Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl

Enoncé

On considère la suite numérique (v_n) définie pour tout entier naturel n par \begin{cases}v_0 = 1 \\v_{n+1} = \dfrac{9}{6 - v_n}\end{cases}.

Partie A

Question 1

On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang  0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-1

Avant de pouvoir déterminer quel algorithme est le bon et pourquoi les deux autres sont faux, il faut vous demander : « Si j’avais à construire tout seul un algorithme qui permet d’afficher ce que souhaite l’énoncé, comment ferai-je ? ».

  1. Personnellement, la première chose à laquelle je pense, c’est de déclarer deux variables :
    • la première variable, v, va contenir les différents termes de la suite. Comme (v_n) est une suite réelle, v va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel. Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
    • la seconde variable, n, va contenir le rang de la suite demandé par l’utilisateur. Le rang étant un entier naturel, n va contenir un entier naturel donc il doit être défini comme un entier naturel.

    On commencerait donc l’algorithme de la façon suivante :

    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-2

    Il ne manque pas une variable là ? Les trois algorithmes font figurer une variable i et tu n’en parles pas…

    Je n’en parle pas tout de suite parce que, à ce stade de la réflexion, je n’ai aucune raison de déclarer une variable i. J’en parlerai après, lorsque la réflexion que nous sommes en train de mener nous amènera à déclarer i.

  2. On passe ensuite à l’initialisation des variables qui ont été créées à l’étape 1. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? » :
    • l’algorithme doit permettre d’afficher tous les termes de la suite, du rang  0 au rang n, « pour un entier naturel n donné » : il faut comprendre par là que la variable n doit être initialisée avec une valeur saisie par l’utilisateur. D’où l’instruction « Lire n » qui signifie que l’algorithme attend que l’utilisateur saisisse une valeur et que c’est cette valeur qui va être stockée dans n ;
    • quant à v, puisqu’elle contient les valeurs de la suite, elle doit bien sûr être initialisée avec la première valeur de la suite, à savoir 1.

    Complétons donc l’algorithme que nous sommes en train de construire :

    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-3

  3. Passons maintenant à la phase de traitement.

    Ce que l’on veut, c’est :

    • afficher v_0 puis calculer v_1 ;
    • afficher v_1, puis calculer v_2 ;
    • afficher v_{n-1}, puis calculer v_n ;
    • et enfin, afficher v_n ;

    A l’exception de la dernière ligne (« et enfin, afficher v_n »), les instructions sont à chaque fois les mêmes : afficher v_{i-1} puis calculer v_ii varie entre 1 et n.

    Une structure est particulièrement adaptée pour dérouler les mêmes instructions entre deux « bornes » bien définies (ici, 1 et n) : il s’agit de la boucle « Pour ». Néanmoins, comme vous pouvez le voir, elle nécessite la mise en place d’un « compteur » i, qui est automatiquement incrémenté à chaque passage dans la boucle. On va donc devoir déclarer une variable supplémentaire, la variable i, et mettre en place la boucle « Pour » :

    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-4

    Reste à savoir quelle(s) instruction(s) doit (doivent) figurer dans cette boucle.

    Comme on l’a dit, il s’agit d’afficher v_{i-1} puis de calculer v_i. Or, au moment où on entre dans la boucle « Pour » et que i vaut donc 1, quelle variable contient v_0 ?

    C’est la variable v qui contient v_0 à ce moment-là, non ?

    Exactement, et ce, grâce à l’instruction « v prend la valeur 1 ». Donc, pour afficher v_{i-1}, il suffit d’afficher v :

    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-5

    Ensuite, à partir de v_{i-1}, on veut calculer v_i. Comment est-ce qu’à partir d’un terme donné, j’obtiens le suivant ?

    Il suffit d’appliquer la relation de récurrence indiquée dans l’énoncé, non ?

    Exactement : v_{i+1} = \dfrac{9}{6 - v_i}, ce qui revient au même que v_{i} = \dfrac{9}{6 - v_{i-1}}
    Or, qui contient la valeur de v_{i-1} dans l’algorithme ?

    v !

    Donc, v_{i} s’écrit de la façon suivante en fonction des variables : v_{i} = \dfrac{9}{6 - v}
    D’où, si v contient la valeur du terme de rang i - 1, pour remplacer sa valeur par le terme de rang suivant, il suffit de lui affecter la valeur correspondant à \dfrac{9}{6 - v} :

    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-6

    Mais ce n’est pas fini ! La boucle a permis de traiter les instructions ci-dessous…

    • afficher v_0 puis calculer v_1 ;
    • afficher v_1, puis calculer v_2 ;
    • afficher v_{n-1}, puis calculer v_n ;

    …mais a laissé sur le carreau l’instruction « afficher v_n » ! Il faut donc ajouter une instruction « dédiée » en dehors de la boucle.

    « Oui mais laquelle ? » me direz-vous ! Eh bien, lors du dernier passage dans la boucle, on a affiché v_{n-1} et on a calculé v_n, valeur que l’on a stockée dans la variable v. Donc, à la sortie de la boucle, la variable v vaut…

    v_n !

    Du coup, pour afficher v_n, il suffit…

    …d’afficher v !

    Vous avez tout compris ! Cela nous permet de finir l’algorithme :

    Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl 2013-li-exo4-7

Maintenant que l’on a compris quel algorithme on devrait mettre en place pour afficher les données souhaitées par l’énoncé, on peut plus aisément déterminer ce qui ne va pas dans deux des algorithmes proposés.

En ce qui concerne le premier algorithme :

L’algorithme n°1 affiche le contenu de la variable v uniquement à la sortie de la boucle « Pour ». Donc seul v_n sera affiché.

Quant au deuxième algorithme :

L’algorithme n°2 réinitialise la variable v avec la valeur 1 à chaque passage dans la boucle. L’algorithme affichera donc n fois « 1 ».

La conclusion s’impose alors d’elle-même :

C’est l’algorithme n°3 qui est le bon.

Question 2

Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :

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Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :

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Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (v_n) ?

Conjecturer le comportement d’une suite, c’est faire des hypothèses sur :

  • son sens de variation (croissante, décroissante ou « oscillante ») ;
  • son éventuelle convergence (auquel cas, il faut préciser la limite) ou divergence (vers +\infty ou -\infty).

Ici, cela donne :

La suite (u_n) semble croissante et converger vers 2,97.

Question 3

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~v_n ~\textless ~3.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~v_n ~\textless ~3.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’encadrement « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Initialisation
v_0 = 1 donc 0 ~\textless ~v_0 ~\textless ~3 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que 0 ~\textless ~v_k ~\textless ~3. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que 0 ~\textless ~v_{k+1} ~\textless ~3.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la première solution et partir de l’hypothèse de récurrence faisant intervenir u_k pour faire apparaître u_{k+1} par encadrements successifs :

D’après l’hypothèse de récurrence, on a 0 ~\textless ~v_k ~\textless ~3. On en déduit :

0 ~\textgreater ~-v_k ~\textgreater ~-3
 
6 - 0 ~\textgreater ~6 - v_k ~\textgreater ~6 - 3
 
6 ~\textgreater ~6 - v_k ~\textgreater ~3

Pour continuer, il va falloir passer à l’inverse. Et pour faire cela correctement, il faut savoir que :

Soit a et b deux réels non nuls :

  • Si a et b sont tous deux de même signe, il y a inversion de l’ordre par passage à l’inverse ;
  • Si a et b sont de signes différents, il y a conservation de l’ordre par passage à l’inverse.

Ici, on manipule des quantités qui sont toutes positives, donc toutes de même signe. Du coup, chacune des inégalités de l’encadrement est conservée par passage à l’inverse :

\dfrac{1}{6} ~\textless ~\dfrac{1}{6 - v_k} ~\textless ~\dfrac{1}{3} par passage à l’inverse

Continuons :

\dfrac{9}{6} ~\textless ~\dfrac{9}{6 - v_k} ~\textless ~\dfrac{9}{3}
\dfrac{3}{2} ~\textless ~\dfrac{9}{6 - v_k} ~\textless ~3
\dfrac{3}{2} ~\textless ~v_{k+1} ~\textless ~3

Pour conclure, il faut remarquer que :

Or, 0 ~\textless ~\dfrac{3}{2}

D’où :

donc 0 ~\textless ~\dfrac{3}{2} ~\textless ~v_{k+1} ~\textless ~3 d’où 0 ~\textless ~v_{k+1} ~\textless ~3.
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~v_{k} ~\textless ~3.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, v_{n+1} - v_n =\dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n}.

La suite (v_n) est-elle monotone ?

Commençons par le calcul de v_{n+1} - v_n :

v_{n+1} - v_n = \dfrac{9}{6 - v_n} - v_n

Réflexe : comme pour tout calcul qui comporte des fractions, on met au même dénominateur…

... = \dfrac{9 - v_n(6 - v_n)}{6 - v_n}

…puis on développe le numérateur obtenu :

... = \dfrac{9 - 6v_n + v_n^2}{6 - v_n}

Et là, en gardant à l’esprit que l’on cherche à obtenir (3 - v_n)^2 au numérateur, ce que nous venons d’écrire doit faire « tilt ! » dans votre esprit ! Petit indice : ça a la forme de quelquechose que vous avez vu au collège…

Hmm… 9 - 6v_n + v_n^2 ne serait pas de la forme a^2 - 2ab + b^2 par hasard ?

Exactement ! Avec :

  • 3 dans le rôle de a ;
  • v_n dans le rôle de b.

D’où, sachant que a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2, on en déduit 9 - 6v_n + v_n^2 = (3 - v_n)^2 ! On obtient alors ce que l’on souhaitait :

... = \dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n}

Passons maintenant à la monotonie de la suite (v_n) :

Une suite est dite « monotone » si et seulement si elle est :
  • soit croissante ;
  • soit décroissante.

Ainsi, pour étudier la « monotonie » d’une suite, il y a une seule chose à savoir :

Soit (u_n) une suite numérique.

  • (u_n) est croissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\geq ~0
  • (u_n) est décroissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\leq ~0

Si les inégalités sont strictes, la suite est dite respectivement « strictement croissante » et « strictement décroissante ».

On vient de calculer v_{n+1} - v_n. Etudions donc le signe du résultat.

Le signe du numérateur ne pose aucune difficulté en tant que nombre au carré :

Pour tout n entier naturel, (3 - v_n)^2 \geq 0.

Pour le signe du dénominateur en revanche, un peu plus de réflexion est nécessaire.

La question que vous devez vous poser est : « que sais-je sur le signe de v_n ? »

Je sais que, pour tout entier naturel, 0 ~\textless v_n ~\textless 3.

Tout à fait. Ce qui m’intéresse surtout ici, c’est que v_n ~\textless 3 :

D’après la question précédente, pour tout n entier naturel, v_n ~\textless ~3.

On en déduit :

-v_n ~\textgreater ~-3
6 - v_n ~\textgreater ~6 - 3
6 - v_n ~\textgreater ~3

Bien sûr, puisque 6 - v_n ~\textgreater ~3, alors 6 - v_n ~\textgreater ~0. On peut donc écrire :

Donc 6 - v_n ~\textgreater ~0 d’où v_{n+1} - v_n \geq 0.

D’où la conclusion :

D’où la suite (v_n) est croissante.

c. Démontrer que la suite (v_n) est convergente.

Simple question de cours (ultra-classique) pour voir si vous connaissez le théorème suivant :

Toute suite croissante et majorée converge.

Ici, on a :

  • la suite (v_n) est croissante ;
  • elle est majorée par 3 (c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, v_n \leq 3).

Donc :

La suite (v_n) est croissante et majorée donc elle converge.

A noter que le théorème que nous venons de citer existe également dans sa « version décroissante » :

Toute suite décroissante et minorée converge.

Partie B

On considère la suite (w_n) définie pour tout n entier naturel par w_n =\dfrac{1}{v_n - 3}.

Question 1

Démontrer que (w_n) est une suite arithmétique de raison -\dfrac{1}{3}.

Alors, avant de commencer, juste une remarque : les 3 questions de cette partie B sont ultra ultra ultra ultra classiques !

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est arithmétique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (w_n) est une suite arithmétique, il suffit de montrer que w_{n+1} - w_n = r, où r est une constante qui ne dépend pas de n.

Calculons donc w_{n+1} - w_n :

w_{n+1} - w_n = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} - \dfrac{1}{v_{n} - 3}

Pour une fois, je ne vais pas mettre les deux fractions au même dénominateur…

Ah bon ? N’est-ce pas un réflexe à avoir lorsque l’on doit effectuer un calcul qui contient des fractions ?

Si ! Et je l’ai même appliqué lorsque j’ai réfléchi à la question mais ce réflexe ne m’a pas permis de m’en sortir avec ce calcul… Il faut avoir un certain esprit critique. Un « réflexe » est un bon « outil » à connaître. Mais cela ne veut pas dire que son utilisation marche à tous les coups !

Ici, je vais donc simplement remplacer v_{n+1} par son expression en fonction de v_n :

... = \dfrac{1}{\dfrac{9}{6 - v_n} - 3} - \dfrac{1}{v_n - 3}

On voit alors que le dénominateur de la première fraction contient lui-même une fraction. Personnellement, j’ai toujours trouvé une telle situation peu commode.

Dans ce cas, je choisis souvent de multiplier « en haut et en bas » la fraction concernée par le dénominateur de la « sous-fraction » qu’elle contient :

... = \dfrac{6 - v_n}{9 - 3(6 - v_n)} - \dfrac{1}{v_n - 3} = \dfrac{6 - v_n}{9 - 18 + 3v_n} - \dfrac{1}{v_n - 3} = \dfrac{6 - v_n}{-9 + 3v_n} - \dfrac{1}{v_n - 3}

On peut alors remarquer que le dénominateur de la première fraction peut être factorisé par 3 :

... = \dfrac{6 - v_n}{3(v_n - 3)} - \dfrac{1}{v_n - 3}

Maintenant, il est temps de mettre les deux fractions au même dénominateur. Cela nous permettra de finaliser le calcul :

... = \dfrac{6 - v_n - 3}{3(v_n - 3)} = \dfrac{3 - v_n}{3(v_n - 3)} = \dfrac{-(v_n - 3)}{3(v_n - 3)} = -\dfrac{1}{3}

D’où la conclusion :

Donc (w_n) est une suite arithmétique de raison -\dfrac{1}{3}.

Question 2

En déduire l’expression de (w_n), puis celle de (v_n) en fonction de n.

Etant donné que la suite (w_n) est arithmétique de raison r, il est facile d’en donner une expression en fonction de n. En effet, votre cours vous indique que :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Autrement dit, w_n = w_0 + nr mais on pourrait également écrire w_n = w_1 + (n - 1)r ou encore w_n = w_2 + (n - 2)r etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer w_n en fonction de son terme initial, ici w_0 (car la suite (w_n) est définie pour n entier naturel). Donc on peut écrire :

D’après la question précédente, (w_n) est une suite arithmétique de raison -\dfrac{1}{3} donc on a w_n = w_0 + n \times \left(-\dfrac{1}{3}\right) = w_0 - \dfrac{1}{3}n.
Or, d’après l’énoncé, w_n = \dfrac{1}{v_n - 3} donc w_0 = \dfrac{1}{v_0 - 3} = \dfrac{1}{1 - 3} = -\dfrac{1}{2} d’où w_n = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}n = \dfrac{-3 - 2n}{6}.

Partons maintenant de l’expression de w_n en fonction de v_n et tirons-en l’expression de v_n :

Pour tout entier naturel n,

w_n = \dfrac{1}{v_n - 3}
 

\Leftrightarrow v_n - 3 = \dfrac{1}{w_n}
 
\Leftrightarrow v_n - 3 = \dfrac{6}{-3 - 2n}
 
\Leftrightarrow v_n = \dfrac{6}{-3 - 2n} + 3


Question 3

Déterminer la limite de la suite (v_n).

Aucune difficulté particulière pour cette dernière question.

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~-3 - 2n = -\infty donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\dfrac{6}{-3 - 2n} = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = 3.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Liban Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!