Bac S 2013 Spé Maths France Métropole Exercice 4

Enoncé

On étudie la population d’une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70% résidaient à la campagne et 30% en ville.
L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

  • l’effectif de la population est globalement constant,

  • chaque année, 5% de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1% de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel n, on note v_n le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l’année (2013+n) et c_n le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

Question 1

Pour tout entier naturel n, exprimer v_{n+1} et c_{n+1} en fonction de v_n et c_n.

On vient de commencer l’exercice, on n’a donc pas grand chose à notre disposition… Tout ce que l’on a, c’est l’énoncé ! Servons-nous donc de l’énoncé pour exprimer v_{n+1} et c_{n+1} en fonction de v_n et c_n. La phrase-clé est la suivante :

chaque année, 5% de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1% de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville

Autrement dit, chaque année :

  • la ville perd 5% de sa propre population et récupère 1% de la population qui habitait jusqu’alors à la campagne ;
  • la campagne récupère 5% de la population qui habitait jusqu’alors à la ville et perd 1% de sa propre population.

On peut donc écrire :

\begin{cases}v_{n+1} = \underbrace{(v_n - 0,05v_n)}_{\text{partie violette}} \underbrace{+~0,01c_n}_{\text{partie verte}} = 0,95v_n + 0,01c_n\\c_{n+1} = \underbrace{0,05v_n}_{\text{partie violette}} \underbrace{+~(c_n - 0,01c_n)}_{\text{partie verte}} = 0,05v_n + 0,99c_n\end{cases}

Question 2

Soit la matrice A = \begin{pmatrix}0,95 & 0,01 \\0,05 & 0,99\end{pmatrix}.

Oh bah ça alors ! Les coefficients de cette matrice sont exactement les mêmes que ceux qui sont devant v_n et c_n à la question précédente !

Très bonne constatation ! C’est ce genre de choses que vous devez savoir repérer pour savoir si vous êtes sur la bonne voie ou pas. Si lors d’une épreuve similaire, vous vous rendez compte que l’énoncé pose une matrice qui ne vous rappelle rien, vous devez vous poser des questions.

On pose X = \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}a, b sont deux réels fixés et Y = AX. Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que Y = \begin{pmatrix}c \\d\end{pmatrix}.

Ne vous faites pas avoir par une formulation aussi longue : « Déterminer les réels tels que… ». Le but de la question consiste simplement à calculer le produit matriciel AX :

Y = AX = \begin{pmatrix}0,95 & 0,01 \\0,05 & 0,99\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,95a + 0,01b \\0,05a + 0,99b\end{pmatrix}
La multiplication de matrices est un savoir-faire simple (une fois qu’on l’a bien compris) qu’il faut absolument maîtriser. Il ne faut donc pas hésiter à s’entraîner au cours de l’année à faire de nombreux calculs.

Ceci étant dit, puisque l’énoncé demande de « déterminer les réels c et d tems que… », il faut tout de même conclure sur c et d :

Donc \begin{pmatrix}c \\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,95a + 0,01b \\0,05a + 0,99b\end{pmatrix}

Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n, X_{n+1} = AX_nX_n =\begin{pmatrix}v_n \\c_n\end{pmatrix}. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, X_n = A^nX_0.

Question 3

Soient les matrices P =\begin{pmatrix}1 & -1 \\5 & 1\end{pmatrix} et Q =\begin{pmatrix}1 & 1 \\-5 & 1\end{pmatrix}.

a. Calculer PQ et QP. En déduire la matrice P^{-1} en fonction de Q.

La question commence par deux simples produits de matrices 2 \times 2. Et comme il nous est demandé ensuite de déterminer l’inverse de P, vous devez vous attendre à voir apparaître la matrice identité, en l’occurence I_2 puisqu’on manipule ici des matrices 2 \times 2. En effet, je vous rappelle que :

Une matrice carrée A de taille n est une matrice inversible s’il existe une matrice B telle que AB = BA = I_n.
La matrice B, notée A^{-1} est appelée la matrice inverse de A.
PQ =\begin{pmatrix}1 & -1 \\5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-5 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 \times 1 + (-1) \times (-5) & 1 \times 1 + (-1) \times 1 \\5 \times 1 + 1 \times (-5) & 5 \times 1 + 1 \times 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 0 \\0 & 6\end{pmatrix} = 6\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = 6I_2

QP =\begin{pmatrix}1 & 1 \\-5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\5 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 \times 1 + 1 \times 5 & 1 \times (-1) + 1 \times 1 \\(-5) \times 1 + 1 \times 5 & (-5) \times (-1) + 1 \times 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 0 \\0 & 6\end{pmatrix} = 6\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = 6I_2

Qu’est-ce que je vous disais ! :-p

C’est bien beau tout ça, mais on trouve 6I_2 et non pas I_2 ! Comment on va pouvoir conclure sur P^{-1} ?

En se montrant un (tout petit) peu malin !

Sommes-nous d’accord que :

PQ = 6I_2 donc \dfrac{1}{6}PQ = I_2.

Or, il faut savoir que :

Soit k un réel et P, Q deux matrices. On a :
kPQ = k(PQ) = (kP)Q = P(kQ).

Donc, on peut écrire que :

D’où P\left(\dfrac{1}{6}Q\right) = I_2.

On procède exactement de la même façon avec QP :

De même, QP = 6I_2 donc \left(\dfrac{1}{6}Q\right)P = I_2.

Reste à conclure en se servant du cours mentionné ci-dessus :

On a donc trouvé une matrice B = \dfrac{1}{6}Q telle que PB = BP = I_2. D’où P^{-1} = B = \dfrac{1}{6}Q.

b. Vérifier que la matrice P^{-1}AP est une matrice diagonale D que l’on précisera.

Encore du calcul de produit de matrices !

Il faut commencer par calculer P^{-1}A puis multiplier le tout par P ou calculer AP puis multiplier le tout par P^{-1} ?

Peu importe, mon capitaine ! En effet, votre cours vous dit très certainement que :

La multiplication de matrices est associative. Autrement dit, (AB)C = A(BC).

Personnellement, je choisis ici de calculer d’abord P^{-1}A puis de multiplier le tout par P :

P^{-1}A = \dfrac{1}{6}QA = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,95 & 0,01 \\0,05 & 0,99\end{pmatrix} = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}1 \times 0,95 + 1 \times 0,05 & 1 \times 0,01 + 1 \times 0,99 \\(-5) \times 0,95 + 1 \times 0,05 & (-5) \times 0,01 + 1 \times 0,99\end{pmatrix} = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-4,7 & 0,94\end{pmatrix}
P^{-1}AP = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-4,7 & 0,94\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\5 & 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}1 \times 1 + 1 \times 5 & 1 \times (-1) + 1 \times 1 \\(-4,7) \times 1 + 0,94 \times 5 & (-4,7) \times (-1) + 0,94 \times 1\end{pmatrix} = \dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}6 & 0 \\0 & 5,64\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0,94\end{pmatrix}
Donc D =\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0,94\end{pmatrix}

c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A^n = PD^nP^{-1}.

Là, réflexe : on va utiliser le raisonnement par récurrence !

Hein ?! Mais comment sais-tu qu’il faut utiliser le raisonnement par récurrence ?

C’est simple ! On vient de prouver que P^{-1}AP = D. Je me suis donc dit « avec ça, il ne doit donc pas être très difficile de prouver la propriété demandée pour n = 1, à savoir A = PDP^{-1}… Ah bah, une fois cela prouvé, je n’aurais plus qu’à généraliser… par récurrence !

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A^n = PD^nP^{-1}.

La logique du raisonnement par récurrence doit être maîtrisée. Les étapes sont toujours les mêmes :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, il s’agit de prouver que A = PDP^{-1}. Ce que l’on a à notre disposition, c’est P^{-1}AP = D. Il suffit donc « d’isoler » A en multipliant à gauche et à droite par « ce qui va bien » :

Initialisation
On sait que P^{-1}AP = D. Donc on a :
(PP^{-1})AP = PD

Pour simplifier tout ça, il suffit de se rappeler que :

  • Soit P une matrice carrée inversible d’ordre n. Alors PP^{-1} = P^{-1}P = I_n.
  • Soit A une matrice carrée d’ordre n. On a AI_n = I_nA = A.

Du coup, on peut retenir que :

A chaque fois que l’on rencontrera, dans un produit de matrices, une matrice multipliée par son inverse (de type « AA^{-1}« ), on pourra tout simplement éliminer ces deux facteurs.
Donc AP = PD.

Après avoir multiplié les deux membres de l’égalité par P^{-1} à gauche, il suffit de faire la même chose à droite :

A(PP^{-1}) = PDP^{-1} donc A = PDP^{-1} : la propriété est vraie au rang n = 1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que A^k = PD^kP^{-1}. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que A^{k+1} = PD^{k+1}P^{-1}.

Pas de surprise ici. On veut démontrer une affirmation qui fait intervenir A^{k+1} alors que l’hypothèse de récurrence fait intervenir A^k : il suffit donc de commencer par remarquer que A^{k+1} = A^kA

A^{k+1} = A^kA. Or, d’après l’hypothèse de récurrence, on a A^k = PD^kP^{-1}. D’où :
A^{k+1} = PD^kP^{-1}A
Hum… Comment se débarrasser de A et faire apparaître du D^{k+1} ?…

C’est le seul moment de cette phase d’hérédité où il faut être malin ! Et si on faisait intervenir ce que l’on a prouvé au rang 1, à savoir que A = PDP^{-1} ?

Ah bah oui ! Comme ça, non seulement je me débarrasse du A qui reste, mais j’introduis un D supplémentaire !
De plus, on vient de montrer que A = PDP^{-1}. D’où :
A^{k+1} = PD^kP^{-1}PDP^{-1}
A^{k+1} = PD^kDP^{-1}
A^{k+1} = PD^{k+1}P^{-1}
La propriété est donc vraie au rang k + 1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 1. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A^n = PD^nP^{-1}.

Question 4

Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que :
v_n = \dfrac{1}{6}(1 + 5 \times 0,94^n)v_0 + \dfrac{1}{6}(1 - 0,94^n)c_0
Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?

Dans cette dernière question, il y a une expression qui a fait « tilt » chez moi, et qui doit donc faire « tilt » chez vous…

Ne serait-ce pas l’expression « à long terme » qui évoque indéniablement le calcul d’une limite ?

Exactement ! On va donc calculer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n. Pour calculer cette limite, il suffit simplement de se souvenir que :

Soit q \in \mathbb{R} tel que 0~ \textless ~q~\textless ~1.
\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n = 0

On peut donc écrire :

0~ \textless ~0,94~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~0,94^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = \dfrac{1}{6}v_0 + \dfrac{1}{6}c_0 = \dfrac{1}{6}(v_0 + c_0)
Ouf ! C’est fini !

Bah non ! On a juste calculé une limite… Maintenant, il faut l’interpréter ! On nous demande ce que l’on peut en déduire « pour la répartition de la population de cette région à long terme ? ». Or, v_0 + c_0, ce n’est pas n’importe quoi : c’est la somme de la population qui habite en ville en 2013 avec la population qui habite à la campagne en 2013. Or, l’énoncé nous indique au tout début que « l’effectif de la population est globalement constant ». Donc v_0 + c_0 représente la population totale. Ayant constaté cela, on peut conclure :

v_0 + c_0 représente la population totale donc, à long terme, \dfrac{1}{6} de cette population vivra en ville, tandis que \dfrac{5}{6} vivront à la campagne.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Spé Maths France Métropole Exercice 4.

Exprimez vous!