Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3

Enoncé

Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux. L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :

30% de musique classique, 45% de variété, le reste étant du jazz.

Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :

  • les \dfrac{5}{6} des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité ;
  • les \dfrac{5}{9} des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les événements suivants :
C : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;
V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;
J : « Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;
H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;
S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».

Partie 1

Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction « lecture aléatoire ».
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

Question 1

Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?

Comme le suggère l’énoncé, construisons un arbre pondéré. Pour cela, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts

En lisant cela, on sait que notre arbre pondéré va tout d’abord contenir trois branches :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-1
30% de musique classique, 45% de variété, le reste étant du jazz

Maintenant, je peux indiquer les probabilités de chacune des trois branches de mon arbre :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-2
Hum… Je vois d’où viennent les probabilités 0.30 et 0.45 puisque ce sont celles qui sont marquées dans l’énoncé. En revanche, d’où vient la probabilité 0.25 ?

Bonne question. En fait, il faut se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Ici, cela donne donc que P(C) + P(V) + P(J) = 1 d’où P(J) = 1 - [P(C) + P(V)] = 1 - [0,30 + 0,45] = 1 - 0,75 = 0,25.

Continuons à exploiter l’énoncé pour compléter notre arbre de probabilités :

Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard.

Ainsi, pour chaque morceau de musique, après s’être demandé à quel genre il appartient, on peut se demander s’il a été encodé en haute qualité ou en qualité standard. Il faut donc faire partir deux branches à partir de chacun des trois noeuds définis plus haut :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-3

La fin de l’énoncé nous permet de renseigner quelques valeurs sur ces nouvelles branches :

On sait que :

  • les \dfrac{5}{6} des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité ;
  • les \dfrac{5}{9} des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On peut donc compléter l’arbre pondéré de la façon suivante :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-4
…et si on applique la règle que tu as indiquée plus haut (« La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1 »), on peut compléter deux valeurs de probabilités supplémentaires !

Exact :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-5

A ce stade, on ne peut pas compléter plus l’arbre pondéré. Cela nous permet néanmoins de répondre à la première question. Pour rappel, il s’agit de déterminer la probabilité qu’un morceau de musique pris au hasard soit un morceau de musique classique encodé en haute qualité. Autrement dit, il s’agit de calculer P(C \cap H).

Pour calculer cette probabilité, nous allons bien sûr exploiter l’arbre de probabilités que nous venons de construire. En effet, la probabilité d’une intersection est aisée à déterminer à partir d’un tel arbre :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-6

Donc :

La probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité vaut : P(C \cap H) = 0,30 \times \dfrac{5}{6} = 0,25.

Question 2

On sait que P(H) = \dfrac{13}{20}.

a. Les événements C et H sont-ils indépendants ?

Pour ceux qui ne s’en souviennent pas, je rappelle la définition de l’indépendance :

On dit que deux événements A et B sont indépendants si la probabilité pour que A soit réalisé n’est pas modifiée par le fait que B se soit produit ou non.
Autrement dit, P_B(A) = P_{\overline{B}}(A) = P(A).

Si on connaît la probabilité de deux événements ainsi que la probabilité de leur intersection, il est très facile de vérifier s’ils sont indépendants ou non. En effet :

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Ici, on connaît P(C), P(H) et P(C \cap H) donc on peut appliquer la règle ci-dessus :

P(C) \times P(H) = 0,30 \times \dfrac{13}{20} = 0,195. Or, P(C \cap H) = 0,25 donc P(C) \times P(H) \neq P(C \cap H) d’où les événements C et H ne sont pas indépendants.

b. Calculer P(J \cap H) et P_J(H).

Hum… J’aurais volontiers procédé en multipliant les probabilités du chemin violet (cf. figure ci-dessous) comme pour le calcul de P(C \cap H) mais il me manque une probabilité :
Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-7

Effectivement ! Il faut donc s’y prendre différemment…

La valeur de P(H) est donnée par l’énoncé. Or :

Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

Dans notre situation, trois chemins « mènent » à H :

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-8

Il faut donc écrire :

D’après l’arbre pondéré, on a P(H) = P(C \cap H) + P(V \cap H) + P(J \cap H).

Cela nous permet d’en déduire P(J \cap H) :

D’où P(J \cap H) = P(H) - [P(C \cap H) + P(V \cap H)] = \dfrac{13}{20} - \left[0,25 + 0,45 \times \dfrac{4}{9}\right] = 0,20.

Avec ce que nous venons de calculer, déterminer P_J(H) ne pose aucune difficulté si on sait que :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Ici, cela donne :

P_J(H) = \dfrac{P(J \cap H)}{P(J)} = \dfrac{0,20}{0,25} = 0,80.

Pour information, la probabilité P_J(H) correspond à la probabilité que nous avons noté « ? » dans l’arbre pondéré ci-dessus.


Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de son MP3, 60 morceaux de musique.

Question 1

Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.

C’est parti pour cette question de cours classique ! Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont F représente la fréquence constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.
L’énoncé ne mentionne à aucun moment le terme « fréquence »… Je vais avoir du mal à déterminer l’événement qui représente le « succès » !

C’est vrai qu’il ne mentionne pas le terme « fréquence », mais il mentionne le terme « proportion », c’est la même chose ! Or, on s’intéresse à la proportion de morceaux qui sont des morceaux de musique classique. Donc l’événement qui représente le succès est l’événement « le morceau écouté est un morceau de musique classique » :

Utiliser la fonctionnalité « lecture aléatoire » de son MP3 est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « le morceau écouté est un morceau de musique classique », de probabilité p = P(C) = 0,30 ou « le morceau écouté n’est pas un morceau de musique classique », de probabilité 1 - p = 1 - P(C) = 0,70. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « le morceau écouté est un morceau de musique classique ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on s’intéresse à échantillon de 60 morceaux de musique. Donc cela peut être assimilé à 60 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 60 et p = 0,30.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 60 \ge 30
  • np = 60 \times 0,30 = 18 \ge 5
  • n(1 - p) = 60 \times (1 - 0,30) = 42 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60 vaut I = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,184045 ; 0,415955].

Question 2

Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

Pour répondre, il suffit de retenir la chose suivante :

Si, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité annoncée pour les succès est considérée comme exacte. Sinon, elle est considérée comme inexacte.

Calculons donc la fréquence des succès dans l’échantillon prélevé :

Sur les 60 morceaux de musique, 12 étaient des morceaux de musique classique. Donc, la fréquence des succès vaut \dfrac{12}{60} = 0,20 \in I.

D’où la conclusion à cette partie :

Donc non, il n’y a pas lieu de penser que la fonction « lecture aléatoire » du MP3 de Thomas est défectueuse.

Partie 3

On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.

On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

On écoute un morceau musical au hasard.

Question 1

Donner une valeur approchée à 10^{-3} près de P(180 \le X \le 220).

L’annexe vous donne les valeurs de P(X \le b) pour b allant de 140 à 260. Donc, dans ce cas, la formule suivante doit immédiatement vous venir à l’esprit :

P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)

En s’appuyant sur l’annexe, cela donne :

P(180 \le X \le 220) = P(X \le 220) - P(X \le 180) = 0,841 - 0,159 = 0,682

Question 2

Donner une valeur approchée à 10^{-3} près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.

Ah, trop facile ! Il s’agit de calculer P(X ~\textgreater ~4) !

Euh… attention ! L’énoncé indique que :

On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes
Ah ouais, j’avais pas vu…

Donc il s’agit de calculer, non pas P(X ~\textgreater ~4) mais P(X ~\textgreater ~240).

Comme l’annexe vous donne P(X \le 240), vous devez immédiatement penser à la formule suivante :

P(X ~\textgreater ~b) = 1 - P(X \le b)

En s’appuyant sur l’annexe, cela donne cette fois-ci :

La probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes vaut :
P(X ~\textgreater ~240) = 1 - P(X \le 240) = 1 - 0,977 = 0,023

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3.


Annexe

X est une variable aléatoire normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.

Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 3 2013-p-exo3-9-annexe

Commentaires

  1. Riendutout a écrit:

    Je voulais juste vous remercier pour toutes ces explications détaillées. Je n’ai pas réellement eu de cours de maths cette année et c’est un véritable bonheur pour moi d’avoir trouvé ce merveilleux site web.
    Encore merci pour ce que vous faite

    • admin a écrit:

      Merci pour ce commentaire qui me motive vraiment pour continuer à construire ce site Web !

      Bon courage pour le bac !

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