Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl

Enoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
On note i le nombre complexe tel que i^2 = -1.
On considère le point A d’affixe z_A = 1 et le point B d’affixe z_B = i.
A tout point M d’affixe z_M = x + iy, avec x et y deux réels tels que y \neq 0, on associe le point M d’affixe z_{M.
On désigne par I le milieu du segment [AM].
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM (propriété 1) et que BM (propriété 2).

Question 1

Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend z_M = 2e^{-i\dfrac{\pi}{3}}.

a. Déterminer la forme algébrique de z_M.

Petit rappel :

Soit z = a + ib. On note \rho et \theta respectivement son module et son argument.

  • Notation algébrique : z = a + ib
  • Notation trigonométrique : z = \rho (cos~\theta + i sin~\theta)
  • Notation exponentielle : z = \rho e^{i\theta}

Déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe à partir de sa forme trigonométrique est une question simple si on sait que :

Pour tout \theta \in \mathbb{R}, e^{i\theta} = cos \theta + i sin \theta.

Ici, cela donne donc :

z_M = 2e^{-i\dfrac{\pi}{3}} = 2\left(cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + i sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)

En Terminale, il y a peu de choses qu’il faut apprendre « bêtement » par coeur, mais s’il devait y avoir une seule chose qui devait l’être, c’est bien la figure ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2013-po-exo3-1
Pour chaque angle qui figure sur ce schéma, son abscisse x correspond à la valeur du cosinus de cet angle tandis que son ordonnée y correspond à la valeur du sinus de cet angle.

On peut donc voir que :

  • cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}
  • sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Cela nous permet de poursuivre sur la forme algébrique de z_M :

... = 2\left(\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}

b. Montrer que z_{M.
Déterminer le module et un argument de z_{M.

Tout ce que l’on sait de M, c’est que z_{M. donc appliquons cette relation et voyons ce que cela donne :

z_{M

On obtient bien l’affixe de M proposé par l’énoncé.

Passons au calcul de son module et de son argument. Première chose à savoir :

Soit z = a + ib. Le module de z vaut \rho = \sqrt{a^2 + b^2}.

Ici, cela donne :

Le module de z_{M vaut :
|z_{M

Quant à l’argument, c’est (un peu) plus compliqué :

Trouver l’argument d’un nombre complexe z = a + ib de module \rho, c’est trouver un réel \theta tel que \begin{cases}cos ~\theta = \dfrac{a}{\rho} \\sin ~\theta = \dfrac{b}{\rho}\end{cases}

Appliquons cela à z_{M :

Soit \theta l’argument de z_{M. On a \begin{cases}cos ~\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\sin ~\theta = -\dfrac{1}{2}\end{cases}.

Il ne reste plus qu’à trouver le « bon » \theta dont les valeurs de cosinus et de sinus sont celles ci-dessus. Pour cela, il faut à nouveau se référer à la figure ci-dessus. On trouve alors que la valeur de \theta qui convient est -\dfrac{5\pi}{6} :

Donc \theta = -\dfrac{5\pi}{6} ~[2\pi].
Pourquoi as-tu rajouté [2\pi] après -\dfrac{5\pi}{6} ?

Le [2\pi] est là pour signaler que \theta = -\dfrac{5\pi}{6} + k \times 2\pi, quel que soit k entier relatif, conviendrait aussi (car quelque soit k, on se trouverait au même endroit sur le cercle trigonométrique).

c. Placer les points A, B, M, M et I dans le repère (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) en prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.

Pour placer des points dont on dispose des affixes dans un repère, il suffit de se souvenir que :

Le point M d’affixe z_M = a + ib a pour coordonnées (a ; b).

Autrement dit, si le point M a pour affixe z_M = a + ib, son abscisse vaut a et son ordonnée vaut b. Ainsi :

  • les coordonnées du point A sont (1 ; 0) ;
  • les coordonnées du point B sont (0 ; 1) ;
  • les coordonnées du point M sont (1 ; -\sqrt{3}) ;
  • les coordonnées du point M sont (-\sqrt{3} ; -1).
Et le point I alors ?

Très bonne question. Le point I étant le milieu du segment [AM], on dispose d’une relation qui va nous être bien utile :

Soient A et B deux points d’affixes respectives z_A et z_B et I le milieu du segment [AB]. Alors on a :
z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}.

On peut donc écrire :

I est le milieu du segment [AM] donc on a :
z_I = \dfrac{z_A + z_M}{2} = \dfrac{1 + (1 - i\sqrt{3})}{2} = \dfrac{2 - i\sqrt{3}}{2} = 1 - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D’où les coordonnées du point I sont \left(1 ; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Voici ce que donnent les points placés sur un repère orthonormé direct :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2013-po-exo3-2

Mais ce n’est pas tout : l’énoncé indique qu’il faut tracer la droite (OI) et « vérifier rapidement à l’aide du graphique » les propriétés 1 et 2. Rappel des propriétés 1 et 2 :

  1. la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM
  2. BM

Voilà une question que je trouve très mal rédigée. Ca veut dire quoi, ça, « vérifier rapidement à l’aide du graphique » ? Depuis quand est-ce qu’il y a des preuves « rapides » et des preuves « pas rapides » ? Ca ne veut rien dire ! J’imagine donc que le rédacteur du sujet souhaite simplement que l’on constate ces propriétés sur la figure. C’est ce que nous allons faire en traçant :

  • la droite (OI), qui est effectivement une médiane du triangle OAM puisque I est le milieu du segment [AM] ;
  • le triangle OBM.
Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl 2013-po-exo3-3

Les propriétés 1 et 2 sont effectivement vérifiées :

  • Les droites (OI) et (BM sont perpendiculaires donc (OI) est bien une hauteur du triangle OBM ;
  • BM.

Question 2

On revient au cas général en prenant z_M = x + iy avec y \neq 0.

a. Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.

Tout ce que l’on sait du point I, c’est que c’est le milieu du segment [AM]. Donc il faut bien sûr utiliser à nouveau la formule qui donne l’affixe du milieu d’un segment et que j’ai rappelée plus haut. Cette fois-ci, cela donne :

z_I = \dfrac{z_A + z_M}{2} = \dfrac{1 + (x + iy)}{2} = \dfrac{1 + x}{2} + i\dfrac{y}{2}

b. Déterminer l’affixe du point M en fonction de x et y.

Comme à la question 1. b., appliquons la seule chose que nous savons de M, à savoir que z_{M, et voyons ce que cela donne cette fois-ci :

z_{M

c. Ecrire les coordonnées des points I, B et M.

Il faut bien sûr appliquer à nouveau l’élément de cours qui dit que si l’affixe d’un point est a + ib, alors ses coordonnées sont (a ; b) :

Le point I a pour affixe z_I = \dfrac{1 + x}{2} + i\dfrac{y}{2} donc ses coordonnées sont \left(\dfrac{1 + x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right).
De même, z_B = i donc le point B a pour coordonnées (0 ; 1) et z_{M donc le point M a pour coordonnées (y ; -x).

d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM.

Observez la figure que nous avons tracée à la question 1. c., pas celle qui ne comporte que les points, mais celle qui comporte également le triangle OBM et la droite (OI). Comme vous pouvez le voir, montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM, c’est montrer que les droites (OI) et (BM sont perpendiculaires.

Et, dans un exercice où on parle de repère orthonormé et de coordonnées, pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, vous devez penser au produit scalaire !

Eh oui ! Si nous arrivons à montrer que \overrightarrow{\mathrm{OI}}.\overrightarrow{\mathrm{BM, alors les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{BM sont orthogonaux d’où, les droites (OI) et (BM sont perpendiculaires !

Rappelons donc comment on calcule un produit scalaire :

Soient \overrightarrow{u}(x ; y) et \overrightarrow{v}(x deux vecteurs du plan.
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx
Ah… Donc si je veux calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{OI}}.\overrightarrow{\mathrm{BM, il faut que je calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{BM non ?

Exactement ! Faisons donc cela. Je rappelle que :

Soit \overrightarrow{\mathrm{AB}} un vecteur du plan. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont (x_B - x_A ; y_B - y_A).

Donc :

\overrightarrow{\mathrm{OI}}(x_I - x_O ; y_I - y_O)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}\left(\dfrac{1 + x}{2} - 0 ; \dfrac{y}{2} - 0\right)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}\left(\dfrac{1 + x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right)

\overrightarrow{\mathrm{BM
\overrightarrow{\mathrm{BM
\overrightarrow{\mathrm{BM

On peut alors calculer le produit scalaire :

Donc \overrightarrow{\mathrm{OI}}.\overrightarrow{\mathrm{BM.
Donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OI}} et \overrightarrow{\mathrm{BM sont orthogonaux d’où les droites (OI) et (BM sont perpendiculaires.

On peut alors conclure :

D’où la droite (OI) est bien une hauteur du triangle OBM.

e. Montrer que BM.

Une seule formule pour répondre à cette question :

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B;y_B) deux points du plan.
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Petite astuce néanmoins :

Si l’on dispose déjà des coordonnées (u;v) d’un vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}, la longueur AB vaut simplement \sqrt{u^2 + v^2}.

Autrement dit, vous n’avez pas besoin de recalculer x_B - x_A et y_B - y_A si vous l’avez déjà fait auparavant.

Ici, le calcul de BM donne donc :

BM

Quant à 2OI, cela donne (vous remarquerez que pour éviter de mettre « 2 » devant chaque opération, je calcule simplement OI et je multiplie par 2 à la fin) :

OI = \sqrt{\left(\dfrac{1 + x}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1 + 2x + x^2}{4} + \dfrac{y^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{y^2 + x^2 + 2x + 1}{4}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{y^2 + x^2 + 2x + 1}
Donc 2OI = \sqrt{y^2 + x^2 + 2x + 1}

D’où la conclusion :

Donc on a bien BM.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 3 Obl.

Exprimez vous!