f_k est strictement inférieure à 1 sur \mathbb{R}.
Pour tous réels k et x, e^{-kx} ~\textgreater ~0.

Mais cette fois-ci, on va ensuite enchaîner différentes inégalités pour arriver à \dfrac{1}{1 + e^{-kx}}.

Commençons donc par ajouter 1 « des deux côtés de l’inégalité » :

1 + e^{-kx} ~\textgreater ~1

Puis passons à l’inverse, toujours « des deux côtés ». Pour cela, je rappelle que :

Soit a et b deux réels non nuls :

  • Si a et b sont tous deux de même signe, il y a inversion de l’ordre par passage à l’inverse ;
  • Si a et b sont de signes différents, il y a conservation de l’ordre par passage à l’inverse.

Ici, 1 et 1 + e^{-kx} sont tous les deux strictement positifs, donc de même signe d’où l’ordre est inversé :

\dfrac{1}{1 + e^{-kx}} ~\textless ~\dfrac{1}{1}

soit :

\dfrac{1}{1 + e^{-kx}} ~\textless ~1
f_k(x) ~\textless ~1

Entre nous, la ligne :

\dfrac{1}{1 + e^{-kx}} ~\textless ~\dfrac{1}{1}

on peut s’en passer, hein ! C’était juste pour vous montrer que l’on passait à l’inverse des deux côtés.

Il ne reste plus qu’à conclure :

Donc, pour tous réels k et x, 0 ~\textless ~f_k(x) ~\textless ~1 d’où la représentation graphique de la fonction f_k est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1 : l’affirmation est vraie.

Affirmation 2

Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction f_k est strictement croissante.

Le fait que l’on vous pose la question « quelle que soit la valeur du réel k » ne doit pas vous perturber. Il s’agit simplement d’étudier les variations de la fonction \dfrac{1}{1 + e^{-kx}}k doit être vu comme un nombre comme un autre (entendez par là qu’à la place de -kx, on aurait très bien pu mettre -2x, -4.3x, …, la démarche à adopter est toujours la même).

Et donc, que fait-on pour étudier les variations d’une fonction ?

On calcule sa dérivée…

Exactement !

Soit k un réel quelconque.
f_k
…puis on étudie son signe !

Tout à fait ! Je rappelle néanmoins une petite astuce :

Lors de l’étude des signes d’une fonction, il convient toujours de repérer le facteur qui reste strictement positif sur l’intervalle de définition de cette fonction afin de ne pas avoir à en tenir compte dans le tableau de signes.

Ici, on peut en effet remarquer que :

Pour tous réels x et k, \dfrac{e^{-kx}}{(1 + e^{-kx})^2} est strictement positif sur \mathbb{R} donc le signe de f_k ne dépend que du signe de k.

On en déduit que :

Ainsi :
  • si k est strictement positif, f_k est strictement positif sur \mathbb{R} donc f_k est strictement croissante sur \mathbb{R} ;
  • si k est nul, f_k est nul sur \mathbb{R} donc f_k est constante sur \mathbb{R} ;
  • si k est strictement négatif, f_k est strictement négatif sur \mathbb{R} donc f_k est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

Or, l’énoncé affirmait que f_k était strictement croissante quelle que soit la valeur du réel k :

L’affirmation est donc fausse.

Affirmation 3

Pour tout réel k \geq 10, f_k\left(\dfrac{1}{2}\right) \geq 0,99.

Ici, on vous demande de propose une inégalité sur la fonction f_k à partir d’une inégalité sur le réel k. Dans ce cas-là, vous devez penser à essayer de partir de l’inégalité qui concerne k et arriver, par inégalités successives, à l’inégalité qui concerne f_k.

Pour cela, il faut partir des éléments qui sont les plus « proches » de k, et ajouter ensuite les éléments « plus éloignés ». Nous allons donc :

  • multiplier k par -\dfrac{1}{2} ;
  • puis appliquer la fonction exponentielle ;
  • puis ajouter 1 ;
  • et enfin passer à l’inverse.
k \geq 10
 
-\dfrac{1}{2}k \leq -\dfrac{1}{2} \times 10
 
-\dfrac{1}{2}k \leq -5
 
e^{-\dfrac{1}{2}k} \leq e^{-5} car la fonction exponentielle est croissante sur \mathbb{R}
 
Pourquoi as-tu rajouté « car la fonction exponentielle est croissante sur \mathbb{R} » ?

Bonne question ! A cette ligne-là, on a appliqué la fonction exponentielle à la double-inégalité. Or, rien ne nous permet a priori de conserver le sens des inégalités. En effet, qu’est-ce qui nous dit que c’est pas plutôt e^{-\dfrac{1}{2}k} \geq e^{-5} qu’il faut écrire ?

Eh bien la réponse, c’est que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}. En effet :

Soient a et b deux réels appartenant à l’intervalle I.

Soit f une fonction croissante (respectivement strictement croissante) sur I.
a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) \leq f(b) (respectivement a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) ~\textless ~f(b))
Soit f une fonction décroissante (respectivement strictement décroissante) sur I.
a ~\textless ~b \Rightarrow f(a) \geq f(b) (respectivement a ~\textgreater ~b \Rightarrow f(a) ~\textgreater ~f(b))

Autrement dit :

Le sens des inégalités est conservé si on applique une fonction croissante. Il est inversé si on applique une fonction décroissante.

De plus, pour conserver le caractère strict des inégalités, il faut que la fonction appliquée soit strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante) sur l’intervalle considéré.

Poursuivons :

1 + e^{-\dfrac{1}{2}k} \leq 1 + e^{-5}
 
\dfrac{1}{1 + e^{-\dfrac{1}{2}k}} \geq \dfrac{1}{1 + e^{-5}} par passage à l’inverse
f_k(x) \geq \dfrac{1}{1 + e^{-5}}
Et comment on fait apparaître 0,99 alors ?

Voyons combien fait \dfrac{1}{1 + e^{-5}} à la calculatrice :

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 2013-li-exo3-4

Donc f_k(x) est plus grand que \dfrac{1}{1 + e^{-5}}, qui est lui-même plus grand que 0,99 donc f_k(x) est plus grand que 0,99, ce qui nous permet de conclure :

Or, \dfrac{1}{1 + e^{-5}} = 0,993 à 10^{-3} près donc \dfrac{1}{1 + e^{-5}} ~\textgreater ~0,99 d’où f_k(x) \geq 0,99 pour k \geq 10 : l’affirmation est vraie.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3.


Annexe

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 3 Représentation graphique C1 de la fonction f1

Représentation graphique \mathcal{C}_1 de la fonction f_1

Exprimez vous!