Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2

Enoncé

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t désignent des paramètres réels.

Le plan (P) a pour équation x - 2y + 3z + 5 = 0.
Le plan (S) a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = - 2 + t + 2t.
La droite (D) a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = -2 + t \\y = -t \\z = -1 - t\end{cases}.
On donne les points de l’espace M(-1 ; 2 ; 3) et N(1 ; -2 ; 9).

Question 1

Une représentation paramétrique du plan (P) est :
a.\begin{cases}x = t \\y = 1 - 2t \\z = -1 + 3t\end{cases}
b.\begin{cases}x = t + 2t
c.\begin{cases}x = t + t
d.\begin{cases}x = 1 + 2t + t

  • Une droite a une représentation paramétrique de la forme \begin{cases}x = x_A + ta \\y = y_A + tb, t \in \mathbb{R} \\z = z_A + tc\end{cases}.
  • Un plan a une représentation paramétrique de la forme \begin{cases}x = x_A + ta + t.

Compte-tenu du rappel ci-dessus, la proposition a. peut être éliminée directement : elle ne fait intervenir qu’un paramètre t, il s’agit donc de la représentation paramétrique d’une droite.

Déterminer la bonne représentation paramétrique du plan (P) parmi les trois propositions restantes est aisé. Il suffit de remplacer x, y et z par leurs expressions en fonction de t et t dans l’équation cartésienne de (P). Si l’équation cartésienne de (P) est vérifiée, alors la proposition est la bonne.

Essayons avec la proposition b. :

En remplaçant x, y et z par leurs expressions en fonction de t et t dans la proposition b., on obtient :
x - 2y + 3z + 5 = \underbrace{(t + 2t

= t + 2t

 

= 0

On obtient  0 donc l’équation cartésienne de (P) est vérifiée :

1. b.

Question 2

a. La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(-8 ; 3 ; 2).
b. La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
c. La droite (D) est une droite du plan (P).
d. La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.

La question ici est de savoir si vous savez déterminer l’intersection entre une droite et un plan :

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe une démarche systématique pour étudier l’intersection d’un plan et d’une droite. Commençons par l’intersection du plan \mathcal{P} avec la droite \mathcal{D} :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Pour déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P}, il faut savoir que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Un vecteur normal au plan \mathcal{P} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (a;b;c).

Ici, puisque le plan (P) admet pour équation cartésienne x - 2y + 3z + 5 = 0, cela donne :

\overrightarrow{\mathrm{n}}(1;-2;3) est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Quant à déterminer un vecteur de la droite (D) alors qu’on dispose de sa représentation paramétrique, il suffit de savoir que :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Ici, cela donne :

Puisque la droite (D) admet la représentation paramétrique \begin{cases}x = -2 + t \\y = -t~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = -1 - t \end{cases}, alors le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u_D}}(1;-1;-1) est un vecteur directeur de (D).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (respectivement à \mathcal{P}) et choisi arbitrairement :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A appartient à \mathcal{P} (respectivement à \mathcal{D}). Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Ici, on a :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{u}_D} = 1 \times 1 + (-2) \times (-1) + 3 \times (-1) = 1 + 2 - 3 = 0.
Donc (D) et (P) sont parallèles.

Reste à déterminer s’ils sont strictement parallèles ou si (D) est incluse dans (P).

Pour cela, il nous faut « avoir sous la main », soit un point de (P), soit un point de (D). Or, comme nous l’avons vu plus haut, disposer de l’équation paramétrique d’une droite permet de déterminer :

  • un vecteur normal à cette droite ;
  • un point appartenant à cette droite.

Déterminons donc un point appartenant à la droite \mathcal{D} :

La droite (D) admet la représentation paramétrique \begin{cases}x = -2 + t \\y = -t~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = -1 - t \end{cases} donc le point A de coordonnées (-2 ; 0 ; -1) appartient à \mathcal{D}.

Voyons alors si ce point A appartient à (P). Pour cela, votre cours vous dit que :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et M(x_M;y_M;z_M) un point de l’espace.
M \in \mathcal{P} si et seulement si ax_M + by_M + cz_M + d = 0.

Ici, il faut donc écrire :

x_A - 2y_A + 3z_A + 5 = -2 - 2 \times 0 + 3 \times (-1) + 5 = 0. Le point A vérifie l’équation cartésienne de (P) donc A \in (P) d’où la droite (D) est incluse dans le plan (P).

Autrement dit, (D) est une droite du plan (P) :

2. c.

Question 3

a. La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
b. La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
c. La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
d. La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.

Examinons la première proposition et voyons si (MN) et (D) sont orthogonales.

Regardez la figure ci-dessous. Les droites \mathcal{D} et \mathcal{D sont orthogonales :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-li-exo1-2

Que remarquez-vous sur les vecteurs directeurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u ?

Ils sont aussi orthogonaux, non ?

Tout à fait :

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Or :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{u sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si et seulement si xx.

Déterminons donc un vecteur directeur pour (MN) et pour (D).

  • Détermination d’un vecteur directeur de la droite (MN)

Déterminer un vecteur directeur pour une droite dont on connaît deux points M(-1 ; 2 ; 3) et N(1 ; -2 ; 9) est facile : il suffit de prendre le vecteur \overrightarrow{\mathrm{MN}} :

\overrightarrow{\mathrm{MN}}(x_N - x_M ; y_N - y_M ; z_N - z_M)
\overrightarrow{\mathrm{MN}}(1 - (-1) ; -2 - 2 ; 9 - 3)
\overrightarrow{\mathrm{MN}}(2 ; -4 ; 6)
Donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{MN}} de coordonnées (2 ; -4 ; 6) est un vecteur directeur de la droite (MN).

  • Détermination d’un vecteur directeur de la droite (D)

En principe, nous devrions déterminer un vecteur directeur de la droite (D) mais cela est a déjà été fait pour répondre à la question 2. donc on peut simplement faire remarquer que :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u_D}}(1;-1;-1) est un vecteur directeur de (D).

Il ne reste plus qu’à calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{MN}}.\overrightarrow{\mathrm{u_D}} :

\overrightarrow{\mathrm{MN}}.\overrightarrow{\mathrm{u_D}} = 2 \times 1 + (-4) \times (-1) + 6 \times (-1) = 2 + 4 - 6 = 0 donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MN}} et \overrightarrow{\mathrm{u_D}} sont orthogonaux d’où les droites (MN) et (D) sont orthogonales.

Donc la réponse à choisir est :

3. a.

Question 4

a. Les plans (P) et (S) sont parallèles.
b. La droite (\Delta) de représentation paramétrique \begin{cases}x = t \\y = -2 - t \\z = -3 - t\end{cases} est la droite d’intersection des plans (P) et (S).
c. Le point M appartient à l’intersection des plans (P) et (S).
d. Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.

Rappel :

Soient \mathcal{P} et \mathcal{P deux plans de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-an-exo1-1
  • soit leur intersection est une droite \mathcal{D} (\mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants suivant \mathcal{D}) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-an-exo1-2
  • soit leur intersection est un plan (\mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-an-exo1-3

Ce rappel étant fait, regardez la figure suivante qui représente deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P strictement parallèles avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n qui sont normaux respectivement à \mathcal{P} et à \mathcal{P :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2 2013-ce-exo2-1

Que remarquez-vous ?

\overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires, non ?

Exactement ! Ainsi, pour déterminer l’intersection de deux plans, il y a une méthode systématique que nous allons utiliser ici pour étudier l’intersection des plans (P) et (S) :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan (P) et un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n au plan (S).

Et ça, c’est super facile si vous connaissez une équation cartésienne de chacun des deux plans ! En effet, je rappelle ce que j’ai déjà rappelé ci-dessus :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} un vecteur de l’espace de coordonnées (a;b;c).

\overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P} si et seulement si \mathcal{P} a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Appliqué ici, cela donne :

Le plan (P) d’équation x - 2y + 3z + 5 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(1 ; -2 ; 3).
Eh mais ! On n’a pas l’équation cartésienne du plan (S) ! On n’a que sa représentation paramétrique !

Qu’à cela ne tienne ! Déterminons une équation cartésienne du plan (S) à partir de sa représentation paramétrique.

Pour déterminer l’équation cartésienne d’un plan à partir de sa représentation paramétrique, il faut :
  1. Déterminer t et t en fonction de x, y et z à partir de deux des trois équations de la représentation paramétrique ;
  2. remplacer t et t par leurs expressions en fonction de x, y et z dans la 3e équation de la représentation paramétrique : l’équation obtenue est l’équation cartésienne cherchée.

Vous l’aurez compris, l’idée est d’obtenir une équation sans t ni t. Il se trouve que dans le cas particulier de cet exercice, on va obtenir cette équation très rapidement, sans même passer par les deux étapes mentionnées ci-dessus :

\begin{cases}x = -2 + t + 2t

Comme vous pouvez le voir, en additionnant simplement les deux premières équations de la représentation paramétrique, on obtient directement une équation sans t ni t. Donc on peut immédiatement conclure sur une équation cartésienne du plan (S) :

Donc le plan (S) admet pour équation cartésienne x + y + 2 = 0.

On peut alors en déduire, comme pour le plan (P), un vecteur normal au plan (S) :

Un vecteur normal au plan (S) est donc le vecteur n de coordonnées (1 ; 1 ; 0).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer si \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires ou non. Pour cela, il faut poser un réel \lambda tel que \overrightarrow{\mathrm{n = \lambda\overrightarrow{\mathrm{n}} et résoudre l’équation vectorielle d’inconnue \lambda. Si :
  • l’équation vectorielle admet une solution, alors les deux vecteurs sont colinéaires ;
  • l’équation vectorielle n’admet pas de solution, alors les deux vecteurs sont non colinéaires.

Ici, cela donne :

\overrightarrow{\mathrm{n.

Bien sûr, \lambda ne peut pas avoir trois valeurs différentes en même temps donc le système n’admet pas de solution :

Le système d’équations d’inconnue \lambda n’admet pas de solution.

D’où la conclusion sur la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n :

Donc \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont non-colinéaires.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en fonction de la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n. Si ces deux vecteurs sont :

  • non colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants en une droite ;
  • colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{P} (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P, alors A appartient à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P, alors A n’appartient pas à \mathcal{P. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles.

Ici, on peut donc en déduire que :

D’où les plans (P) et (S) sont sécants.

Reste à déterminer précisément leur intersection :

Pour déterminer une représentation paramétrique de l’intersection entre deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P, il faut résoudre le système constitué des trois équations suivantes :

  1. une équation cartésienne de \mathcal{P} ;
  2. une équation cartésienne de \mathcal{P ;
  3. x = t ou y = t ou z = t (une des trois possibilités, au choix).

Dans cette question, la proposition b. propose x = t. Prenons donc en compte cela :

L’intersection des plans (P) et (S) est une droite caractérisée par :
\begin{cases}x = t \\x - 2y + 3z + 5 = 0~~~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\x + y + 2 = 0\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases}x = t \\y = -x - 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = \dfrac{1}{3}(-x + 2y - 5)\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x = t \\y = -t - 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = \dfrac{1}{3}(-t + 2(-t - 2) - 5)\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x = t \\y = -2 - t ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = \dfrac{1}{3}(-3t - 9)\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x = t \\y = -2 - t ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~, t \in \mathbb{R} \\z = -3 - t\end{cases}
Donc l’intersection des plans (P) et (S) est la droite (\Delta) de représentation paramétrique \begin{cases}x = t \\y = -2 - t, t \in \mathbb{R} \\z = -3 - t\end{cases}

On tombe très exactement sur la proposition b. :

4. b.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 2.

Exprimez vous!