Bac S 2013 Spé Maths Pondichéry Exercice 3

Enoncé

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.
Pour tout entier naturel n, on note j_n le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et a_n le nombre d’animaux adultes après n années d’observation.
Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
Ainsi j_0 = 200 et a_0 = 500.
On admet que pour tout entier naturel n on a :

\begin{cases}j_{n+1} = 0,125j_n +0,525a_n \\a_{n+1} = 0,625j_n +0,625a_n\end{cases}

On introduit les matrices suivantes :
A = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix} et, pour tout entier naturel n, U_n = \begin{pmatrix}j_n \\a_n\end{pmatrix}.

Question 1

a. Montrer que pour tout entier naturel n, U_{n+1} = A \times U_n.

On n’a pas 50 000 choix possibles pour répondre à cette question : calculons A \times U_n. Si tout se passe bien, cela devrait nous donner U_{n+1} :

Pour tout entier naturel n, on a :
A \times U_n = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j_n \\a_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,125j_n + 0,525a_n \\0,625j_n + 0,625a_n\end{pmatrix}

0r, 0,125j_n + 0,525a_n, c’est très précisément…

j_{n+1} ! Et 0,625j_n + 0,625a_n, c’est a_{n+1} !

Exactement ! Donc on peut écrire :

... = \begin{pmatrix}j_{n+1} \\a_{n+1}\end{pmatrix} = U_{n+1}

b. Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

Puisque le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation est donné par j_n, pour avoir le nombre d’animaux jeunes après un an, je vais simplement calculer j_1. De même avec le nombre d’animaux adultes en calculant a_1.

Pourquoi calculer séparément j_1 et a_1 alors qu’on dispose du formalisme des matrices qui permet de les calculer « en même temps » en calculant U_1 ?

Personnellement, je choisis donc de calculer U_1. J’en déduirai simplement j_1 et a_1 :

U_1 = A \times U_0 = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j_0 \\a_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix}\begin{pmatrix}200 \\500\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,125 \times 200 + 0,525 \times 500 \\0,625 \times 200 + 0,625 \times 500\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}287,5 \\437,5\end{pmatrix}

Le coefficient du haut est j_1 et le coefficient du bas est a_1. Donc, en les arrondissant bien à l’unité par défaut, comme demandé, on peut affirmer que :

Après un an d’observation, la population est constituée de 287 jeunes et de 437 adultes.

Pour avoir la population après deux ans d’observation, comment fait-on ?

On calcule U_2 !

Je vois que ça rentre !

U_2 = A \times U_1 = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j_1 \\a_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix}\begin{pmatrix}287,5 \\437,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,125 \times 287,5 + 0,525 \times 437,5 \\0,625 \times 287,5 + 0,625 \times 437,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}265,625 \\453,125\end{pmatrix}

Vous remarquerez que pour calculer U_2, j’ai utilisé les valeurs exactes de U_1 et non pas les valeurs arrondies à l’unité par défaut. C’est un choix personnel pour ne pas cumuler les approximations. La conclusion, elle, est donnée en faisant bien l’arrondi à l’unité par défaut :

Après deux ans d’observation, la population est constituée de 265 jeunes et de 453 adultes.

c. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U_n en fonction de A^n et de U_0.

Avant de le prouver de la façon la plus rigoureuse qui soit, essayons de voir « simplement » ce que vaut U_n en fonction de A^n et U_0.

Sommes-nous tous d’accord que U_n = A \times U_{n-1} ?

Ouais. Comme U_{n+1} = A \times U_n d’après la question a., en appliquant cette relation, non plus à U_{n+1} mais à U_n, on décale d’un rang donc U_n = A \times U_{n-1}.

OK. Mais U_{n-1}, on peut aussi le remplacer en appliquant la même relation au rang n - 1 : U_{n-1} = A \times U_{n-2}. Ce qui donne :

U_n = A \times U_{n-1} = A \times \underbrace{(A \times U_{n-2})}_{U_{n-1}}

Or, la multiplication de matrices est associative.

Associative ? Ca veut dire quoi ça, déjà ?

Petit rappel :

La multiplication de matrices est associative, c’est-à-dire que A(BC) = (AB)C.

Donc, on peut déplacer les parenthèses :

U_n = (A \times A) \times U_{n-2} = A^2 \times U_{n-2}

Faisons la même manipulation encore une fois avec U_{n-2} pour être sûr que vous avez bien compris le truc :

U_n = A^2 \times U_{n-2} = A^2 \times \underbrace{(A \times U_{n-3})}_{U_{n-2}} = (A^2 \times A) \times U_{n-3} = A^3 \times U_{n-3}

En continuant comme ça en remplaçant U_{n-3}, puis U_{n-4}, … on finit par tomber sur :

U_n = A^n \times U_0

Passons maintenant à la preuve « rigoureuse ». Il s’agit d’une preuve par récurrence (pour information, certains sujets vous demandent directement cette preuve par récurrence, comme ici) :

Montrons par récurrence que, pour tout n entier naturel non nul, U_n = A^n \times U_0.

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’égalité « pour tout n entier naturel non nul ». Il faut donc commencer par n = 1. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel [tout court] », il aurait fallu commencer par n = 0.

Initialisation
A^1 \times U_0 = A \times U_0 = U_1 d’après la relation démontrée à la question 1. a. donc la propriété est démontrée au rang 1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}^*) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que U_k = A^k \times U_0. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que U_{k+1} = A^{k+1} \times U_0.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la seconde solution et partir de U_{k+1} et faire apparaître U_k :

D’après la question 1. a., U_{k+1} = A \times U_k.

Je n’ai fait qu’appliquer la relation de la question 1. a. au rang k + 1. Poursuivons :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence, on a U_k = A^k \times U_0. On en déduit :
U_{k+1} = A \times \underbrace{(A^k \times U_0)}_{U_k}

Et là, l’associativité de la multiplication des matrices va à nouveau nous être utile : A \times (A^k \times U_0) = (A \times A^k) \times U_0 d’où :

... = (A \times A^k) \times U_0 = A^{k + 1} \times U_0
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 1. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n non nul, U_n = A^n \times U_0.

Question 2

On introduit les matrices suivantes Q = \begin{pmatrix}7 & 3 \\-5 & 5\end{pmatrix} et D = \begin{pmatrix}-0,25 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}.

a. On admet que la matrice Q est inversible et que Q^{-1} = \begin{pmatrix}0,1 & -0,06 \\0,1 & 0,14\end{pmatrix}.
Montrer que Q \times D \times Q^{-1} = A.

C’est parti pour le calcul d’un produit de matrices :

Q \times D \times Q^{-1} = \begin{pmatrix}7 & 3 \\-5 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-0,25 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}Q^{-1} = \begin{pmatrix}7 \times (-0,25) + 3 \times 0 & 7 \times 0 + 3 \times 1 \\-5 \times (-0,25) + 5 \times 0 & -5 \times 0 + 5 \times 1\end{pmatrix}Q^{-1}
= \begin{pmatrix}-1,75 & 3 \\1,25 & 5\end{pmatrix}Q^{-1} = \begin{pmatrix}-1,75 & 3 \\1,25 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,1 & -0,06 \\0,1 & 0,14\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}-1,75 \times 0,1 + 3 \times 0,1 & -1,75 \times (-0,06) + 3 \times 0,14 \\1,25 \times 0,1 + 5 \times 0,1 & 1,25 \times (-0,06) + 5 \times 0,14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,125 & 0,525 \\0,625 & 0,625\end{pmatrix} = A.

b. Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : A^n = Q \times D^n \times Q^{-1}.

Et c’est reparti pour une récurrence :

Initialisation
Q \times D^1 \times Q^{-1} = Q \times D \times Q^{-1} = A d’après la question 2. a. donc la propriété est vérifiée au rang  1 .

Passons à l’hérédité :

Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}^*. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que A^k = Q \times D^k \times Q^{-1}. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que A^{k+1} = Q \times D^{k+1} \times Q^{-1}.

Comme à la preuve par récurrence précédente, il faut partir d’éléments du rang k + 1 et faire apparaître des éléments du rang k. Ici, il suffit d’écrire que :

A^{k+1} = A \times A^k

En effet, en faisant ainsi, on fait apparaître un lien entre :

  • un élément du rang k + 1 : A^{k+1} ;
  • un élément du rang k : A^{k}.

Or :

D’après la question 2. a., A = Q \times D \times Q^{-1} et l’hypothèse de récurrence, elle, nous indique que A^k = Q \times D^k \times Q^{-1} donc on a :
A^{k+1} = A \times A^k

= Q \times D \times \underbrace{Q^{-1} \times Q}_{I_n} \times D^k \times Q^{-1}

Remarquez bien le I_n qui apparaît :

Soit A une matrice carrée d’ordre n.

  • A^0 = I_nI_n est la matrice identité d’ordre n (= « n lignes, n colonnes ») : I_n = \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1\end{pmatrix}
  • AI_n = I_nA = A
  • De plus, si la matrice A est inversible, AA^{-1} = A^{-1}A = I_n

En un mot :

Si une matrice A est inversible, AA^{-1} ou A^{-1}A, ça se simplifie (= ça disparaît) !

Ici, cela donne :

... = Q \times D \times D^k \times Q^{-1}

= Q \times D^{k+1} \times Q^{-1} : la propriété est vérifiée au rang k + 1.

Il ne reste donc plus qu’à conclure :

Conclusion
La propriété est vraie pour n = 1. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n non nul, A^n = Q \times D^n \times Q^{-1}.

c. Pour tout entier naturel n non nul, déterminer D^n en fonction de n.

En regardant l’expression de la matrice D, quelque chose doit immédiatement vous sauter aux yeux.

C’est une matrice diagonale !

Exactement ! Pour ceux qui ne se souviennent pas ce que c’est, petit rappel :

Une matrice diagonale est une matrice carrée de la forme :
D_n = \begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}

Autrement dit, une matrice « diagonale » est une matrice dont seuls les coefficients sur la diagonale sont non nuls.

Or, les matrices diagonales possèdent une propriété extrêmement intéressante :

Soit D_n = \begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix} une matrice diagonale à coefficients réels (c’est-à-dire que pour tout i compris entre 1 et n, a_{ii} est un nombre réel).

Alors, pour tout k entier naturel, D_n^k = \begin{pmatrix}a_{11}^k & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & a_{nn}^k\end{pmatrix}

Par conséquent, pour élever une matrice diagonale à la puissance k, il suffit d’élever chacun de ses coefficients non nuls à la puissance k. Dans le cas présent, cela donne donc :

D est une matrice diagonale donc, pour tout n entier naturel non nul, D^n = \begin{pmatrix}(-0,25)^n & 0 \\0 & 1^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-0,25)^n & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}.

Question 3

On admet que pour tout entier naturel n non nul,

A = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n & 0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n & 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n \\\end{pmatrix}

a. En déduire les expressions de j_n et a_n en fonction de n et déterminer les limites de ces deux suites.

Expression de u_n en fonction de n

Pour déterminer une expression de j_n et de a_n en fonction de n, il faut comprendre la structure, ô combien classique, de cet exercice.

Au départ, on nous présente deux suites (j_n) et (a_n). Elles ont quelque chose qui ne nous plaît pas trop, ces suites (j_n) et (a_n)

Ah bon ? Quoi donc ?

Elles sont définies par une relation de récurrence ! Et ça, ce n’est pas top ! C’est pas mal, puisque cela permet quand même de calculer les termes de ces suites, mais ce n’est pas le plus confortable !

Pourquoi ?

Car, avec une telle définition, pour calculer un terme de rang n donné, il faut avoir calculé tous les termes précédents ! Par exemple, si nous voulons calculer j_4, il faut calculer j_3 et j_2 ! Mais pour calculer j_3, il faut calculer j_2 et j_1 ! Et pour calculer j_2, il faut calculer j_1 (j_1, lui, est donné) ! Et en plus, comme l’expression de j_{n+1} dépend également de a_n, il faut également avoir calculé a_3, a_2 et a_1 (a_0, lui, est donné) ! Vous vous doutez bien que, dans ces conditions, pour obtenir j_{500}, il faut un nombre de calculs considérable !

Le but de l’exercice est d’éviter cela en déterminant une expression de j_n et de a_n qui ne dépendent que de n, ce qui permettrait alors un calcul direct, quel que soit le rang n choisi.

Pour ce faire, l’exercice introduit la matrice U_n et nous demande de prouver la relation U_{n+1} = AU_nA est constitué de coefficients qui ne dépendent pas de n.

Cela nous a alors amenés à prouver que U_n = A^nU_0. Et ça, c’est un progrès, car, partis d’une relation qui liait les rangs n et n+1, nous sommes arrivés à une relation où seul le rang n intervient !

Il faudrait alors calculer A^n (comme dans cet exercice) mais ici, l’énoncé le fait pour nous et nous donne directement l’expression de A^n.

Muni de cela, il est alors possible de calculer U_n en fonction de n uniquement :

Pour tout n entier naturel non nul,
U_n = A^nU_0 = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n & 0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n & 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}j_0 \\a_0\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}(0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n)j_0 + (0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n)a_0 \\(0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n)j_0 + (0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n)a_0\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}0,3j_0 + 0,7 \times (- 0,25)^nj_0 + 0,42a_0 - 0,42 \times (- 0,25)^na_0 \\0,5j_0 - 0,5 \times (- 0,25)^nj_0 + 0,7a_0\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^na_0\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}0,3 \times 200 + 0,7 \times (- 0,25)^n \times 200 + 0,42 \times 500 - 0,42 \times (- 0,25)^n \times 500 \\0,5 \times 200 - 0,5 \times (- 0,25)^n \times 200 + 0,7\phantom{0} \times 500 + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n \times 500\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}60\phantom{0} + 140 \times (- 0,25)^n + 210 - 210 \times (- 0,25)^n \\100 - 100 \times (- 0,25)^n + 350 + 150 \times (- 0,25)^n\end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}270 - 70 \times (- 0,25)^n \\450 + 50 \times (- 0,25)^n\end{pmatrix}

Et là, on a gagné ! On vient de prouver que U_n = \begin{pmatrix}270 - 70 \times (- 0,25)^n \\450 + 50 \times (- 0,25)^n\end{pmatrix}. Or, U_n = \begin{pmatrix}j_{n} \\a_{n}\end{pmatrix} donc \begin{pmatrix}j_{n} \\a_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}270 - 70 \times (- 0,25)^n \\450 + 50 \times (- 0,25)^n\end{pmatrix}.

Je rappelle encore une fois que :

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux.

Nous pouvons donc conclure :

Donc pour tout entier naturel n non nul, \begin{cases}j_{n} = 270 - 70 \times (- 0,25)^n \\a_{n} = 450 + 50 \times (- 0,25)^n\end{cases}.

L’expression trouvée ne dépend bien que de n, ce qui nous permet de calculer n’importe quel terme des suites (j_n) et (a_n) sans avoir à calculer les termes précédents. On a bien atteint le but de l’exercice.

Limites des suites (j_n) et (a_n)

Etant donné l’expression de j_n et a_n, la portion suivante du cours doit immédiatement vous venir à l’esprit :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Ici, on peut donc écrire :

-1 ~\textless ~-0,25 ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~(- 0,25)^n = 0.

D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~j_n = 270 et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~a_n = 450.

b. Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

Tout ce que l’on demande ici, c’est une interprétation des limites calculées :

Au fil des années, la population d’animaux tendra vers :
  • 270 jeunes ;
  • 450 adultes.

Fin de l’épreuve du Bac S 2013 Spé Maths Pondichéry Exercice 3.

Exprimez vous!