Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1

Enoncé

Les parties A et B sont indépendantes.

Les résultats seront arrondis à 10^{-4} près.

Partie A

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : « la plate » et « la japonaise ». Chaque année, les huîtres plates représentent 15 % de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n°3 lorsque leur masse est comprise entre 66 g et 85 g.
Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.

Question 1

Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur.
On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
On considère les événements suivants :

  • J : « l’huître prélevée est une huître japonaise » ;
  • C : « l’huître prélevée est de calibre n°3 ».

a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.

Comme le suggère l’énoncé, construisons un arbre pondéré. Pour cela, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : « la plate » et « la japonaise ».

En lisant cela, on sait que notre arbre pondéré va tout d’abord contenir deux branches :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-1
Chaque année, les huîtres plates représentent 15 % de sa production.

Cette information est une information relative à l’événement \overline{J} : en effet, si l’huître est plate, c’est qu’elle n’est pas japonaise. Ainsi, je peux indiquer les probabilités de chacune des deux branches de mon arbre, sachant que :

Lorsque l’on dispose d’un pourcentage, la probabilité associée correspond à la valeur du pourcentage divisée par 100.

Ici, cela donne donc :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-2
Hum… Je vois d’où viennent la probabilité 0,15 puisque l’énoncé indique que 15 % des huîtres sont plates. En revanche, d’où vient la probabilité 0,85 ?

Bonne question. En fait, il faut se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Ici, cela donne donc que P(J) + P(\overline{J}) = 1 d’où P(J) = 1 - P(\overline{J}) = 1 - 0,15 = 0,85.

Continuons à exploiter l’énoncé pour compléter notre arbre de probabilités :

Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.

Ainsi, pour chaque huître, après s’être demandé si elle était plate ou japonaise, on peut se demander si elle est de calibre n°3 ou non. Il faut donc faire partir deux branches à partir de chacun des deux noeuds définis plus haut :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-3

La fin de l’énoncé nous permet de renseigner quelques valeurs sur ces nouvelles branches :

Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre n°3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.

On peut donc compléter l’arbre pondéré de la façon suivante :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-4
…et si on applique la règle que tu as indiquée plus haut (« La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1 »), on peut compléter les deux valeurs de probabilités qui restent !

Exact :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-5

Cela termine l’arbre pondéré demandé.

b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3.

Quand on lit : « Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3 », il faut comprendre « Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate ET qu’elle est de calibre n°3. ». Autrement dit, c’est p(\overline{J} \cap C) qu’il faut déterminer.

Pour calculer la probabilité d’une intersection, une fois qu’on a réalisé un arbre de probabilité, il faut avoir le réflexe suivant :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-6

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1.a., la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n°3 vaut :
p(\overline{J} \cap C) = 0,15 \times 0,10 = 0,0150

c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n°3 est 0,695.

Pour répondre à cette question, vous devez à nouveau savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-7

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1.a., la probabilité d’obtenir une huître de calibre n°3 vaut :
p(C) = \underbrace{0,15 \times 0,10}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,85 \times 0,80}_{\text{chemin 2}} = 0,695.

d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre n°3. Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?

Clairement, l’énoncé souhaite ici que l’on calcule la probabilité conditionnelle p_C(\overline{J}). Pour calculer une probabilité conditionnelle ou la probabilité d’une intersection, un seul réflexe :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}
La probabilité que ce soit une huître plate vaut :
p_C(\overline{J}) = \dfrac{p(\overline{J} \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,0150}{0,695} = 0,0216.

Question 2

La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne \mu = 90 et d’écart-type \sigma = 2.

a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre 87 g et 89 g.

Dès que vous avez une question du type « Calculer P(a \leq X \leq b) », vous devez penser au théorème suivant :

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,68 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \simeq 0,95 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \simeq 0,997 à 10^{-3} près.

et vous dire « est-ce que les bornes a et b correspondent respectivement à

  • \mu - \sigma et \mu + \sigma ?
  • ou \mu - 2\sigma et \mu + 2\sigma ?
  • ou \mu - 3\sigma et \mu + 3\sigma ? »

Car, si c’est le cas, il suffit d’appliquer le rappel de cours. Sinon, il faut utiliser la calculatrice !

Ici :

  • \mu - \sigma = 90 - 2 = 88 et \mu + \sigma = 90 + 2 = 92 ;
  • \mu - 2\sigma = 90 - 2 \times 2 = 86 et \mu + 2\sigma = 90 + 2 \times 2 = 94 ;
  • ou \mu - 3\sigma = 90 - 3 \times 2 = 84 et \mu + 3\sigma = 90 + 3 \times 2 = 96.

Or :

  • 87 joue le rôle de a ;
  • 89 joue le rôle de b.

donc nous ne nous situons pas dans le cadre du rappel de cours. Il faut donc utiliser la calculatrice.

Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 4.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires au calcul de la probabilité cherchée apparaît.
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-8
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à calculer P(87 \le D \le 89) donc :

  • Lower Value : 87 ;
  • Upper Value : 89.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 90 et d’écart-type \sigma = 2 donc :

  • \mu : 90 ;
  • \sigma : 2.
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-9
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Cdf ».
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-10

On peut donc directement noter le résultat sur la copie :

D’après la calculatrice, on a P(87 \le D \le 89) = 0,2417 à 10^{-4} près.

b. Donner P(X \geq 91).

La calculatrice ne sait pas calculer les probabilités du type P(X \geq a). Elle ne sait calculer que les probabilités du type P(a \le X \le b).

Voici la méthode pour calculer les probabilités de type P(X \leq a) :

Pour calculer une probabilité du type P(X \le a)X suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma, il faut systématiquement appliquer la règle suivante :

  • Si a \ge \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 + P(\mu \le X \le a) ;
  • Si a \le \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 - P(a \le X \le \mu).
Eh mais attends, c’est pas P(X \leq 91) qu’on me demande mais P(X \geq 91) !

Je sais bien ! Il suffit donc d’écrire que :

P(X \geq 91) = 1 - P(X \leq 91)
Tu utilises la formule de l’événement contraire, mais l’événement contraire de « X \geq 91 » n’est-il pas plutôt « X ~\textless ~91 » ?

C’est vrai. Mais dans le cas des lois normales, « inférieur strict » (respectivement « supérieur strict »), c’est pareil que « inférieur ou égal » (respectivement « supérieur ou égal ») !

Ici, a = 91 et \mu = 90 donc a \ge \mu d’où on utilise le premier cas :

91 \ge \mu donc P(X \le 91) = 0,5 + P(\mu \le X \le 91).

Comme à la question précédente, on utilise la calculatrice pour déterminer P(\mu \le X \le 91) (je vous laisse faire !) :

D’après la calculatrice, on trouve P(\mu \le X \le 91) = 0,1915 donc :
P(X \le 91) = 0,5 + 0,1915 = 0,6915.

On en déduit :

D’où P(X \geq 91) = 1 - P(X \leq 91) = 1 - 0,6915 = 0,3085.

Partie 2

Cet ostréiculteur affirme que 60 % de ses huîtres ont une masse supérieure à 91 g.
Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l’affirmation de l’ostréiculteur.

Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d’huîtres qu’on considèrera comme un échantillon de 120 huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise.
Il constate que 65 de ces huîtres ont une masse supérieure à 91 g.

Question 1

Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 120 huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse supérieure à 91 g.
Après en avoir vérifié les conditions d’application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire F.

C’est parti pour cette question de cours classique ! Tout d’abord, apprenez par coeur ceci :

Soient X_n une variable aléatoire qui suit une loi binomiale \mathcal{B}(n,p) et F_n = \dfrac{X_n}{n} la variable aléatoire qui représente la fréquence des succès. Si

  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

alors l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F_n au seuil de 95 % vaut I_n = \left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].

Et maintenant, voici la démarche pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont F représente la fréquence constitue le « succès ». Introduire alors la variable aléatoire X pour représenter le nombre de succès.

Ici, on s’intéresse à la fréquence des huîtres qui ont une masse supérieure à 91 g. Donc l’événement qui représente le succès est l’événement « L’huître a une masse supérieure à 91 g » :

Choisir une huître est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « l’huître a une masse supérieure à 91 g », de probabilité estimée p = 0,60 ou « l’huître a une masse inférieure à 91 g », de probabilité 1 - p = 1 - 0,60 = 0,40. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « l’huître a une masse supérieure à 91 g ». On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de succès.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, on s’intéresse à un échantillon de 120 huîtres tirées au hasard assimilé à un tirage avec remise. Donc cela peut être assimilé à 120 répétitions de l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} En déduire que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binômiale de paramètres n = 120 et p = 0,60.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Vérifier que les conditions requises à l’application de la formule de l’intervalle de fluctuation à 95 % sont remplies, à savoir :
  • n \ge 30
  • np \ge 5
  • n(1 - p) \ge 5

C’est ce que souhaite l’énoncé lorsqu’il demande de vérifier les conditions d’application. Aucune difficulté ici, une fois que l’on a déterminé les paramètres de la loi binomiale :

Or :
  • n = 120 \ge 30
  • np = 120 \times 0,60 = 72 \ge 5
  • n(1 - p) = 120 \times (1 - 0,60) = 48 \ge 5
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Conclure sur l’intervalle de fluctuation.
Donc l’intervalle de fluctuation de la fréquence des huîtres ayant une masse supérieure à 91 g dans un échantillon de taille 120 vaut I = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right] = [0,5123 ; 0,6877].

Question 2

Que peut penser le restaurateur de l’affirmation de l’ostréiculteur ?

Pour répondre, il suffit de retenir la chose suivante :

Si, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des succès appartient à l’intervalle de fluctuation, alors la probabilité annoncée pour les succès est considérée comme exacte. Sinon, elle est considérée comme inexacte.

Calculons donc la fréquence des succès dans l’échantillon prélevé :

Sur les 120 huîtres prélevées, 65 avaient une masse supérieure à 91 g. Donc, la fréquence des succès vaut \dfrac{65}{120} = 0,5417 \in I.

D’où la conclusion à cette partie :

Donc l’affirmation de l’ostréiculteur, qui estime que 60% de ses huîtres ont une masse supérieure à 91 g, est juste.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1.

Exprimez vous!