Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 4 Obl

Enoncé

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = \dfrac{1}{2} et telle que pour tout entier naturel n,

u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}

Question 1

a. Calculer u_1 et u_2.

Première question classique : il s’agit de calculer les premiers termes de la suite :

u_{1} = \dfrac{3u_0}{1 + 2u_0} = \dfrac{3 \times \dfrac{1}{2}}{1 + 2 \times \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{2} = \dfrac{3}{4}
u_{2} = \dfrac{3u_1}{1 + 2u_1} = \dfrac{3 \times \dfrac{3}{4}}{1 + 2 \times \dfrac{3}{4}} = \dfrac{\dfrac{9}{4}}{1 + \dfrac{6}{4}} = \dfrac{\dfrac{9}{4}}{\dfrac{10}{4}} = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{9}{10}

b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~u_n.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Initialisation
u_0 = \dfrac{1}{2} ~\textgreater ~0 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que 0 ~\textless ~u_k. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que 0 ~\textless ~u_{k+1}.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la première solution et partir de l’hypothèse de récurrence faisant intervenir u_k pour faire apparaître u_{k+1} :

D’après l’hypothèse de récurrence, on a 0 ~\textless ~u_k. On en déduit donc :
0 ~\textless ~2u_k
0 ~\textless ~1 + 2u_k

Arrivé à ce stade, utilisons à nouveau l’hypothèse de récurrence :

Or, on rappelle que d’après l’hypothèse de récurrence, 0 ~\textless ~u_k donc 0 ~\textless ~3u_k d’où :
0 ~\textless ~\dfrac{3u_k}{1 + 2u_k} comme quotient de facteurs strictement positifs.

On peut alors conclure l’hérédité :

Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, 0 ~\textless ~u_n.

Question 2

On admet que pour tout entier naturel n, u_n ~\textless ~1.

a. Démontrer que la suite (u_n) est croissante.

Le cours nous indique que :

Soit (u_n) une suite numérique.

  • (u_n) est croissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\geq ~0
  • (u_n) est décroissante si et seulement si, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n ~\leq ~0

Si les inégalités sont strictes, la suite est dite respectivement « strictement croissante » et « strictement décroissante ».

Vous devez donc avoir le réflexe suivant :

Pour montrer qu’une suite (u_n) est croissante (respectivement strictement croissante), il faut calculer u_{n+1} - u_n montrer que le résultat est positif (respectivement strictement positif).

Calculons donc u_{n+1} - u_n :

Pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n} - u_n

Réflexe : on met tout au même dénominateur !

... = \dfrac{3u_n - u_n(1 + 2u_n)}{1 + 2u_n}

= \dfrac{3u_n - u_n - 2u_n^2}{1 + 2u_n}
= \dfrac{2u_n - 2u_n^2}{1 + 2u_n}
Hum… aucune idée si ce « truc » est positif ou pas…

Franchement, en l’état, moi non plus ! Par contre, quand je fais un calcul, j’ai toujours le réflexe de factoriser tout ce qui peut l’être :

... = \dfrac{2u_n(1 - u_n)}{1 + 2u_n}

Et là, le signe de u_{n+1} - u_n devient facile à déterminer :

  • d’après la question 1. b., pour tout entier naturel n, u_n ~\textgreater ~0. Donc on peut écrire :
     
    D’après la question 1. b., pour tout entier naturel n, u_n ~\textgreater ~0, donc 2u_n ~\textgreater ~0 et 1 + 2u_n ~\textgreater ~0 d’où \dfrac{2u_n}{1 + 2u_n} ~\textgreater ~0 comme quotient de facteurs strictement positifs.
  • d’après l’énoncé, pour tout entier naturel n, u_n ~\textless ~1 donc on peut écrire :
     
    D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n, u_n ~\textless ~1, donc 1 - u_n ~\textgreater ~0 d’où \dfrac{2u_n}{1 + 2u_n} \times (1 - u_n) ~\textgreater ~0 comme produit de facteurs strictement positifs.

On peut donc conclure :

Donc u_{n+1} - u_n ~\textgreater ~0 d’où la suite u_n est strictement croissante.

b. Démontrer que la suite (u_n) converge.

*Ironie* Ah bah ça alors ! On ne s’attendait pas du tout à cette question ! :p

Comment sais-tu que cette question allait forcément tomber ?

Je le sais parce que je connais ce théorème :

Toute suite croissante et majorée converge.

Or, l’énoncé :

  • nous indique que, pour tout entier naturel n, u_n ~\textless ~1 ;
  • nous a fait prouver que la suite (u_n) est croissante.
Ah ouais ! Donc la suite (u_n) est croissante et majorée (par 1) donc elle converge !

Eh bah voilà ! Vous voyez que c’était facile :

D’après la question précédente, la suite (u_n) est croissante. De plus, d’après l’énoncé, pour tout entier naturel n, u_n ~\textless ~1, donc la suite (u_n) est majorée.
 
Donc la suite (u_n) converge.

Il est à noter que le théorème dont nous venons de nous servir existe aussi dans « version décroissante » :

Toute suite décroissante et minorée converge.

Question 3

Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}.

a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 3.

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (v_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.
 
q est la raison de la suite (v_n).

Calculons donc \dfrac{v_{n+1}}{v_n} :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{\dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}}}{\dfrac{u_n}{1 - u_n}} = \dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}} \times \dfrac{1 - u_n}{u_n} = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{1 - \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}} \times \dfrac{1 - u_n}{u_n} = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{\dfrac{1 + 2u_n - 3u_n}{1 + 2u_n}} \times \dfrac{1 - u_n}{u_n} = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1 + 2u_n}}{\dfrac{1 - u_n}{1 + 2u_n}} \times \dfrac{1 - u_n}{u_n} = \dfrac{3u_n}{1 + 2u_n} \times \dfrac{1 + 2u_n}{1 - u_n} \times \dfrac{1 - u_n}{u_n}

Arrivé là, on peut voir que les termes u_n, 1 + 2u_n et 1 - u_n se simplifient. On obtient alors :

... = 3.

On peut alors conclure :

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 3.

b. Exprimer pour tout entier naturel n, v_n en fonction de n.

Etant donné que la suite (v_n) est géométrique de raison q, il est facile d’en donner une expression en fonction de n. En effet, votre cours vous indique que :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Autrement dit, v_n = v_0 q^n mais on pourrait également écrire v_n = v_1 q^{n-1} ou encore v_n = v_2 q^{n-2} etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer v_n en fonction de son terme initial, ici v_0 (car la suite (v_n) est définie pour n entier naturel). Donc on peut écrire :

D’après la question précédente, (v_n) est une suite géométrique de raison 3 donc on a v_n = v_0 \times 3^n.
Or, d’après l’énoncé, v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n} donc v_0 = \dfrac{u_0}{1 - u_0} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 1 d’où v_n = 3^n.

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = \dfrac{3^n}{3^n + 1}

Partons de l’expression de v_n en fonction de u_n et tirons-en l’expression de u_n :

Pour tout entier naturel n,

v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}

 
\Leftrightarrow v_n(1 - u_n) = u_n
 
\Leftrightarrow v_n - v_nu_n = u_n
 
\Leftrightarrow v_n = u_n + v_nu_n
 
\Leftrightarrow v_n = u_n(1 + v_n)
 
\Leftrightarrow u_n = \dfrac{v_n}{1 + v_n}
 
\Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1 + 3^n}

d. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Alors, au numérateur, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~3^n = +\infty et au dénominateur, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~1 + 3^n = +\infty. L’infini sur l’infini, ça fait…

…ça fait rien du tout ! Mettez-vous dans la tête que :

\dfrac{\infty}{\infty} est une forme indéterminée, quels que soient les signes qui sont devant les \infty !

Et quand on tombe sur une forme indéterminée, ce n’est pas grave ! Il faut juste exprimer la fonction dont on cherche à déterminer la limite d’une manière différente.

Ici, « l’astuce » est de factoriser le dénominateur par 3^n :

Pour tout entier naturel n, u_n = \dfrac{3^n}{1 + 3^n} = \dfrac{3^n}{3^n\left(\dfrac{1}{3^n} + 1\right)} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{3^n} + 1}.
Or, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\dfrac{1}{3^n} = 0 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\dfrac{1}{3^n} + 1 = 1 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~u_n = 1.
Tout se passe bien parce que tu as pensé à factoriser par 3^n. Encore faut-il y penser !

C’est vrai. Mais, il y a un automatisme à avoir dont je suis sûr que votre professeur vous a déjà parlé :

Pour calculer la limite d’une fonction rationnelle (= quotient de polynômes), il faut factoriser par le terme de plus haut degré.

Ici, ce n’est pas une fonction rationnelle (car 3^n n’est PAS un polynôme) mais je me suis dit : « Pourquoi pas essayer d’appliquer la même astuce ? ». Voilà comment j’y ai pensé !

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!