Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2

Enoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Question 1

Soit z_1 = \sqrt{6}e^{i\dfrac{\pi}{4}} et z_2 = \sqrt{2}e^{-i\dfrac{\pi}{3}}. La forme exponentielle de i\dfrac{z_1}{z_2} est :
a. \sqrt{3}e^{i\dfrac{19\pi}{12}}
b. \sqrt{12}e^{-i\dfrac{\pi}{12}}
c. \sqrt{3}e^{i\dfrac{7\pi}{12}}
d. \sqrt{3}e^{i\dfrac{13\pi}{12}}

Ici, on cherche à multiplier et à diviser des nombres complexes. Dans ce cas, vous devez garder à l’esprit que :

  • Pour multiplier et/ou diviser des nombres complexes, il vaut mieux d’abord les mettre sous forme exponentielle.
  • Pour additionner et/ou soustraire des nombres complexes, il vaut mieux d’abord les mettre sous forme algébrique.
Tu peux me rappeler ce que sont les formes algébrique et exponentielle stp ?

OK ! Petit rappel :

Soit z = a + ib. On note \rho et \theta respectivement son module et son argument.

  • Notation algébrique : z = a + ib
  • Notation trigonométrique : z = \rho (cos~\theta + i sin~\theta)
  • Notation exponentielle : z = \rho e^{i\theta}

sachant que la forme trigonométrique est très facile à déduire de la forme exponentielle et vice-versa puisque :

Par définition : e^{i\theta} = cos~\theta + i sin~\theta
Ah bah c’est cool ! Tous les nombres complexes que j’ai à manipuler ici sont déjà sous forme exponentielle !

…presque tous ! i aussi doit être converti sous forme algébrique ! Bon, je vous l’accorde, la forme algébrique de i, on la connaît tous par coeur :

i = e^{i\dfrac{\pi}{2}}

Donc le calcul est assez aisé :

i\dfrac{z_1}{z_2} = e^{i\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sqrt{6}e^{i\dfrac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\dfrac{\pi}{3}}} = \sqrt{3}e^{i\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)} = \sqrt{3}e^{i\left(\dfrac{6\pi + 3\pi + 4\pi}{12}\right)} = \sqrt{3}e^{i\dfrac{13\pi}{12}}

On peut donc répondre :

1. d.

Question 2

L’équation -z = \overline{z}, d’inconnue complexe z, admet :
a. une solution
b. deux solutions
c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite
d. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.

Nous avons ici une équation qui fait intervenir z et son conjugué. Or, le conjugué d’un nombre complexe se définit facilement par sa notation algébrique :

Si z = a + ib, alors \overline{z} = a - ib.

Faisons donc intervenir la notation algébrique de z et voyons ce qui se passe :

On pose z = a + ib, a, b réels.

L’équation donne :

-z = \overline{z} \Leftrightarrow -(a + ib) = a - ib

\Leftrightarrow -a -ib = a - ib
\Leftrightarrow -a = a
\Leftrightarrow 0 = 2a
\Leftrightarrow a = 0
Donc a = 0… et alors ?

Bonne question… Que peut-on donc bien en conclure ? Concluons d’abord sur l’ensemble des solutions :

Donc l’ensemble des solutions de l’équation est l’ensemble \left\{ib, b \in \mathbb{R} \right\}.

Autrement dit, donc l’ensemble des solutions est l’ensemble des imaginaires purs. Or, l’ensemble des imaginaires purs est infini donc les réponses a. et b. sont donc forcément fausses. De plus, je rappelle que :

Si on munit l’espace complexe d’un repère orthonormé :

  • les imaginaires purs se situent sur l’axe des ordonnées ;
  • les réels se situent sur l’axe des abscisses.

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation se situe sur une droite. Il faut donc répondre :

2. c.

Question 3

Dans un repère de l’espace, on considère les trois points A(1 ; 2 ; 3), B(-1 ; 5 ; 4) et C(-1 ; 0 ; 4). La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique :
a. \begin{cases}x = -2t - 1 \\y = 3t, ~t \in \mathbb{R} \\z = t + 4\end{cases}
b. \begin{cases}x = -1 \\y = 7t, ~t \in \mathbb{R} \\z = 7t + 4\end{cases}
c. \begin{cases}x = -1 - 2t \\y = 5 + 3t, ~t \in \mathbb{R} \\z = 4 + t\end{cases}
d. \begin{cases}x = 2t \\y = -3t, ~t \in \mathbb{R} \\z = -t\end{cases}

Déterminer l’équation paramétrique d’une droite parallèle à une droite (AB) donnée et passant par un point C donné est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser.

Pour amorcer la méthode, souvenez-vous que « qui dit parallèle, dit vecteur directeur » (et « qui dit perpendiculaire dit vecteur normal »).

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur directeur de la droite (AB).

Ici, comme on connaît les coordonnées respectives des points A et B, il suffit de calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-1-1;5-2;4-3)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-2;3;1)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Introduire un point M de coordonnées (x;y;z) appartenant à la droite cherchée et exprimer le fait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CM}} sont colinéaires.
Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{v}} sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{v}} = t\overrightarrow{\mathrm{u}}.

Ici, il faut donc écrire :

Soit M(x;y;z) appartenant à la droite cherchée. \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CM}} sont colinéaires donc il existe t \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{CM}} = t\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Traduire l’égalité vectorielle obtenue à l’étape deux à l’aide des coordonnées.

Pour cela, il faut donc calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{CM}} et t\overrightarrow{\mathrm{AB}} :

\overrightarrow{\mathrm{CM}}(x_M-x_C;y_M-y_C;z_M-z_C)
\overrightarrow{\mathrm{CM}}(x-(-1);y-0;z-4)
Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-p-exo2-1
t\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-2 \times t ; 3 \times t ; 1 \times t)
Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-p-exo2-2

puis se souvenir que :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.

Donc, ici, étant donné que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{CM}} et t\overrightarrow{\mathrm{AB}} sont égaux, on obtient donc :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-p-exo2-3

soit :

\begin{cases}x = -2t - 1 \\y = 3t \\z = t + 4\end{cases}

La bonne réponse est donc la réponse a. :

3. a.

Question 4

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan \mathcal{P} passant par le point D(-1 ; 2 ; 3) et de vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(3 ; -5 ; 1), et la droite \Delta de représentation paramétrique \begin{cases}x = t - 7 \\y = t + 3, ~t \in \mathbb{R} \\z = 2t + 5\end{cases}.
a. La droite \Delta est perpendiculaire au plan \mathcal{P}.
b. La droite \Delta est parallèle au plan \mathcal{P} et n’a pas de point commun avec le plan \mathcal{P}.
c. La droite \Delta et le plan \mathcal{P} sont sécants.
d. La droite \Delta est incluse dans le plan \mathcal{P}.

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe une démarche systématique pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

L’énoncé fournit lui-même un vecteur normal au plan \mathcal{P} :

\overrightarrow{\mathrm{n}}(3;-5;1) est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Par ailleurs, c’est bien sûr la droite \Delta, dont on dispose de sa représentation paramétrique, qui joue le rôle de \mathcal{D} dans cet exercice.

Il est aisé de déterminer un vecteur directeur d’une droite lorsque l’on dispose de sa représentation paramétrique. En effet :

Soit \mathcal{D} une droite de l’espace de représentation paramétrique \begin{cases}x = at + a.
Alors \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) est un vecteur directeur de \mathcal{D}.

Ici, on peut donc écrire :

La droite \Delta a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = t - 7 \\y = t + 3, ~t \in \mathbb{R} \\z = 2t + 5\end{cases} donc un vecteur directeur de la droite \Delta est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}(1;1;2).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (respectivement à \mathcal{P}) et choisi arbitrairement :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A appartient à \mathcal{P} (respectivement à \mathcal{D}). Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Pour rappel :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{u}} = 3 \times 1 + (-5) \times 1 + 1 \times 2 = 3 - 5 + 2 = 0.
Donc \Delta et \mathcal{P} sont parallèles.

Reste à déterminer s’ils sont strictement parallèles ou si \Delta est incluse dans \mathcal{P}. Pour cela, puisque l’énoncé nous fournit le point D qui appartient à \mathcal{P}, voyons s’il appartient à \Delta ou non. Pour cela, il faut d’abord déterminer le réel t tel que x_D vérifie la première équation de la représentation paramétrique.

De plus :
x_D = t - 7 \Leftrightarrow t = x_D + 7 \Leftrightarrow t = -1 + 7 \Leftrightarrow t = 6.

Maintenant que l’on a déterminé t, reste à voir si les deux autres coordonnées de D, y_D et z_D vérifient les deux autres équations de l’équation paramétrique :

  • si c’est le cas, alors D appartient à \Delta ;
  • si ce n’est le cas, alors D n’appartient pas à \Delta.
6 + 3 = 9 \neq y_D donc D n’appartient pas à \Delta.
Le point D ne vérifie pas la représentation paramétrique de \Delta donc D \notin \Delta d’où la droite \Delta et le plan \mathcal{P} sont strictement parallèles.

La réponse est donc la réponse b :

4. b.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2.

Exprimez vous!