Bac S 2013 Spé Maths Polynésie Exercice 4

Enoncé

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel n, on note a_n le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la n-ième année après 2013, et b_n le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la n-ième année après 2013.
Ainsi, a_0 = 300 et b_0 = 300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel n, \begin{cases}a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70\end{cases}.

On considère les matrices M = \begin{pmatrix}0,7 & 0,2 \\0,1 & 0,6\end{pmatrix} et P = \begin{pmatrix}60 \\70\end{pmatrix}.

Pour tout entier naturel n, on note U_n = \begin{pmatrix}a_n \\b_n\end{pmatrix}.

Question 1

a. Déterminer U_1.

Pas de difficulté particulière ici. Il s’agit bien sûr de calculer a_1 et b_1 :

U_1 = \begin{pmatrix}a_1 \\b_1\end{pmatrix}
Or, \begin{cases}a_{1} = 0,7a_0 + 0,2b_0 + 60 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330 \\b_{1} = 0,1a_0 + 0,6b_0 + 70 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280\end{cases}
D’où U_1 = \begin{pmatrix}330 \\280\end{pmatrix}.

b. Vérifier que, pour tout entier naturel n, U_{n+1} = M \times U_n + P.

Ecrivons calmement ce que vaut U_{n+1} :

U_{n+1} = \begin{pmatrix}a_{n+1} \\b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\0,1a_n + 0,6b_n + 70\end{pmatrix}.

Calculons maintenant M \times U_n + P :

M \times U_n + P = \begin{pmatrix}0,7 & 0,2 \\0,1 & 0,6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n \\b_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}60 \\70\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,7a_n + 0,2b_n \\0,1a_n + 0,6b_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}60 \\70\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\0,1a_n + 0,6b_n + 70\end{pmatrix}.

La conclusion est alors évidente :

Donc U_{n+1} = MU_n + P.
La multiplication de matrices est un savoir-faire simple (une fois qu’on l’a bien compris) qu’il faut absolument maîtriser. Il ne faut donc pas hésiter à s’entraîner au cours de l’année à faire de nombreux calculs.

Question 2

On note I la matrice \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}.

a. Calculer (I - M) \times \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix}.

Calculons d’abord I - M

I - M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0,7 & 0,2 \\0,1 & 0,6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,3 & -0,2 \\-0,1 & 0,4\end{pmatrix}.

…puis multiplions le résultat par la matrice \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} :

D’où :
(I - M)\begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,3 & -0,2 \\-0,1 & 0,4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,2 - 0,2 & 0,6 - 0,6 \\-0,4 + 0,4 & -0,2 + 1,2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} = I.

b. En déduire que la matrice I - M est inversible et préciser son inverse.

Petit rappel de cours :

Une matrice carrée A de taille n est une matrice inversible s’il existe une matrice B telle que AB = BA = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n : I_n=\left( \begin{array}{ccc}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{array}\right).
La matrice B, notée A^{-1} est appelée la matrice inverse de A.

A la question précédente, on vient de trouver que (I - M) \times \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} = I, où I est en fait I_2. Vous devez donc vous demander qui, dans cet exercice, joue les rôles de A et B.

Hum… On a (I - M) \times \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} = I avec I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} donc, si je compare au rappel de cours :
  • I - M joue le rôle de A ;
  • \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} joue le rôle B.

Cela veut donc dire que I - M est inversible et que \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} est la matrice inverse de I - M.

Je ne l’aurais pas mieux dit :

D’après la question précédente, on a :
(I - M)\begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix} = I donc I - M est inversible et son inverse vaut \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix}.

c. Déterminer la matrice U telle que U = M \times U + P.

Allons-y doucement :

U = MU + P

 
\Leftrightarrow U - MU = P

Et là, on factorise par U ! Ca donne U(I - M) = P !

Eh non ! Si on développe U(I - M), j’obtiens U - UM et non pas U - MU !

Bah quoi ? UM ou MU, c’est pareil !

Bah non ! Je rappelle que :

Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n. Dans le cas général, AB \neq BA.

Pour factoriser correctement l’expression U - MU, il faut imaginer que la matrice identité est placée à gauche du premier U : U - MU = IU - MU = (I - M)U. On doit donc écrire :

\Leftrightarrow (I - M)U = P
Et là, on divise par I-M !

Surtout pas malheureux ! Diviser des matrices, ça n’existe pas ! Il faut multiplier à gauche par la matrice inverse de I - M pour l’annuler :

\Leftrightarrow (I - M)^{-1}(I - M)U = (I - M)^{-1}P

En effet, en s’appuyant sur la portion du cours suivante :

Soit A une matrice carrée inversible d’ordre n.
AA^{-1} = A^{-1}A = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n : I_n=\left( \begin{array}{ccc}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{array}\right).

on obtient :

\Leftrightarrow IU = (I - M)^{-1}P

D’où, puisque IU = U :

\Leftrightarrow U = (I - M)^{-1}P

Or, P est une donnée de l’énoncé et (I - M)^{-1} a été déterminé à la question précédente donc on peut les remplacer par leurs valeurs respectives :

\Leftrightarrow U = \begin{pmatrix}4 & 2 \\1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}60 \\70\end{pmatrix}
\Leftrightarrow U = \begin{pmatrix}4 \times 60 + 2 \times 70 \\1 \times 60 + 3 \times 70\end{pmatrix}
\Leftrightarrow U = \begin{pmatrix}380 \\270\end{pmatrix}

Question 3

Pour tout entier naturel, on pose V_n = U_n - U.

a. Justifier que, pour tout entier naturel n, V_{n+1} = M \times V_n.

Pour répondre à cette question, aucune astuce particulière ni aucune portion de cours ne m’est venue à l’esprit. J’ai alors fait ce que je fais toujours dans ces cas-là : j’ai écrit ce que je savais à ce stade de l’exercice.

Par définition, V_n = U_n - U donc V_{n+1} = U_{n+1} - U.
Or :
  • U_{n+1} = MU_n + P ;
  • U = MU + P ;

Donc on obtient :
V_{n+1} = MU_n + P - (MU + P) = MU_n + P - MU - P = MU_n - MU

Bien sûr, arrivé ici, réflexe : je factorise par M.

... = M(U_n - U)

Or, U_n - U = V_n, ce qui me permet de conclure :

... = MV_n.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, V_n = M^n \times V_0.

Ici, on va utiliser le raisonnement par récurrence.

Ah bon ? Mais comment sais-tu qu’il faut utiliser le raisonnement par récurrence ?

A vrai dire, on n’a pas vraiment le choix. V_n est définie par récurrence : autrement dit, on ne connait pas (encore) d’expression « autonome » de V_n (c’est-à-dire une expression qui nous permettrait de calculer V_n quel que soit n sans avoir à calculer les termes qui le précèdent). Or, on nous demande ici de prouver une égalité où V_n apparaît seul, sans V_{n+1}. La seule façon de démontrer cela est donc de le supposer au rang n et de montrer que cela est alors vrai au rang n+1 : c’est l’objet du raisonnement par récurrence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, V_n = M^n \times V_0.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’égalité « pour tout entier naturel n ». Il faut donc commencer par n = 0. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel non nul », il aurait fallu commencer par n = 1.

Pour effectuer l’initialisation, vous aurez besoin du rappel de cours suivant :

Soit M une matrice carrée d’ordre n.
M^0 = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n : I_n=\left( \begin{array}{ccc}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{array}\right).
Initialisation
M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0 donc la propriété est vérifiée pour n = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que V_k = M^k \times V_0. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que V_{k+1} = M^{k+1} \times V_0.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la seconde solution et partir de V_{k+1} et faire apparaître V_k :

D’après la question précédente, V_{k+1} = MV_k.
Or, d’après l’hypothèse de récurrence, on a V_k = M^kV_0. On en déduit :
V_{k+1} = M(M^kV_0)

Et là, le cours va nous être utile puisque :

La multiplication de matrices est associative. Autrement dit, (AB)C = A(BC).

Donc M(M^kV_0) = (MM^k)V_0 d’où :

... = (MM^k)V_0 = M^{k+1}V_0
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, V_n = M^n \times V_0.

Question 4

On admet que, pour tout entier naturel n, V_n = \begin{pmatrix}    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n   \end{pmatrix}.

a. Pour tout entier naturel n, exprimer U_n en fonction de n et en déduire la limite de la suite (a_n).

Par définition, on sait que :

V_n = U_n - U

ce qui nous permet d’en déduire U_n :

D’où U_n = V_n + U = \begin{pmatrix}    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n   \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}380 \\270\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270   \end{pmatrix}

Reste à faire le lien entre U_n et a_n :

Or U_n = \begin{pmatrix}a_n \\b_n\end{pmatrix} d’où a_n = \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380.

Etant donné la limite qu’il s’agit de calculer, la portion suivante du cours doit immédiatement vous venir à l’esprit :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, cela donne :

-1 ~\textless ~0,8 ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~0,8^n = 0. De même, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~0,5^n = 0.

D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a_n = 380.

b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.

Dans cette dernière question, il y a une expression qui a fait « tilt » chez moi, et qui doit donc faire « tilt » chez vous…

Ne serait-ce pas l’expression « à long terme » qui évoque indéniablement le calcul d’une limite ?

Exactement ! Il s’agit bien du calcul d’une limite. Reste à savoir laquelle…

L’énoncé nous demande d’estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme. Or, le nombre d’abonnés de l’opérateur A est représenté en milliers par la suite a_n

…donc il s’agit tout simplement de calculer la limite de (a_n) lorsque n tend vers l’infini !

Et comme par hasard, on nous a demandé de calculer précisément cette limite à la question précédente. La conclusion est donc immédiate :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a_n = 380 donc le nombre d’abonnés de l’opérateur A sera de 380 000 à long terme.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Spé Maths Polynésie Exercice 4.

Exprimez vous!