Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4

Enoncé

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.

  • Un salarié malade est absent.
  • La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
  • Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,04.
  • Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,24.

On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E_n l’évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note p_n la probabilité de l’évènement E_n.
On a ainsi : p_1 = 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 \leq p_n ~\textless ~1.

Question 1

a. Déterminer la valeur de p_3 à l’aide d’un arbre de probabilité.

Pour construire un arbre de probabilité, il faut examiner ce qui se passe pour chaque semaine :

  • Première semaine
    La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.

    Sachant que l’évènement E_1 est l’évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la première semaine », il a donc une probabilité  0 (= « il n’est jamais vrai »). Son évènement contraire, \overline{E_1}, qui représente l’évènement « le salarié n’est pas absent pour cause de maladie la première semaine », a une probabilité 1 (= « il est toujours vrai »). On peut donc commencer l’arbre pondéré de la façon suivante :

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo-5-1
  • Deuxième semaine
    • Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,04.
    • Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,24.

    Les deux éléments ci-dessus nous donnent les probabilités pour le salarié d’être malade ou non s’il n’était pas malade la semaine précédente. Cela va donc nous permettre de compléter notre arbre.

    En effet, si on remplace n dans les indications de l’énoncé par 1, cela donne :

    • si la semaine 1 le salarié n’est pas malade, il tombe malade [et est donc absent] la semaine 2 avec une probabilité égale à 0,04. Autrement dit, p_{\overline{E_1}}(E_2) = 0,04 ;
    • si la semaine 1, le salarié est malade, il reste malade [et donc absent] la semaine 2 avec une probabilité égale à 0,24. Autrement dit, p_{E_1}(E_2) = 0,24.

     
    Cela étant, nous n’allons pas représenter p_{E_1}(E_2) car l’évènement E_1 ne se produit jamais. Notre arbre pondéré peut donc être complété de la façon suivante :

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-2

    Mais cela ne suffit pas. En effet :

    La somme des probabilités de toutes les branches qui partent d’un même noeud doit valoir 1 (100%).

    Autrement dit, il faut ajouter une branche qui part du noeud \overline{E_1}. Il s’agit de p_{\overline{E_1}}(\overline{E_2}). Et comme la somme des probabilités de toutes les branches qui partent d’un même noeud doit valoir 1, la probabilité de cette branche vaut p_{\overline{E_1}}(\overline{E_2}) = 1 - 0,04 = 0,96.

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-3
  • Troisième semaine
    A nouveau, c’est le passage suivant de l’énoncé qui nous donne les informations nécessaires :

    • Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,04.
    • Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,24.

    Cette fois-ci, si on remplace n par 2, on obtient :

    • si la semaine 2 le salarié n’est pas malade, il tombe malade [et est donc absent] la semaine 3 avec une probabilité égale à 0,04. Autrement dit, p_{\overline{E_2}}(E_3) = 0,04 ;
    • si la semaine 2, le salarié est malade, il reste malade [et donc absent] la semaine 3 avec une probabilité égale à 0,24. Autrement dit, p_{E_2}(E_3) = 0,24.

     
    L’arbre pondéré peut donc être complété de la façon suivante :

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-4

    Bien sûr, comme précédemment, il faut ajouter les branches qui correspondent aux évènements \overline{E_3} sachant E_2 et sachant \overline{E_2} pour que la somme des probabilités fasse 1 :

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-5

    Comme vous pouvez le voir, nous avons ajouté les probabilités suivantes :

    • p_{E_2}(\overline{E_3}) = 0,76 ;
    • p_{\overline{E_2}}(\overline{E_3}) = 0,96.

L’arbre pondéré est maintenant terminé… mais nous n’avons toujours pas répondu à la question !

Quoi ?! Tout ça et on n’a pas encore répondu à la question ?

Eh non ! Mais on va s’appuyer sur tout ce qui précède pour y répondre.

Je rappelle que la question était de déterminer p_3, p_3 correspondant à la probabilité p(E_3). En effet :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mènent » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :
Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-6
On peut donc écrire :

En nous appuyant sur l’arbre pondéré, la probabilité de l’évènement E_3 vaut :
p_3 = \underbrace{1 \times 0,04 \times 0,24}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{1 \times 0,96 \times 0,04}_{\text{chemin 2}} = 0,048

b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

Clairement, l’énoncé souhaite ici que l’on calcule la probabilité conditionnelle p_{E_2}(E_3). Pour calculer une probabilité conditionnelle ou la probabilité d’une intersection, un seul réflexe :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}
La probabilité que le salarié soit absent la troisième semaine sachant qu’il a aussi été absent la deuxième semaine vaut :
p_{E_2}(E_3) = \dfrac{p(E_2 \cap E_3)}{p(E_2)}

Comme vous pouvez le voir, il nous faut déterminer la probabilité de l’intersection des évènements E_2 et E_3. Pour calculer la probabilité d’une intersection, une fois qu’on a réalisé un arbre de probabilité, il faut avoir le réflexe suivant :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-7

En exploitant l’arbre pondéré, on a donc que p(E_2 \cap E_3) = 0,04 \times 0,24.

Quant à p(E_3), on l’a déjà calculé à la question précédente. Ainsi, on peut poursuivre notre calcul de p_{E_2}(E_3) :

... = \dfrac{0,04 \times 0,24}{0,048} = 0,2

Question 2

a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous :
Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-8

Pour faciliter les explications, je vais numéroter chacune des probabilités à déterminer :
Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-9

  • Probabilité \textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}}
    La probabilité \textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} est sans doute la plus simple à calculer. Il suffit de faire appel à une propriété que j’ai déjà rappelé dans cet exercice. Alors, laquelle à votre avis ?

    Ce ne serait pas celle qui dit que la somme des probabilités des branches qui partent d’un même noeud doit faire 1 par hasard ?

    Bingo ! Donc, la probabilité \textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} vaut 1 - p_n :

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-10
  • Probabilités \textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} et \textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}}
    Peut-être le saviez-vous déjà mais je vais le rappeler quand même :

    Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une branche qui relie deux noeuds A à gauche et B à droite est la probabilité p_A(B) :
    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-ce-exo1-8

    Autrement dit, la probabilité :

    • demandée en \textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} est la probabilité p_{\overline{E_n}}(E_{n+1}) ;
    • demandée en \textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} est la probabilité p_{E_n}(E_{n+1}).

     
    Pour les calculer, nous allons à nouveau nous servir des indications suivantes de l’énoncé :

    • Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,04.
    • Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,24.

    Si on traduit simplement les phrases sous forme mathématique, on obtient :

    • p_{\overline{E_n}}(E_{n+1}) = 0,04 ;
    • p_{E_n}(E_{n+1}) = 0,24.

    Ainsi, notre arbre pondéré peut être complété de la façon suivante :

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-11
  • Probabilités \textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} et \textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}}
    Je parie que c’est encore la règle qui dit que la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud doit valoir 1

    Je vois que ça commence à rentrer !

    Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-12

b. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, p_{n + 1} = 0,2p_n + 0,04.

Ce que l’on nous demande ici, c’est de déterminer p_{n+1}, soit p(E_{n+1}). Avez-vous une idée de comment on peut faire cela ? Petit indice : il faut s’appuyer sur l’arbre pondéré et sur une astuce que j’ai déjà rappelée…

Ce ne serait pas l’histoire de la somme des différents chemins qui mènent vers l’évènement par hasard ?

Exactement ! Ici, on va s’intéresser aux chemins suivants :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-14

En s’appuyant sur ce schéma, cela donne :

Pour tout entier naturel n non nul,
p_{n+1} = p(E_{n+1}) = \underbrace{p_n \times 0,24}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{(1 - p_n) \times 0,04}_{\text{chemin 2}} = 0,24p_n + 0,04 - 0,04p_n = 0,2p_n + 0,04

c. Montrer que la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u_n = p_n - 0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r.
En déduire l’expression de u_n puis de p_n en fonction de n et r.

Pour montrer que (u_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

Calculons donc \dfrac{u_{n+1}}{u_n} :

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{p_{n+1} - 0,05}{p_{n} - 0,05} = \dfrac{(0,2p_n + 0,04) - 0,05}{p_{n} - 0,05} = \dfrac{0,2p_n - 0,01}{p_{n} - 0,05}

Je vous avoue qu’arrivé à ce stade du calcul, j’ai dû prendre un papier et un stylo pour essayer des calculs car je ne voyais pas très bien ce que j’allais pouvoir faire de cette fraction \dfrac{0,2p_n - 0,01}{p_{n} - 0,05}.

Muni donc du papier et du stylo, je me suis dit : « Bon, au numérateur, t’as 0,2 devant p_n et pas en bas. Pourquoi ne pas multiplier « en haut et en bas » par 0,2 et voir ce que ça donne ? ». Bien sûr, si je fais ça, je développe le dénominateur mais pas le numérateur pour laisser le « 0,2p_n » tel quel. Voici ce que ce calcul a donné sur le papier :

... = \dfrac{0,2(0,2p_n - 0,01)}{0,2(p_{n} - 0,05)} = \dfrac{0,2(0,2p_n - 0,01)}{0,2p_{n} - 0,01}

Et là, j’ai de la chance ! Les 0,2p_n - 0,01 se simplifient !

... = 0,2

On peut donc conclure sur (u_n) :

Donc la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme u_1 = p_1 - 0,05 = 0 - 0,05 = -0,05.

Déterminer l’expression de u_n en fonction de n est alors aisé si on sait que :

Soit k un entier naturel.
Soit (u_n) une suite géométrique de raison q.
Pour tout n entier naturel, u_n = u_k q^{n-k}.

Autrement dit, étant donné que la suite (u_n) était définie à partir du rang 1, on peut écrire u_n = u_1 q^{n-1} ou encore u_n = u_2 q^{n-2} etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer u_n en fonction de son terme initial, ici u_1. Donc on peut écrire :

Puisque (u_n) est une suite géométrique de raison 0,2, on a u_n = -0,05 \times 0,2^{n-1}.

On peut alors en déduire p_n en fonction de n :

Or, d’après l’énoncé, pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1, u_n = p_n - 0,05 donc p_n = u_n + 0,05 = -0,05 \times 0,2^{n-1} + 0,05 = 0,05(1 - 0,2^{n-1}).

d. En déduire la limite de la suite (p_n).

L’expression de p_n en fonction de n doit vous faire immédiatement penser à la portion de cours suivante pour calculer sa limite :

Soit q \in \mathbb{R}.
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, on peut donc écrire :

-1 ~\textless ~0,2 ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~0,2^{n-1} = 0.
D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~1 - 0,2^{n-1} = 1 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~p_n = 0,05.
Eh mais ! Ta portion de cours, elle permet de trouver la limite de 0,2^n et non pas de 0,2^{n-1} !

Eh si ! En fait, les limites que j’ai citées ci-dessus sont vraies pour n’importe quelle expression du type q^{X(n)} tant que la fonction X : n \mapsto X(n) tend vers +\infty quand n tend vers +\infty. Autrement dit, c’est vrai pour q^{n-1} mais également pour q^{2n}, q^{n - 12,4}, …

e. On admet dans cette question que la suite (p_n) est croissante. On considère l’algorithme suivant :
Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-15
A quoi correspond l’affichage final J ?
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?

Si en lisant les 6 premières lignes encadrées ci-dessous, vous n’avez aucune idée de ce qu’affiche cet algorithme, c’est parfaitement normal ! :p

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-16

En fait, pour comprendre ce que fait cet algorithme, il faut s’intéresser à ce qui est encadré en bleu ci-dessous, et en particulier à l’instruction encadrée en jaune qui nous met sur la voie :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-17

Cette instruction met dans la variable P 0,2 fois la valeur qu’elle avait auparavant et y ajoute 0,04. Cela ne vous rappelle-t-il rien ?

Ah mais oui ! C’est comme ça qu’on calcule p_{n+1} à partir de p_n (cf. question 2.b.) !

Exactement ! Donc cet algorithme calcule les termes de la suite (p_n) et les stocke successivement dans la variable P en écrasant la valeur précédente. C’est d’ailleurs pour cela que cette variable est initialisée avec la valeur  0 qui correspond à p_0 (cf. l’instruction « P prend la valeur  0 »).

Par ailleurs, les termes de la suite (p_n) sont calculés « tant que P ~\textless ~0,05 - 10^{-K} » où K est une valeur saisie par l’opérateur. Mais ce n’est pas tout ! Dans la boucle « Tant que », on ne fait pas que ça. On incrémente également une variable J (= on lui ajoute 1) à chaque passage dans la boucle. Cette variable J a été initialisée à 1. A votre avis, que représente-t-elle ?

Une variable qui est initialisée à 1 et qui est incrémentée à chaque fois que l’on calcule un nouveau terme de la suite (p_n) : ce ne serait pas le rang de la suite par hasard ?

Tout à fait ! Et c’est lui que l’on affiche, une fois que l’on est sorti de la boucle. Sachant que l’on sort d’une boucle « Tant que » dès que sa condition n’est plus vérifiée (c’est-à-dire ici, dès que P est supérieur ou égal à 0,05 - 10^{-K}), on en déduit que :

Cet algorithme affiche le rang du premier terme de la suite (p_n) qui est supérieur ou égal à 0,05 - 10^{-K}K est une valeur saisie par l’opérateur.

Venons-en maintenant à l’autre point soulevé par cette question e. : pourquoi sommes-nous sûrs que l’algorithme s’arrête ? Autrement dit, pourquoi pouvons-nous être certains que, quelle que soit la valeur K saisie par l’opérateur, on finira toujours par sortir de la boucle « Tant que » ?

Cette question n’a rien d’évident. Pour y répondre, cela suppose que vous ayiez bien compris ce qu’est une limite.

Lorsque l’on dit qu’une suite (u_n) tend vers une limite l, que cela veut-il dire ? Cela veut dire que si je choisis un réel a quelconque, eh bien je suis sûr qu’en calculant un à un les termes de la suite (u_n), il existe un rang n_a tel que u_{n_a} ainsi que tous les termes suivants appartiennent à l’intervalle ]l - a ; l + a[.

Et il vaut combien ce rang n_a ?

On ne sait pas… La définition de la limite nous permet juste de dire qu’il en existe un, pas de déterminer lequel c’est. Et en fait, on s’en fout ! L’important est de savoir que ce rang existe, pas de savoir combien il vaut.

OK admettons… Et comment répond-on à la question alors ?

On y répond de la façon suivante :

Soit K entier naturel fixé, saisi par l’opérateur.
On a -K-1 ~\textless ~-K donc 10^{-K-1} ~\textless ~10^{-K} d’où 0,05 ~\textgreater ~0,05 - 10^{-K-1} ~\textgreater ~0,05 - 10^{-K}.

Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que le 10^{-K-1}, je l’ai choisi de façon complètement arbitraire ! C’est lui qui joue le rôle du a que je mentionne ci-dessus. Tout ce dont j’avais besoin c’est d’un « quelque chose » tel que 0,05 ~\textgreater ~0,05 - \text{quelque chose} ~\textgreater ~0,05 - 10^{-K}, et ce, quel que soit K.

D’après la question 2. d., \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~p_n = 0,05. Or, la définition d’une limite nous garantit qu’il existe un rang n_0 tel que p_{n_0} \in ]0,05 - 10^{-K-1} ; 0,05 + 10^{-K-1}[ (cela est d’ailleurs également vrai pour tous les rangs supérieurs à n_0). D’où, p_{n_0} ~\textgreater ~0,05 - 10^{-K} : on sort forcément de la boucle « Tant que ».

Pour que vous puissiez mieux comprendre, je vais représenter le raisonnement sous forme d’un schéma :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-18

On sort de la boucle dès que l’on est dans la zone orange. Or, le fait que la suite (p_n) tende vers 0,05 nous garantit qu’à force de calculer les termes de la suite (p_n), on va finir par se retrouver dans la zone verte. Donc, on finira forcément par sortir de la boucle.

Oh la la ! Je n’y comprends rien à cette question !

Franchement, si vous n’arrivez pas du tout à comprendre cette question, laissez-la tomber ! C’est une question difficile, théorique, qui n’est certainement pas sur beaucoup de points.


Question 3

Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à p = 0,05.
On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l’espérance mathématique \mu et l’écart type \sigma de la variable aléatoire X.

Autant la question précédente n’avait rien de classique, autant celle-ci est ultra classique et vous devez absolument savoir la résoudre.

Justifier que X suit une loi binomiale, c’est justifier que X est la variable aléatoire qui représente le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli.
C’est quoi, un « schéma de Bernoulli » ?

Bonne question.

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues contraires de probabilité p et 1 - p.
  • Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d’indépendance.

Ainsi, la démarche à adopter pour montrer qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale est la suivante :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente le nombre d’occurrences constitue le « succès ».

Ici, il faut voir la chose comme si on « piochait » des salariés un par un pour voir s’ils sont malades ou non. Par ailleurs, X représente le nombre de salariés malades donc c’est l’évènement « le salarié est malade » qui constitue le « succès » (tu parles d’un succès…) :

Choisir un salarié parmi les 220 de l’entreprise est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « le salarié est malade », de probabilité p ou « le salarié n’est pas malade », de probabilité 1 - p. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « le salarié est malade ».
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.

Comme il y a 220 salariés, on peut dire que l’on répète l’expérience 220 fois. De plus, l’indépendance est garantie par la phrase suivante de l’énoncé :

On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.

Donc on peut écrire :

De plus, l’énoncé précise que « l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues » donc on répète 220 fois l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit bien d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 220 et p = 0,05.

Quant à calculer l’espérance et l’écart-type de X, c’est une simple question de cours :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p).

  • son espérance mathématique vaut \mu = np ;
  • son écart-type vaut \sigma = \sqrt{np(1 - p)}.

Ici, cela donne :

Son espérance mathématique vaut \mu = np = 220 \times 0,05 = 11 et son écart-type vaut \sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{220 \times 0,05(1 - 0,05)} \simeq 3,23.

b. On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire \dfrac{X - \mu}{\sigma} par la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres  0 et 1.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l’évènement Z ~\textless ~x pour quelques valeurs du nombre réel x.

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-19

Calculer, au moyen de l’approximation proposée en question b., une valeur approchée à 10^{-2} près de la probabilité de l’évènement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».

Première chose : lorsque l’on vous dit que :

On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire \dfrac{X - \mu}{\sigma} par la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres  0 et 1.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

…vous devez comprendre : « On pose Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} ».

Cette mise au point étant faite, que cherche-t-on à calculer ?

On cherche à calculer la probabilité de l’évènement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».

Autrement dit, on cherche à calculer P(7 \leq X \leq 15). L’énoncé suggère d’utiliser l’approximation qu’il propose : cela signifie qu’il faut trouver un moyen d’introduire Z dans nos calculs.

Pour cela, il faut d’abord voir dans quel intervalle est comprise la variable aléatoire Z lorsque X est dans l’intervalle [7 ; 15] :

7 \leq X \leq 15

 
\Leftrightarrow 7 - \mu \leq X - \mu \leq 15 - \mu
 
\Leftrightarrow \dfrac{7 - \mu}{\sigma} \leq \dfrac{X - \mu}{\sigma} \leq \dfrac{15 - \mu}{\sigma}
 
\Leftrightarrow \dfrac{7 - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{15 - \mu}{\sigma}

Ainsi, la probabilité que la variable X se retrouve dans l’intervalle [7 ; 15] est identique à la probabilité que la variable Z se retrouve dans l’intervalle \left[\dfrac{7 - \mu}{\sigma} ; \dfrac{15 - \mu}{\sigma}\right] :

P(7 \leq X \leq 15) = P\left(\dfrac{7 - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{15 - \mu}{\sigma}\right)

Or :

  • \dfrac{7 - \mu}{\sigma} = \dfrac{7 - 11}{3.23} \simeq -1,24
  • \dfrac{15 - \mu}{\sigma} = \dfrac{15 - 11}{3.23} \simeq 1,24

Cela nous permet de compléter notre calcul :

... = P(-1,24 \leq Z \leq 1,24)

Les valeurs -1,24 et 1,24 ne vous disent-elles rien ?

Attends… Laisse-moi jeter un coup d’oeil au tableau de valeurs proposé dans la question… Ce sont les seules valeurs que j’ai, c’est forcément dedans… Ah bah oui ! On trouve bien -1,24 et 1,24 dans le tableau !

Eh oui, le tableau de valeurs de l’énoncé nous donne P(Z ~\textless -1,24) et P(Z ~\textless ~1,24) :

Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4 2013-po-exo5-20

Donc ça sent plutôt bon !

Et comment on calcule P(-1,24 \leq Z \leq 1,24) à partir de P(Z ~\textless -1,24) et P(Z ~\textless ~1,24) alors ?

P(-1,24 \leq Z \leq 1,24) se déduit très facilement de P(Z ~\textless -1,24) et P(Z ~\textless ~1,24) si on sait que :

Soit Z une variable aléatoire qui suit une loi normale et a et b deux réels tels que a \leq b.
P(a \leq Z \leq b) = P(Z \leq b) - P(Z \leq a)
Hum… ta formule fait apparaître des inégalités « larges » dans P(Z \leq b) - P(Z \leq a) alors que le tableau de valeurs de l’énoncé ne donne que des inégalités strictes. On est toujours coincé, non ?

Eh non, on n’est pas coincé car :

Si Z suit une loi normale, alors P(Z \leq a) = P(Z ~\textless ~a).

On peut donc parfaitement s’appuyer sur les données de l’énoncé :

D’après le tableau de valeurs fourni par l’énoncé, on a :
P(-1,24 \leq Z \leq 1,24) = P(Z \leq 1,24) - P(Z \leq -1,24) \simeq 0,892 - 0,108 \simeq 0,78.

N’oublions pas de conclure sur X : c’est quand même lui qui nous intéresse :

Donc P(7 \leq X \leq 15) \simeq 0,78 : la probabilité de l’évènement « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 » vaut environ 0,78.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Maths Pondichéry Exercice 4.

Exprimez vous!