Bac S 2013 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4

Enoncé

On définit les suites (u_n) et (v_n) sur l’ensemble \mathbb{N} des entiers naturels par :

u_0 = 0 ; v_0 = 1, et \begin{cases}u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} \\v_{n+1} = \dfrac{u_n + 2v_n}{3}\end{cases}

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (u_n) et (v_n).

Question 1

Calculer u_1 et v_1.

Aucune difficulté ici :

u_1 = \dfrac{u_0 + v_0}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2}

v_1 = \dfrac{u_0 + 2v_0}{3} = \dfrac{0 + 2 \times 1}{3} = \dfrac{2}{3}


Question 2

On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2013 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4 2013-ag-exo4s-1

a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.

Bac S 2013 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4 2013-ag-exo4s-2

Etrangement, l’énoncé n’indique pas à combien de décimales les résultats doivent être arrondis. Dans l’exercice 4 destiné à ceux qui n’ont pas suivi l’enseignement de spécialité, une question similaire suggère d’arrondir les résultats à 10^{-4} près. Je vous propose donc de faire de même ici, en le signalant :

Je choisis d’arrondir les résultats à 10^{-4} près :

k w u v
1  0 0.5 0.6667
2 0.5 0.5834 0.6111

b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Pour répondre, vous devez vous poser les questions suivantes :

  1. Pourquoi est-ce l’algorithme initie les valeurs de u et v respectivement à  0 et à 1 ?
  2. Pourquoi est-ce que, après avoir affecté la valeur de u à w, l’algorithme affecte-t-il à u et v respectivement les valeurs \dfrac{w + v}{2} et \dfrac{w + 2v}{3} ?
Hum…  0 et 1 correspondent exactement aux valeurs de u_0 et v_0.
Quant à \dfrac{w + v}{2} et \dfrac{w + 2v}{3}, comme l’algorithme affecte d’abord à w la valeur de u, c’est comme s’il calculait \dfrac{u + v}{2} et \dfrac{u + 2v}{3}… Ah mais oui ! L’algorithme calcule chacun des termes des suites (u_n) et (v_n) à partir des termes précédents !

Exactement ! Et comme il procède ainsi N fois, au final :

Cet algorithme affiche u_N et v_N, où N est l’entier entré par l’utilisateur.

Question 3

Pour tout entier naturel n, on définit le vecteur colonne X_n par X_n =\begin{pmatrix}u_n \\\\v_n\end{pmatrix} et la matrice A par :
A = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}.

a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, X_{n+1} = AX_n.

Pour prouver cela, il suffit de calculer le produit matriciel AX_n :

AX_n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\\\\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_n \\\\v_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}u_n + \dfrac{1}{2}v_n \\\\\dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{2}{3}v_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{u_n + v_n}{2} \\\\\dfrac{u_n + 2v_n}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_{n+1} \\\\v_{n+1}\end{pmatrix}

b. Démontrer par récurrence que X_n = A^nX_0 pour tout entier naturel n.

Rappelons les étapes d’un raisonnement par récurrence :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

L’initialisation est aisée si on sait que :

Soit A une matrice carrée d’ordre n.

  • A^0 = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n (= « n lignes, n colonnes ») : I_n = \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{pmatrix}
  • AI_n = I_nA = A

Ici, comme A est une matrice d’ordre 2 (= « 2 lignes, 2 colonnes »), A^0 = I_2 d’où :

Initialisation
A^0X_0 = I_2X_0 = X_0 donc la propriété est vérifiée au rang  0 .
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que X_k = A^kX_0. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que X_{k+1} = A^{k+1}X_0.

Pour prouver l’hérédité, il faut partir de ce que l’on sait au rang k + 1 et réussir à faire apparaître le rang k, ce qui permet alors d’utiliser l’hypothèse de récurrence.

Je vous pose donc la question : que savez-vous sur X_{k+1} qui le relie à X_{k} ?

On ne sait qu’une chose : d’après la question 3. a., X_{k+1} = AX_k

Exactement :

D’après la question 3. a., X_{k+1} = AX_k.

Cela nous permet d’exploiter l’hypothèse de récurrence :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, X_k = A^kX_0 d’où :
X_{k+1} = AX_k = AA^kX_0 = A^{k+1}X_0 : la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, X_n = A^nX_0.

Question 4

On définit les matrices P, P et B par P = \begin{pmatrix}\dfrac{4}{5} & \dfrac{6}{5} \\\\-\dfrac{6}{5} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}, P et B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & \dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.

a. Calculer le produit PP.
On admet que P.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, A^n = P.

Calculons le produit matriciel PP :

PP

Et c’est reparti pour une récurrence :

Initialisation
P.
... = I_2 d’après ce qui précède !

Pas si vite, jeune padawan ! Ce qui précède, c’est PP. Or, je rappelle que le produit de matrices n’est pas commutatif : dans le cas général, PP n’est pas égal à P !

Néanmoins, ce qui nous sauve ici, c’est que le résultat du produit que l’on a calculé est I_2, ce qui nous permet d’appliquer la chose suivante :

Soient A et B deux matrices d’ordre n.
Si AB = I_n, alors A et B sont des matrices inverses et dans ce cas, BA est aussi égal à I_n.

Ainsi, on peut écrire :

Or, d’après ce qui précède, PP donc P et P sont inverses d’où P est aussi égal à I_2.
Mais c’est ce que j’ai dit !

Oui mais il faut le justifier pour montrer que vous maîtrisez votre cours !

Bref, cela nous permet de conclure cette initialisation :

Par ailleurs, A^0 = I_2. Donc finalement, on a bien A^0 = P : la propriété est vérifiée au rang  0 .

Vous remarquerez que si nous n’avions pas trouvé I_2 comme résultat au produit PP, nous n’aurions jamais pu initialiser la récurrence. Dans ce cas, cela doit vous faire vous poser des questions sur votre calcul de PP !

Passons à l’hérédité :

Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que A^k = P. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que A^{k+1} = P.

Comme à la preuve par récurrence précédente, il faut partir d’éléments du rang k + 1 et faire apparaître des éléments du rang k. Ici, il suffit d’écrire que :

A^{k+1} = AA^k

En effet, en faisant ainsi, on fait apparaître un lien entre :

  • un élément du rang k + 1 : A^{k+1} ;
  • un élément du rang k : A^{k}.

Or :

D’après l’énoncé, A = P et l’hypothèse de récurrence, elle, nous indique que A^k = P donc on a :
A^{k+1} = AA^k

= P
= P
= P : la propriété est vérifiée au rang k + 1.

Il ne reste donc plus qu’à conclure :

Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, A^n = P.

b. On admet que pour tout entier naturel n, B^n = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & \left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}.
En déduire l’expression de la matrice A^n en fonction de n.

Grâce à la question précédente, on sait que A^n = P, où P, P et B^n sont des matrices connues. Il s’agit donc de calculer le produit matriciel P :

A^n = P

= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\\\\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & \left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5} & \dfrac{6}{5} \\\\-\dfrac{6}{5} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} \times 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times 0 & \dfrac{1}{2} \times 0 - \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\\\dfrac{1}{2} \times 1 + \dfrac{1}{3} \times 0 & \dfrac{1}{2} \times 0 + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5} & \dfrac{6}{5} \\\\-\dfrac{6}{5} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\\\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5} & \dfrac{6}{5} \\\\-\dfrac{6}{5} & \dfrac{6}{5}\end{pmatrix}
Bac S 2013 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4 2013-ag-exo4s-3

Alors, très franchement, quand je suis arrivé ici dans mon calcul, la première réaction que j’ai eue, ça a été : « Mais qu’est-ce que c’est que cette horreur ?! Bon… t’as certainement dû faire une erreur ! Va te coucher, tu verras demain ! »… et je suis vraiment allé me coucher !

En m’y remettant le lendemain, je me suis dit : « Qu’est-ce que je cherche à obtenir ? ». Et pour répondre à cette question, j’ai regardé la suite de l’énoncé. A la question 5. a., on doit prouver que X_n vaut :

\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}.

Or, si je regarde ce que j’ai obtenu ci-dessus, je peux remarquer que :

Bac S 2013 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4 2013-ag-exo4s-4

Oh bah ça alors ! Deux des coefficients que j’ai obtenus sont égaux aux coefficients mentionnés à la question 5. a. !

Je suis donc en bonne voie et je peux ainsi finir mes calculs sereinement :

... = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n & \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\\\dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n & \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}

Question 5

a. Montrer que X_n = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix} pour tout entier naturel n.
En déduire les expressions de u_n et v_n en fonction de n.

D’après la question 3. b., on sait que X_n = A^nX_0 donc il suffit de calculer le produit matriciel A^nX_0 :

D’après la question 3. b., on sait que X_n = A^nX_0 donc on a :
X_n = A^nX_0 = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n & \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\\\dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n & \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_0 \\\\v_0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n & \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\\\dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n & \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}

Reste à déterminer u_n et v_n :

Or, par définition, X_n = \begin{pmatrix}u_n \\v_n\end{pmatrix} donc \begin{pmatrix}u_n \\v_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix}.

Or :

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux deux à deux.

Cela nous permet d’en déduire que :

Lorsque deux matrices sont égales, les coefficients des deux matrices qui se trouvent à la même ligne et à la même colonne sont égaux.

Donc, comme les matrices \begin{pmatrix}u_n \\v_n\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{pmatrix} sont égales, on obtient :

D’où :
\begin{cases}u_n = \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \\\\v_n = \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\end{cases}

b. Déterminer alors les limites des suites (u_n) et (v_n).

Etant donné les expressions de u_n et v_n, la portion suivante du cours doit immédiatement vous venir à l’esprit :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, c’est bien sûr \dfrac{1}{6} qui joue le rôle de q donc on peut écrire :

-1 ~\textless ~\dfrac{1}{6} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{1}{6}\right)^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = \dfrac{3}{5} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = \dfrac{3}{5}.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Spé Maths Antilles-Guyane Exercice 4.

Exprimez vous!