Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1

Enoncé

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x + 2)e^{-x}. On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

Question 1 – Etude de la fonction f

a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe \mathcal{C} avec les axes du repère.

Pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe \mathcal{C} représentative d’une fonction f avec les axes du repère, il suffit de se souvenir que :

  • Le point d’intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0;f(0)).
  • Le point d’intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des abscisses a pour coordonnées (a;0)a est la solution de l’équation f(x) = 0.

Pour l’intersection avec l’axe des ordonnées, cela est donc aisé si on sait que :

e^{0} = 1
Intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des ordonnées
f(0) = (0 + 2)e^{-0} = 2 donc le point d’intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0;2).

Pour l’intersection avec l’axe des abscisses, c’est plus compliqué puisqu’il faut résoudre l’équation f(x) = 0 :

Intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des abscisses
f(x) = 0 \Leftrightarrow (x + 2)e^{-x} = 0

Or :

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

Ainsi, il faut poursuivre le système d’équivalences de la façon suivante :

... \Leftrightarrow x + 2 = 0 ou e^{-x} = 0.
Hum… mais e^{-x}, ça ne vaut jamais  0 , si ?

Exactement !

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{x} ~\textgreater ~0 et e^{-x} ~\textgreater ~0.

Donc e^{-x} = 0 disparaît des équivalences :

... \Leftrightarrow x + 2 = 0

\Leftrightarrow x = -2

On peut alors conclure :

Donc le point d’intersection de la courbe \mathcal{C} avec l’axe des abscisses a pour coordonnées (-2;0).

b. Étudier les limites de la fonction f en -\infty et en +\infty. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe \mathcal{C}.

Vous devez connaître par coeur que :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~e^{-x} = +\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{-x} = 0
  • Limite de f en -\infty

Aucune difficulté particulière ici :

\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~(x + 2) = -\infty \\\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~e^{-x} = +\infty\end{cases}

Or :

  • (+\infty) \times (+\infty) = +\infty
  • (+\infty) \times (-\infty) = -\infty
  • (-\infty) \times (+\infty) = -\infty
  • (-\infty) \times (-\infty) = +\infty

Donc on peut écrire :

Donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = -\infty.
  • Limite de f en +\infty
Trop facile, je fais comme en -\infty :
\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~(x + 2) = +\infty \\\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{-x} = 0\end{cases} donc, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~(x + 2)e^{-x} = ... euh…

Egal rien du tout malheureusement ! Retenez bien que :

« 0 \times \infty » (quel que soit le signe de l’infini) est une forme indéterminée.
Ah zut, on est bloqué alors ?

Non, il suffit juste de s’y prendre autrement :

Dès que l’on se retrouve face à une forme indéterminée lors du calcul d’une limite faisant apparaître les fonctions exponentielle ou logarithme népérien, il faut se tourner vers les limites dites de « croissances comparées ».

Pour rappel, les limites dites « de croissances comparées » sont les suivantes :

Pour tout entier naturel n non nul,

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x^n} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~xe^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{x}{e^{x}} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}~x^nln~x = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x^ne^x = 0

En l’occurrence ici, en développant (x + 2)e^{-x}, on va pouvoir se servir de la limite \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~xe^{-x} = 0 :

(x + 2)e^{-x} = xe^{-x} + 2e^{-x}
Or,
\begin{cases}\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~xe^{-x} = 0 ~\text{par croissances comparees}\\\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~2e^{-x} = 0\end{cases}
Donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~xe^{-x} + 2e^{-x} = 0 d’où \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = 0.
OK et ça donne quoi comme asymptotes alors ?

Déduire les asymptotes une fois qu’on a calculé les limites d’une fonction est assez simple. Il suffit de se souvenir que :

  • Asymptote verticale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d’équation x = a si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty ou \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = -\infty. Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-2
  • Asymptote horizontale
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote horizontale la droite d’équation y = b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = b). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = b :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-1
  • Asymptote oblique
    La courbe \mathcal{C}_f représentative de la fonction f admet pour asymptote oblique la droite d’équation y = ax + b en +\infty (respectivement en -\infty) si et seulement si \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 (respectivement \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0). Dans la figure ci-dessous, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~[f(x) - (ax + b)] = 0 :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-3

Ici, on a \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = 0 donc on peut écrire :

Donc, la droite d’équation y = 0, c’est-à-dire l’axe des abscisses, est asymptote horizontale à \mathcal{C}_f en +\infty.

c. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.

Question ultra-classique ! Vous devez savoir y répondre les mains dans les poches !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.
Pour tout x \in \mathbb{R},
f.

Vous remarquerez que j’ai pris la peine de mettre f sous forme factorisée. C’est un réflexe que vous devez constamment garder à l’esprit :

Lorsque l’on calcule la dérivée d’une fonction, on doit systématiquement mettre la dérivée sous forme factorisée.
Ah bon ? Pourquoi ?

Pour pouvoir étudier le signe de la dérivée ensuite !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f dépend d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, le signe de f dépend effectivement d’une expression plus simple. En effet, vous devez savoir que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-x} ~\textgreater ~0.

Cela vous permet d’écrire que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-x} ~\textgreater ~0 d’où, pour tout x \in \mathbb{R}, le signe de f ne dépend que du signe de (-x - 1).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u : les racines trouvées seront alors également les racines de f.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x) = 0 ».

Calculons donc les racines de la fonction u : x \mapsto -x - 1 :

-x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Puisque -1 est racine de u : x \mapsto -x - 1, -1 est racine de f. Calculons donc f(-1) :

f(-1) = (-1 + 2)e^{1} = e

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, il n’y a pas de valeur interdite.

Quant aux limites de f aux bornes de son ensemble de définition, elles ont été calculées à la question précédente. Pour rappel :

  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = -\infty
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = 0

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors f est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors f est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & -1 & & +\infty \\\hline -x - 1 & & + & 0 & - & \\\hline f

Question 2 – Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe

On note \mathcal{D} le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe \mathcal{C} et les droites d’équation x = 0 et x = 1. On approche l’aire du domaine \mathcal{D} en calculant une somme d’aires de rectangles.

a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :

  • Sur l’intervalle \left[0 ; \dfrac{1}{4}\right], on construit un rectangle de hauteur f(0)
  • Sur l’intervalle \left[\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right], on construit un rectangle de hauteur f(\dfrac{1}{4})
  • Sur l’intervalle \left[\dfrac{1}{2} ; \dfrac{3}{4}\right], on construit un rectangle de hauteur f(\dfrac{1}{2})
  • Sur l’intervalle \left[\dfrac{3}{4} ; 1\right], on construit un rectangle de hauteur f(\dfrac{3}{4})

Cette construction est illustrée ci-dessous.

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-4

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine \mathcal{D} en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-5

Donner une valeur approchée à 10^{-3} près du résultat affiché par cet algorithme.

Ohlala, je ne comprends rien à cet algorithme ! Je n’ai donc aucune idée du résultat qu’il affiche !

Faux ! Ce n’est pas parce que vous ne comprenez rien à cet algorithme (et même aux algorithmes en général :p) que vous ne pouvez pas répondre au moins à cette question. L’énoncé vous dit que :

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine \mathcal{D} en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents

Donc, ce qu’il affiche, c’est la somme des aires des rectangles de la figure proposée dans l’énoncé. Or, cette somme, vous savez la calculer vous même en ignorant complètement l’algorithme :
Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-6

Le résultat affiché par cet algorithme est :
\dfrac{1}{4}f(0) + \dfrac{1}{4}f(\dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{4}f(\dfrac{2}{4}) + \dfrac{1}{4}f(\dfrac{3}{4}) = \dfrac{1}{4}\left[(0 + 2)e^{-0}\right] + \dfrac{1}{4}\left[\left(\dfrac{1}{4} + 2\right)e^{-\dfrac{1}{4}}\right] + \dfrac{1}{4}\left[\left(\dfrac{2}{4} + 2\right)e^{-\dfrac{2}{4}}\right] + \dfrac{1}{4}\left[\left(\dfrac{3}{4} + 2\right)e^{-\dfrac{3}{4}}\right] \simeq 1,642.

b. Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0 ; 1] en N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a.
Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.

Je ne sais pas pour vous, mais moi personnellement, quand je vois la question, je me dis : « OK je vais faire un schéma pour voir ce qui se passe ». Faisons donc un schéma de la situation si on découpe l’intervalle [0 ; 1] non plus en 4 mais en N intervalles de même longueur :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1 2013-p-exo1-7

Muni de ce schéma, on peut voir que :

  • l’aire du premier rectangle vaut \dfrac{1}{N}f(0) ;
  • l’aire du deuxième rectangle vaut \dfrac{1}{N}f\left(\dfrac{1}{N}\right) ;
  • l’aire du troisième rectangle vaut \dfrac{1}{N}f\left(\dfrac{2}{N}\right) ;
  • …………………………………………………….
  • l’aire du N-ième rectangle vaut \dfrac{1}{N}f\left(\dfrac{N-1}{N}\right).

Ainsi, pour avoir la somme des aires de N rectangles, il suffit d’additionner les termes \dfrac{1}{N}f\left(\dfrac{k}{N}\right), pour k allant de  0 à N - 1. Bien sûr, pour que l’algorithme fonctionne, il faut lui donner la valeur de N donc N est une variable :

  • à déclarer (1) ;
  • à initialiser par une valeur qu’aura choisi l’opérateur (c’est-à-dire celui qui exécute l’algorithme) (2) .

Il faut donc modifier l’algorithme de la façon suivante :

Variables k est un nombre entier
S est un nombre réel
N est un nombre entier (1)
Initialisation Affecter à S la valeur  0
Lire N (2)
Traitement Pour k variant de  0 à N - 1

Affecter à S la valeur S + \dfrac{1}{N}f\left(\dfrac{k}{N}\right)

Fin Pour

Sortie Afficher S
Pourquoi mets-tu « Lire N » et pas « Saisir N » ?

Bonne question ! En algorithmique, lorsque l’on souhaite que l’opérateur saisisse une valeur, cela revient à demander à l’ordinateur de « lire » la valeur qu’il aura saisie.


Question 3 – Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par :

g(x) = (-x - 3)e^{-x}

On admet que g est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.

a. Calculer l’aire \mathcal{A} du domaine \mathcal{D}, exprimée en unités d’aire.

Votre cours vous dit que :

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a;b] et \mathcal{C} sa courbe représentative. L’intégrale de a à b de la fonction f, notée \int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_a^b (où F est une primitive de f sur [a;b]), est l’aire du domaine situé sous la courbe \mathcal{C}.

Ici, \mathcal{D} est l’air sous la courbe \mathcal{C} entre les droites d’équation x = 0 et x = 1 donc il suffit de calculer l’intégrale de f entre  0 et 1. Cela est aisé puisque l’énoncé nous fournit une primitive de f, à savoir g. Donc on peut écrire :

\mathcal{A} = \int_{0}^{1} f(x)\,dx = [g(x)]_0^1 = (-1 - 3)e^{-1} - (-0 - 3)e^{-0} = -\dfrac{4}{e} + 3

b. Donner une valeur approchée à 10^{-3} près de l’erreur commise en remplaçant \mathcal{A} par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à-dire l’écart entre ces deux valeurs.

Calculer « l’écart » entre deux valeurs, c’est les soustraire l’une à l’autre :

Une valeur approchée à 10^{-3} près de l’erreur commise en remplaçant \mathcal{A} par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a est :
-\dfrac{4}{e} + 3 - 1,642 \simeq -0.114

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 1.

Commentaires

  1. Paul PEREZ a écrit:

    Bonjour Monsieur,
    J’aide du mieux que je peux, ma petite fille qui passera son BAC S en juin.
    Votre travail est en tout point excellent. Tant, du point de vue de l’approche pédagogique, que de par sa présentation aussi singulière qu’exceptionnelle ! Je tiens à vous en féliciter et bien sûr vous remercier de nous faire partager, gratuitement qui plus est, votre don réel pour les mathématiques.
    Peut-être, vous faudra-t-il modifier dans ce corrigé (POLYNÉSIE – JUIN 2013 – EXERCICE 1) les images de l’identité remarquable (a+b)^2 qui s’affichent à la place d’un 0 pour parfaire votre remarquable boulot.
    Encore une fois merci pour votre générosité.
    Cordialement,
    Paul PEREZ

  2. admin a écrit:

    Bonjour,

    Merci beaucoup pour vos compliments qui me font vraiment chaud au coeur. Cela fait toujours plaisir de voir que son travail est utile et apprécié.

    Merci également pour avoir remonté l’erreur qui s’affiche. C’est normalement corrigé maintenant.

    Bon courage à vous et à votre fille pour sa préparation du bac !

  3. Paul PEREZ a écrit:

    Re bonjour,
    J’ai bien peur que l’image en question soit également présente d’autres exercices.
    Par exemple, ceux actuellement classés dans « Intégration » que nous révisons aujourd’hui.

    Bon courage à vous aussi…
    Paul PEREZ

    • admin a écrit:

      Bonjour,

      Merci pour la remontée de ce dysfonctionnement sur les autres exercices. Sauf oubli de ma part, c’est désormais corrigé dans tous les exercices.

      N’hésitez pas à poser également des questions en commentaires si vous le souhaitez. Cela me permettra d’en faire profiter tous ceux qui viennent sur ce site.

      A bientôt !

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