Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 1

Enoncé

Partie 1

On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps.
Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :

h(t) = \dfrac{a}{1 + be^{-0,04t}}

a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Réflexe : on cherche deux inconnues, a et b. Il faut donc à notre disposition deux équations (si on cherchait 3 inconnues, il nous faudrait trois équations, etc etc…). Et ces équations, on va les obtenir en traduisant deux éléments d’information de l’énoncé :

On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
  • initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m

Si on traduit le début de la phrase en termes mathématiques, sachant que c’est la fonction h qui représente la hauteur du plant à t jours, cela donne :

D’après l’énoncé, initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m donc h(0) = 0,1.

Voyons ce que cela donne en fonction de a et b en remplaçant h par son expression :

h(0) = 0,1
 

\Leftrightarrow \dfrac{a}{1 + be^{-0,04 \times 0}} = 0,1

Je rappelle que :

e^0 = 1

Donc on a :

... \Leftrightarrow \dfrac{a}{1 + b} = 0,1

C’est tout ce que l’on peut tirer du premier élément d’information dont nous disposons. Passons au suivant.

  • sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m

Autrement dit, même si on pouvait attendre un temps infini, la hauteur du plan ne dépassera pas 2 mètres. Vous voyez où je veux en venir ?

L’énoncé nous indique la limite de h lorsque t tend vers +\infty non ?

Exactement :

D’après l’énoncé, la hauteur du plant tend vers une hauteur limite de deux mètres donc \lim\limits_{\substack{t \to +\infty }}~h(t) = 2

Comme précédemment, voyons ce que cela donne en fonction de a et b. Pour cela, il faut calculer la limite de h en +\infty en fonction de a et b :

Or \lim\limits_{\substack{t \to +\infty }}~h(t) = \lim\limits_{\substack{t \to +\infty }}~\dfrac{a}{1 + be^{-0,04t}}

Le cours va nous être à nouveau utile ici :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~e^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}} = 0

On en déduit la limite de h en +\infty en fonction de a et b :

... = a.

On a donc \lim\limits_{\substack{t \to +\infty }}~h(t) = a. Or, on sait aussi que \lim\limits_{\substack{t \to +\infty }}~h(t) = 2. On peut donc écrire :

Or, \lim\limits_{\substack{t \to +\infty }}~h(t) = 2 donc a = 2.
  • Détermination (de a et) de b

On a bien trouvé deux équations qui font intervenir nos deux inconnues :

\begin{cases}a = 2 \\\\\dfrac{a}{1 + b} = 0,1\end{cases}

Normalement, il faudrait à la fois déterminer a et b. Ici, on a de la chance : en cherchant à déterminer nos deux équations, l’une d’entre elles nous donne directement la valeur de a. Il ne reste donc plus qu’à déterminer b :

\dfrac{a}{1 + b} = 0,1
 

\Leftrightarrow \dfrac{a}{0,1} = 1 + b
 
\Leftrightarrow \dfrac{a}{0,1} - 1 = b
 
\Leftrightarrow \dfrac{2}{0,1} - 1 = b
 
\Leftrightarrow b = 19

Ouf ! C’est enfin terminé !

Pas tout à fait ! Le but de la question, ce n’est pas juste de trouver les valeurs de a et b. C’est surtout de déterminer h (même si on ne vous le dit pas explicitement dans la question). Vous devez donc obligatoirement conclure sur la fonction h :

Donc, h(t) = \dfrac{2}{1 + 19e^{-0,04t}}.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 250] par

f(t) = \dfrac{2}{1 + 19e^{-0,04t}}

Question 1

Déterminer f en fonction de t (f désignant la fonction dérivée de la fonction f). En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].

Tiens donc, la fonction f correspond exactement à la fonction h que nous avons déterminé à la question précédente ! Cela ne doit pas du tout vous étonner. Cela est parfaitement logique : après avoir déterminé la fonction qui représente la hauteur des plants, il est maintenant temps de l’étudier. Par conséquent, si après avoir travaillé sur la partie 1, la fonction h que vous trouvez ne correspond pas à la fonction f proposée par l’énoncé, vous devez sérieusement vous interroger…

Calculons f. La fonction f est de la forme k \times \dfrac{1}{u} avec :

  • k = 2
  • u : t \mapsto 1 + 19e^{-0,04t}

Donc f va être de la forme k \times \left(-\dfrac{u :

Pour tout t \in [0 ; 250],
f

Avec une telle dérivée, déterminer les variations de la fonction f_1 sur \mathbb{R} est extrêmement simple ! En effet, vous savez depuis la classe de Première S que :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
  • si f est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I ;
  • si f est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Le numérateur de f est la multiplication de la fonction exponentielle par un coefficient strictement positif. Or :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^x ~\textgreater ~0

donc le numérateur est strictement positif.

Quant au dénominateur, il s’agit du carré d’une expression strictement positive, donc forcément strictement positif d’où :

Pour tout x \in [0 ; 250], f donc f est strictement croissante sur [0 ; 250].

Question 2

Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.

Il s’agit ici de déterminer le réel t tel que f(t) = 1,5 :

f(t) = 1,5

 
\Leftrightarrow \dfrac{2}{1 + 19e^{-0,04t}} = 1,5
 
\Leftrightarrow \dfrac{2}{1,5} = 1 + 19e^{-0,04t}
 
\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{2}{1,5} - 1}{19} = e^{-0,04t}
 

Pour se débarrasser de l’exponentielle, il faut appliquer le logarithme népérien :

\Leftrightarrow ln~\left(\dfrac{\dfrac{2}{1,5} - 1}{19}\right) = ln~e^{-0,04t}
 

En effet :

Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x

Cela donne :

\Leftrightarrow ln~\left(\dfrac{\dfrac{2}{1,5} - 1}{19}\right) = -0,04t
 
\Leftrightarrow t = \dfrac{ln~\left(\dfrac{\dfrac{2}{1,5} - 1}{19}\right)}{-0,04}
 
\Leftrightarrow t = 101,076
 

On peut alors conclure :

Il faut donc 101,076 jours au plant de maïs pour qu’il atteigne une hauteur de 1,5 m.

Question 3

a. Vérifier que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 250] on a f(t) = \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t} + 19}.
Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 250] par F(t) = 50ln~(e^{0,04t} + 19) est une primitive de la fonction f.

Réflexe :

Lorsque l’on vous demande de prouver qu’une fraction peut être écrite autrement, vous devez penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par un même facteur.

Autrement dit, la question que vous devez vous poser ici est : « Par quoi dois-je multiplier « en haut et en bas » \dfrac{2}{1 + 19e^{-0,04t}} pour obtenir \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t} + 19} ? ».

Au numérateur, on a 2 et on souhaite obtenir 2e^{0,04t}. Donc il semble assez logique de multiplier le numérateur et le dénominateur par 2e^{0,04t}. Essayons pour voir :

Pour tout t \in [0 ; 250],
f(t) = \dfrac{2}{1 + 19e^{-0,04t}} = \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t}(1 + 19e^{-0,04t})} = \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t} + 19e^{0,04t} \times e^{-0,04t}}

Or :

Soit a et b deux réels.
e^a \times e^b = e^{a + b}

Cela nous permet de continuer les calculs au dénominateur :

... = \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t} + 19e^{(0,04t - 0,04t)}} = \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t} + 19e^0} = \dfrac{2e^{0,04t}}{e^{0,04t} + 19}

Sachez que vous n’avez pas besoin de détailler à ce point la ligne de calcul ci-dessus si vous vous sentez à l’aise avec l’exponentielle. Je ne l’ai fait que pour que vous compreniez bien la démarche si vous n’avez pas encore l’habitude de manier la fonction exponentielle.

Montrons maintenant que la fonction F proposée par l’énoncé est une primitive de la fonction f.

Il faut calculer une primitive de f et voir qu’elle correspond à F, non ?

Euh… non ! Si l’énoncé nous propose une primitive F, il suffit de dériver la fonction proposée et retomber sur f ! Il est en général plus facile de dériver une fonction que d’en déterminer une primitive. Profitons-en !

Petit rappel de cours qui nous sera utile :

(ln~u)

Ici, c’est la fonction t \mapsto e^{0,04t} + 19 qui joue le rôle de u. Donc, pour tout t \in [0 ; 250], u d’où :

Pour tout t \in [0 ; 250], F
Donc F est bien une primitive de la fonction f.

b. Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100].
En donner une valeur approchée à 10^{-2} près et interpréter ce résultat.

Ceci est une question de cours : on cherche à savoir si vous connaissez la définition de la valeur moyenne :

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a ; b], avec a ~\textless ~b.
La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est le réel \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Pour calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100], il suffit d’appliquer cette définition avec a = 50 et b = 100 :

La valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100] vaut :
\dfrac{1}{100 - 50}\int_{50}^{100} f(x)\,dx = \dfrac{1}{50}[F(x)]_{50}^{100}

= \dfrac{1}{50}[50ln~(e^{0,04 \times 100} + 19) - 50ln~(e^{0,04 \times 50} + 19)]
 
= \dfrac{1}{50} \times 50 [ln~(e^{4} + 19) - ln~(e^{2} + 19)]
 
= ln~(e^{4} + 19) - ln~(e^{2} + 19)
 
\simeq 1,03

On en déduit l’interprétation suivante :

Entre 50 et 100 jours, le plant a une hauteur moyenne de 1,03 mètres.

Question 4

On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f.
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t.
En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Ce que l’on cherche ici, c’est la valeur de t pour laquelle f est maximale.

Or, graphiquement, f correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative \mathcal{C}_f de f en t donc, la vitesse de croissance du plant de maïs est maximale en t si la pente de la tangente à \mathcal{C}_f en t est maximale.

Pour vous aider à voir cela, j’ai représenté ci-dessous les tangentes à \mathcal{C}_f pour t = 20, t = 80 et t = 140 :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 1 2013-po-exo1-3

Sur la figure ci-dessus par exemple, la pente de la tangente en t = 80 est supérieure à la pente de la tangente en t = 20, qui est elle-même supérieure à la pente de la tangente en t = 140. La question est : « pour quelle valeur de t a-t-on la tengente la plus « pentue » » ?

En fait, si vous essayez de tracer plusieurs tangentes, vous verrez que vous n’arriverez pas à obtenir une droite plus « pentue » que la tangente à \mathcal{C}_f en t = 80. Donc, la vitesse de croissance du plan est maximale en t = 80 :

La pente de la tangente à la courbe représentative de f est maximale en t= 80 donc la vitesse de croissance du plant est maximale à t = 80 jours.

Quant à trouver la taille du plant pour t = 80, il suffit de lire l’ordonnée du point d’abscisse t = 80 :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 1 2013-po-exo1-4

Le plant mesure alors 1,13 m.

Petite astuce : rien ne vous oblige à lire réellement l’ordonnée du point d’abscisse 80 hein ! Cette ordonnée vaut tout simplement f(80) donc vous pouvez très bien le calculer avec calculatrice et donner la réponse « mine de rien » comme si vous aviez lu la valeur à partir de l’annexe (je vous avoue que c’est ce que j’ai fait)… C’est ce qui s’appelle « gagner du temps » ! 😉

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 1.


Annexe

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 1

Exercice 1

Exprimez vous!