Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4

Enoncé

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 3, u_1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à  0 :

u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n.

Question 1

Calculer u_2 et u_3.

Allez, on commence l’exercice en douceur. Il s’agit simplement d’utiliser la relation de récurrence qui définit la suite (u_n) pour calculer u_2 et u_3 :

u_2 = 5u_{1} - 6u_0 = 5 \times 8 - 6 \times 3 = 40 - 18 = 22
u_3 = 5u_2 - 6u_1 = 5 \times 22 - 6 \times 8 = 110 - 48 = 62

Question 2

Pour tout entier naturel n \geq 2, on souhaite calculer u_n à l’aide de l’algorithme suivant :

Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4 2013-li-exo4s-1

a. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.

Examinons le contenu des variables a, b et c au cours de cet algorithme. Pour n’avoir à passer qu’une seule fois dans la boucle « Pour », on va supposer que l’utilisateur a saisi la valeur 2 pour n. C’est donc u_2 que l’on cherche à obtenir.

Initialisation

a prend la valeur 3
b prend la valeur 8

Rien n’est dit sur la variable c. Elle reste donc vide. On a alors :

Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4 2013-li-exo4s-2

Traitement

Quant au traitement, il s’agit d’une boucle « Pour ». Ici, on a dit qu’on prenait n = 2. Comme la boucle doit être effectuée pour i valant de 2 à n, cela signifie qu’on passe par la boucle tant que i est compris entre 2 et 2 ! Autrement dit, si n = 2, on ne passe dans la boucle qu’une seule fois !

c prend la valeur a

Cette instruction donne :

Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4 2013-li-exo4s-3

a prend la valeur b

Cette instruction donne à son tour :

Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4 2013-li-exo4s-4

A ce stade :

  • c contient u_0 ;
  • a contient u_1.

Or, on souhaite que b contienne u_2 puisque c’est la variable b que l’on affiche à la fin de l’algorithme.

Donc, on doit affecter à b, la valeur 5u_1 - 6u_0 ce qui, en fonction des variables a et c, vaut 5a - 6c.

Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4 2013-li-exo4s-5

Autrement dit, l’algorithme proposé par l’énoncé doit être complété par :

b prend la valeur 5a - 6c

b. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :

Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4 2013-li-exo4s-6

Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (u_n) ?

Conjecturer le comportement d’une suite, c’est faire des hypothèses sur :

  • son sens de variation (croissante, décroissante ou « oscillante ») ;
  • son éventuelle convergence (auquel cas, il faut préciser la limite) ou divergence (vers +\infty ou -\infty).

Ici, cela donne :

La suite (u_n) semble croissante et diverger vers +\infty.

Question 3

Pour tout entier naturel n, on note C_n la matrice colonne \begin{pmatrix}u_{n+1} \\u_n\end{pmatrix}.
On note A la matrice carrée d’ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n, C_{n+1} = AC_n.

Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, C_n = A^nC_0.

Détermination de la matrice A

Puisque nous ne connaissons encore rien sur la matrice A, posons simplement que A vaut \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} :

On pose A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}.

Puis, sachant que C_n = \begin{pmatrix}u_{n+1} \\u_n\end{pmatrix} et donc que C_{n+1} = \begin{pmatrix}u_{n+2} \\u_{n+1}\end{pmatrix} traduisons la relation C_{n+1} = AC_n :

C_{n+1} = AC_n

\Leftrightarrow \begin{pmatrix}u_{n+2} \\u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{n+1} \\u_n\end{pmatrix}

\Leftrightarrow \begin{pmatrix}u_{n+2} \\u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}u_{n+1} + a_{12}u_n \\a_{21}u_{n+1} + a_{22}u_n\end{pmatrix}

Or :

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux.

Cela nous permet d’en déduire que :

Lorsque deux matrices sont égales, les coefficients des deux matrices qui se trouvent à la même ligne et à la même colonne sont égaux.

Ici, cela donne donc :

On obtient donc le système d’équations linéaires suivant :
\begin{cases}u_{n+2} = a_{11}u_{n+1} + a_{12}u_n \\u_{n+1} = a_{21}u_{n+1} + a_{22}u_n\end{cases}.

Traitons chacune de ces égalités séparément :

  • u_{n+2} = a_{11}u_{n+1} + a_{12}u_n : ne connaissez-vous pas une relation qui lie précisément u_{n+2}, u_{n+1} et u_{n} qui vous permettrait de choisir les valeurs adéquates pour a_{11} et a_{12} ?
  • u_{n+1} = a_{21}u_{n+1} + a_{22}u_n : n’y a-t-il pas de valeurs « simples » à choisir pour a_{21} et a_{22} ?
  • Ah bah si ! Il s’agit de la relation de récurrence qui définit la suite (u_n) ! u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n ! Donc on peut prendre a_{21} = 5 et a_{22} = -6.
  • Il suffit de prendre a_{21} = 1 et a_{22} = 0, non ?

Exactement !

Or, la relation de récurrence qui définit la suite (u_n) indique que u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n donc a_{11} = 5 et a_{12} = -6 conviennent.

Quant à la deuxième équation obtenue, elle nous permet d’indiquer que a_{21} = 1 et a_{22} = 0 conviennent.

On en déduit A :

Donc la matrice A = \begin{pmatrix}5 & -6 \\1 & 0\end{pmatrix} convient.

Preuve que C_n = A^nC_0

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, C_n = A^nC_0.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’égalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Pour effectuer l’initialisation, vous aurez besoin du rappel de cours suivant :

Soit M une matrice carrée d’ordre n.
M^0 = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n : I_n=\left( \begin{array}{ccc}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{array}\right).
Initialisation
A^0 \times C_0 = I_n \times C_0 = C_0 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que C_k = A^kC_0. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que C_{k+1} = A^{k+1}C_0.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la seconde solution et partir de C_{k+1} et faire apparaître C_k :

Par définition de la matrice A, C_{k+1} = AC_k.

Eh oui ! La matrice A a été définie ci-dessus justement pour permettre cette relation qui fait bien apparaître C_k à partir de C_{k+1}. Poursuivons :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, on a C_k = A^kC_0. On en déduit :
C_{k+1} = A(A^kC_0)

Et là, le cours va nous être utile puisque :

La multiplication de matrices est associative. Autrement dit, (AB)C = A(BC).

Donc A(A^kC_0) = (AA^k)C_0 d’où :

... = (AA^k)C_0 = A^{k+1}C_0
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, C_n = A^nC_0.

Question 4

Soient P = \begin{pmatrix}2 & 3 \\1 & 1\end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 3\end{pmatrix} et Q = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\1 & -2\end{pmatrix}.
Calculer QP.
On admet que A = PDQ.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, A^n = PD^nQ.

Calcul de QP

QP = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3 \\1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \times 2 + 3 \times 1 & -1 \times 3 + 3 \times 1 \\1 \times 2 + (-2) \times 1 & 1 \times 3 + (-2) \times 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = I_2

Preuve que A^n = PD^nQ

Et c’est reparti pour une récurrence :

Initialisation
P\underbrace{D^0}_{I_2}Q = \underbrace{PI_2}_PQ = PQ.
... = I_2 d’après ce qui précède !

Pas si vite, jeune padawan ! Ce qui précède, c’est QP = I_2. Or, je rappelle que le produit de matrices n’est pas commutatif : dans le cas général, PQ n’est pas égal à QP !

Néanmoins, ce qui nous sauve ici, c’est que le résultat du produit que l’on a calculé est I_2, ce qui nous permet d’appliquer la chose suivante :

Soient A et B deux matrices d’ordre n.
Si AB = I_n, alors A et B sont des matrices inverses et dans ce cas, BA est aussi égal à I_n.

Ainsi, on peut écrire :

Or, d’après ce qui précède, QP = I_2 donc Q et P sont inverses d’où PQ est aussi égal à I_2.
Mais c’est ce que j’ai dit !

Oui mais il faut le justifier pour montrer que vous maîtrisez votre cours ! Et je suis certain que le correcteur attend cette justification. Sinon, pour vous faciliter la tâche, l’énoncé vous aurait demandé de calculer PQ directement à la place de QP.

Bref, cela nous permet de conclure cette initialisation :

Par ailleurs, A^0 = I_2. Donc finalement, on a bien A^0 = PD^0Q : la propriété est vérifiée au rang  0 .

Vous remarquerez que si nous n’avions pas trouvé I_2 comme résultat au produit QP, nous n’aurions jamais pu initialiser la récurrence. Dans ce cas, cela doit vous faire vous poser des questions sur votre calcul de QP !

Passons à l’hérédité :

Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que A^k = PD^kQ. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que A^{k+1} = PD^{k+1}Q.

Comme à la preuve par récurrence précédente, il faut partir d’éléments du rang k + 1 et faire apparaître des éléments du rang k. Ici, il suffit d’écrire que :

A^{k+1} = AA^k

En effet, en faisant ainsi, on fait apparaître un lien entre :

  • un élément du rang k + 1 : A^{k+1} ;
  • un élément du rang k : A^{k}.

Or :

D’après l’énoncé, A = PDQ et l’hypothèse de récurrence, elle, nous indique que A^k = PD^kQ donc on a :
A^{k+1} = AA^k

= PD\underbrace{QP}_{I_n}D^kQ
= PDD^kQ
= PD^{k+1}Q : la propriété est vérifiée au rang k + 1.

Il ne reste donc plus qu’à conclure :

Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, A^n = PD^nQ.

Question 5

A l’aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l’on admet.
Pour tout entier naturel non nul n,

A^n = \begin{pmatrix}-2^{n+1} + 3^{n+1} & 3 \times 2^{n+1} - 2 \times 3^{n+1} \\-2^{n} + 3^{n} & 3 \times 2^{n} - 2 \times 3^{n}\end{pmatrix}

En déduire une expression de u_n en fonction de n.
La suite (u_n) a-t-elle une limite ?

Expression de u_n en fonction de n

Pour déterminer une expression de u_n en fonction de n, il faut comprendre la structure, ô combien classique, de cet exercice.

Au départ, on nous présente une suite (u_n). Elle a quelque chose qui ne nous plaît pas trop, cette suite (u_n)

Ah bon ? Quoi donc ?

Elle est définie par une relation de récurrence ! Et ça, ce n’est pas top ! C’est pas mal, puisque cela permet quand même de calculer les termes de cette suite, mais ce n’est pas le plus confortable !

Pourquoi ?

Car, avec une telle définition, pour calculer un terme de rang n donné, il faut avoir calculé tous les termes précédents ! Par exemple, si nous voulons calculer u_5, il faut calculer u_4 et u_3 ! Mais pour calculer u_4, il faut calculer u_3 et u_2 ! Et pour calculer u_3, il faut calculer u_2 (u_1, lui, est donné) ! Vous vous doutez bien que, dans ces conditions, pour obtenir u_{500}, il faut un nombre de calculs considérable !

Le but de l’exercice est d’éviter cela en déterminant une expression de u_n qui ne dépend que de n, ce qui permettrait alors un calcul direct, quel que soit le rang n choisi.

Pour ce faire, l’exercice introduit les matrices C_n et C_{n+1} et nous demande de prouver qu’elles peuvent être liées par la relation C_{n+1} = AC_nA est constitué de coefficients qui ne dépendent pas de n.

Cela nous a alors amenés à prouver que C_n = A^nC_0. Et ça, c’est un progrès, car, partis d’une relation qui liait les rangs n et n+1, nous sommes arrivés à une relation où seul le rang n intervient !

Il faudrait alors calculer A^n (comme dans cet exercice) mais ici, l’énoncé le fait pour nous et nous donne directement l’expression de A^n.

Muni de cela, il est alors possible de calculer C_n en fonction de n uniquement :

C_n = A^nC_0 = \begin{pmatrix}-2^{n+1} + 3^{n+1} & 3 \times 2^{n+1} - 2 \times 3^{n+1} \\-2^{n} + 3^{n} & 3 \times 2^{n} - 2 \times 3^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1 \\u_0\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}(-2^{n+1} + 3^{n+1})u_1 + (3 \times 2^{n+1} - 2 \times 3^{n+1})u_0 \\(-2^{n} + 3^{n})u_1 + (3 \times 2^{n} - 2 \times 3^{n})u_0\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}(3u_0 - u_1)2^{n+1} + (-2u_0 + u_1)3^{n+1} \\(3u_0 - u_1)2^n + (-2u_0 + u_1)3^n\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}(3 \times 3 - 8)2^{n+1} + (-2 \times 3 + 8)3^{n+1} \\(3 \times 3 - 8)2^n + (-2 \times 3 + 8)3^n\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}2^{n+1} + 2 \times 3^{n+1} \\2^n + 2 \times 3^n\end{pmatrix}

Et là, on a gagné ! On vient de prouver que C_n = \begin{pmatrix}2^{n+1} + 2 \times 3^{n+1} \\2^n + 2 \times 3^n\end{pmatrix}. Or, C_n = \begin{pmatrix}u_{n+1} \\u_{n}\end{pmatrix} donc \begin{pmatrix}u_{n+1} \\u_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2^{n+1} + 2 \times 3^{n+1} \\2^n + 2 \times 3^n\end{pmatrix}.

Je rappelle encore une fois que :

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux.

Nous pouvons donc conclure :

Donc u_{n} = 2^n + 2 \times 3^n.

L’expression trouvée ne dépend bien que de n, ce qui nous permet de calculer n’importe quel terme de la suite (u_n) sans avoir à calculer les termes précédents. On a bien atteint le but de l’exercice.

Limite de la suite (u_n)

Etant donné l’expression de u_n, la portion suivante du cours doit immédiatement vous venir à l’esprit :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, on peut donc écrire :

2 ~\textgreater ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~2^n = +\infty. De même, 3 ~\textgreater ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~3^n = +\infty.
D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = +\infty.
Donc la suite (u_n) n’a pas de limite, elle diverge vers +\infty.

On remarque que le comportement de la suite (u_n) lorsque n tend vers +\infty correspond bien à la conjecture exprimée à la question 2. b. Si, en faisant cet exercice seul, vous n’aboutissez pas à la même conclusion, vous devez vous poser des questions sur l’exactitude de vos raisonnements.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Spé Maths Liban Exercice 4.

Exprimez vous!