Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4

Enoncé

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d’une photographie.
Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE, appelé image de OEFG.

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-1

L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}).
Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2;2), (-1;5) et (-3;3).
La transformation du logiciel associe à tout point M(x;y) du plan le point M, image du point M tel que :

\begin{cases}x

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-2

Question 1

a. Calculer les coordonnées des points E, F et G, images des points E, F et G par cette transformation.

Aucune difficulté ici :

\begin{cases}x_{E
Donc E a pour coordonnées (4;4).
\begin{cases}x_{F
Donc F a pour coordonnées (\dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2}).
\begin{cases}x_{G
Donc G a pour coordonnées (-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}).

b. Comparer les longueurs OE et OE d’une part, OG et OG d’autre part.
Donner la matrice carrée d’ordre 2, notée A, telle que :
\begin{pmatrix}x.

Calculons les longueurs évoquées par l’énoncé. Pour cela, il suffit de se souvenir que :

On munit le plan d’un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}). Soient A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) deux points du plan.
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Ici, étant donné que le point O a bien sûr pour coordonnées (0;0), on a :

OE = \sqrt{(x_E - x_O)^2 + (y_E - y_O)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
OE

Cela nous amène à la conclusion suivante pour OE et OE :

Donc OE.

De même, calculons OG et OG :

OG = \sqrt{(x_G - x_O)^2 + (y_G - y_O)^2} = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
OG

Cette fois-ci, on en tire la conclusion suivante pour OG et OG :

Donc OG.

Quant à trouver la matrice A demandée, il suffit de se souvenir comment on représente un système d’équations sous forme matricielle (bien prêter attention aux couleurs sur l’illustration suivante) :

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-3

Ici :

  • n vaut 2 ;
  • x et y jouent respectivement le rôle de x_1 et x_2 ;
  • x et y jouent respectivement le rôle de c_1 et c_2.

Donc on peut écrire :

Le système d’équations proposé par l’énoncé peut être représenté sous forme matricielle de la façon suivante :
Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-4
D’où A = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{4} & \dfrac{3}{4} \\\\\dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{4}\end{pmatrix}

Partie B

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

Question 1

On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
Une erreur a été commise.
Modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées.

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-5

Pour détecter l’erreur, il faut bien comprendre ce pour quoi chacune des instructions ont été écrites :

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-6

Personnellement, je considère que cet algorithme est divisé en six parties :

  • partie 1 – l’utilisateur est invité à rentrer une valeur pour N : il s’agit du nombre de transformations que l’on souhaite appliquer ;
  • partie 2 – les variables x et y sont initialisées avec les valeurs correspondant respectivement à x_F et y_F. Rien de plus normal, il faut bien indiquer le point initial avant de lui appliquer les transformations ;
  • partie 3 – une boucle « POUR » est mise en place avec i allant de 1 à N : cette boucle permet donc d’appliquer autant de fois les instructions qui figurent dans le bloc « POUR » que l’on souhaite appliquer de transformations ;
  • partie 4 – dans la boucle « POUR » mise en place, on commence par affecter à deux variables a et b respectivement les valeurs \dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y et \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y : autrement dit, il s’agit ici de calculer x (qui est alors stocké dans la variable a) et y (qui est alors stocké dans la variable b) ;
  • partie 5 – puis, toujours dans la boucle « POUR » mise en place, on affecte à x et y respectivement les valeurs contenues dans les variables a et b : cela permet à l’algorithme de progresser puisque les coordonnées de l’image (contenues dans a et b) deviennent les coordonnées de l’antécédent ;
    Bah je ne vois aucune erreur jusqu’à présent !

    C’est normal, il n’y en a pas encore !

  • partie 6 – ce n’est qu’une fois sorti de la boucle « POUR » que l’algorithme affiche x et y ; ainsi, ne sont affichées les valeurs de x et y qu’au bout de la N-ième transformation ! Or, on souhaite avoir les coordonnées des images issues de chacune des transformations : l’instruction d’affichage est mal placée : il faut l’inclure dans la boucle « POUR » dès qu’on a affecté les valeurs de a et b aux variables x et y respectivement.

Ainsi, l’algorithme corrigé est le suivant :

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-7

Question 2

On a obtenu le tableau suivant :

Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4 2013-as-exo4s-8

Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.

Conjecturer le comportement d’une suite, c’est faire des hypothèses sur :

  • son sens de variation (croissante, décroissante ou « oscillante ») ;
  • son éventuelle convergence (auquel cas, il faut préciser la limite) ou divergence (vers +\infty ou -\infty).

Ici, les comportements de la suite des abscisses d’une part, et de la suite des ordonnées d’autre part, sont faciles à conjecturer :

Au vu du tableau proposé par l’énoncé,

  • la suite des abscisses semble croissante et divergente vers +\infty ;
  • la suite des ordonnées semble croissante et divergente vers +\infty.

Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points E_n(x_n;y_n) du plan par E_0 = E et la relation de récurrence :
\begin{pmatrix}x_{n+1} \\y_{n+1}\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}x_{n} \\y_{n}\end{pmatrix}
(x_{n+1};y_{n+1}) désignent les coordonnées du point E_{n+1}.
Ainsi x_0 = 2 et y_0 = 2.

Question 1

On admet que, pour tout entier n ~\geq ~1, la matrice A^n peut s’écrire sous la forme : A^n = \begin{pmatrix}\alpha_n & \beta_n \\\beta_n & \alpha_n\end{pmatrix}.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ~\geq ~1, on a :

\alpha_n = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} et \beta_n = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier n ~\geq ~1 ». Il faut donc commencer par n = 1.

Initialisation
A = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{4} & \dfrac{3}{4} \\\\\dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{4}\end{pmatrix} donc \alpha_1 = \dfrac{5}{4} et \beta_1 = \dfrac{3}{4}.
Or, pour n = 1 :
2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} = 2^{0} + \dfrac{1}{2^{2}} = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} = \alpha_1
2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}} = 2^{0} - \dfrac{1}{2^{2}} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = \beta_1
Donc, la propriété est vérifiée pour n = 1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}^{*}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}^{*}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que
\begin{cases}\alpha_k = 2^{k-1} + \dfrac{1}{2^{k+1}} \\\\\beta_k = 2^{k-1} - \dfrac{1}{2^{k+1}}\end{cases}.
Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que
\begin{cases}\alpha_{k+1} = 2^{k} + \dfrac{1}{2^{k+2}} \\\\\beta_{k+1} = 2^{k} - \dfrac{1}{2^{k+2}}\end{cases}.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la deuxième option et partir des éléments relatifs au rang k+1 pour faire apparaître les éléments relatifs au rang k et exploiter l’hypothèse de récurrence.

Pour cela, il faut d’abord se souvenir que :

Soit A une matrice carrée d’ordre n (c’est-à-dire comportant n lignes et n colonnes).
A^{n+1} = A^nA = AA^n

Donc, on peut écrire :

A^{k+1} = A^kA = \begin{pmatrix}\alpha_k & \beta_k \\\\\beta_k & \alpha_k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{5}{4} & \dfrac{3}{4} \\\\\dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{4}\alpha_k + \dfrac{3}{4}\beta_k & \dfrac{3}{4}\alpha_k + \dfrac{5}{4}\beta_k \\\\\dfrac{5}{4}\beta_k + \dfrac{3}{4}\alpha_k & \dfrac{3}{4}\beta_k + \dfrac{5}{4}\alpha_k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{4}\alpha_k + \dfrac{3}{4}\beta_k & \dfrac{3}{4}\alpha_k + \dfrac{5}{4}\beta_k \\\\\dfrac{3}{4}\alpha_k + \dfrac{5}{4}\beta_k & \dfrac{5}{4}\alpha_k + \dfrac{3}{4}\beta_k\end{pmatrix}

On a ici fait apparaître les éléments relatifs au rang k (\alpha_k et \beta_k). Il est donc temps d’exploiter l’hypothèse de récurrence :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence,
\begin{cases}\alpha_k = 2^{k-1} + \dfrac{1}{2^{k+1}} \\\\\beta_k = 2^{k-1} - \dfrac{1}{2^{k+1}}\end{cases}.
D’où :
\dfrac{5}{4}\alpha_k + \dfrac{3}{4}\beta_k = \dfrac{5}{4}\left(2^{k-1} + \dfrac{1}{2^{k+1}}\right) + \dfrac{3}{4}\left(2^{k-1} - \dfrac{1}{2^{k+1}}\right)

Arrivé ici, je sais que ce que je dois obtenir fait intervenir uniquement des puissances de 2 donc, je suis bien tenté par remplacer 4 par 2^2 :

... = \dfrac{5}{2^2}\left(2^{k-1} + \dfrac{1}{2^{k+1}}\right) + \dfrac{3}{2^2}\left(2^{k-1} - \dfrac{1}{2^{k+1}}\right)

= \dfrac{5}{2^2} \times 2^{k-1} + \dfrac{5}{2^2} \times \dfrac{1}{2^{k+1}} + \dfrac{3}{2^2} \times 2^{k-1} - \dfrac{3}{2^2} \times \dfrac{1}{2^{k+1}}

= 5 \times 2^{k-3} + \dfrac{5}{2^{k+3}} + 3 \times 2^{k-3} - \dfrac{3}{2^{k+3}}

Et là, tout s’arrange :

... = 8 \times 2^{k-3} + \dfrac{2}{2^{k+3}}

= 2^3 \times 2^{k-3} + \dfrac{1}{2^{k+2}}

= 2^{k} + \dfrac{1}{2^{k+2}}

De même, on calcule \dfrac{3}{4}\alpha_k + \dfrac{5}{4}\beta_k :

\dfrac{3}{4}\alpha_k + \dfrac{5}{4}\beta_k

= \dfrac{3}{4}\left(2^{k-1} + \dfrac{1}{2^{k+1}}\right) + \dfrac{5}{4}\left(2^{k-1} - \dfrac{1}{2^{k+1}}\right)
= \dfrac{3}{2^2}\left(2^{k-1} + \dfrac{1}{2^{k+1}}\right) + \dfrac{5}{2^2}\left(2^{k-1} - \dfrac{1}{2^{k+1}}\right)
= 3 \times 2^{k-3} + \dfrac{3}{2^{k+3}} + 5 \times 2^{k-3} - \dfrac{5}{2^{k+3}}
= 8 \times 2^{k-3} - \dfrac{2}{2^{k+3}}
= 2^3 \times 2^{k-3} - \dfrac{1}{2^{k+2}}
= 2^{k} - \dfrac{1}{2^{k+2}}

Donc l’hérédité est vérifiée :

Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 1. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n ~\geq ~1,
\begin{cases}\alpha_n = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \\\\\beta_n = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}\end{cases}

Question 2

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, le point E_n est situé sur la droite d’équation y = x.
On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n, les coordonnées (x_n;y_n) du point E_n vérifient :

\begin{pmatrix}x_n \\y_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}.

Rappel :

Montrer qu’un point A de coordonnées (x_A;y_A) appartient à la courbe d’équation y = f(x), c’est montrer que f(x_A) = y_A.

Ici, il s’agit donc de montrer que y_n = x_n. Tirons parti de ce que nous indique l’énoncé :

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n, on a \begin{pmatrix}x_n \\y_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix} donc on en déduit :
\begin{pmatrix}x_n \\y_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha_n & \beta_n \\\beta_n & \alpha_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\alpha_n + 2\beta_n \\2\beta_n + 2\alpha_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\alpha_n + 2\beta_n \\2\alpha_n + 2\beta_n\end{pmatrix}.
Donc \begin{cases}x_n = 2\alpha_n + 2\beta_n \\y_n = 2\beta_n + 2\alpha_n\end{cases} d’où x_n = y_n : pour tout n entier naturel, le point E_n appartient donc à la courbe d’équation y = x.

b. Démontrer que la longueur OE_n tend vers +\infty quand n tend vers +\infty.

Avant de s’intéresser à sa limite, calculons d’abord simplement la longueur OE_n. Pour cela, votre cours vous indique que :

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points du plan.
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Ainsi, on a :

OE_n = \sqrt{(x_{E_n} - x_O)^2 + (y_{E_n} - y_O)^2}

= \sqrt{(x_n - 0)^2 + (y_n - y_O)^2}

= \sqrt{x_n^2 + y_n^2}

= \sqrt{2x_n^2} car, d’après la question précédente, x_n = y_n

Donc OE_n = \sqrt{2}x_n !

Si vous ne justifiez pas ce que vous venez de dire, on peut penser que vous venez de sortir une contre-vérité… En effet, \sqrt{A^2} n’est non pas égal à A dans le cas général ! Il faut bien retenir que :

\sqrt{A^2} = |A|

Et c’est donc cela qu’il faut écrire :

... = \sqrt{2}|x_n|

Or, x_n = 2\alpha_n + 2\beta_n

= 2(\alpha_n + \beta_n)

= 2\left(2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} + 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}\right)

= 2\left(2^{n-1} + 2^{n-1}\right)

= 2 \times 2^{n}

= 2^{n+1} ~\textgreater ~0

D’où OE_n = 2^{n+1}\sqrt{2}.

Muni de l’expression de la longueur OE_n, on peut aisément calculer sa limite :

Or \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~2^{n+1} = +\infty d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~OE_n = +\infty.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Spé Maths Asie Exercice 4.

Exprimez vous!