Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 2

Enoncé

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’ensemble \mathbb{R} des nombres réels par

f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{e^x}.

On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Partie A

Question 1

Soit g la fonction définie et dérivable sur l’ensemble \mathbb{R} par

g(x) = 1 - x + e^x.

Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur \mathbb{R} (les limites de g aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
En déduire le signe de g(x).

En voilà une question ultra classique… 😉 Voyons ensemble les différentes étapes qui permettent d’y répondre.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_g de g.

Ici, \mathcal{D}_g est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de l’ensemble \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer g.

Cette dérivée est plutôt simple si on sait que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, (e^x).
Pour tout x \in \mathbb{R}, g
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de g ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il n’y a pas de facteur que l’on sait être strictement positif dans l’expression de g.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x)=0« .

Ici, comme je vous l’ai indiqué à l’étape précédente, il n’y a pas lieu de s’intéresser à une fonction u plus simple, donc on peut directement écrire :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e^x = 1

\Leftrightarrow x = 0

Vous remarquerez que pour résoudre cette équation, j’ai dû utiliser le fait que :

e^0 = 1
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.
Ah il faut faire un tableau de signes ?

Eh non. Un tableau de signes, ça marche bien quand on a un produit ou un quotient de facteurs. Ici, on a affaire à une somme. Du coup, on n’a pas d’autre choix que de résoudre les inéquations g et g.

Commençons par l’inéquation g :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e^x \leq 1

Arrivé là, il faut se débarrasser de l’exponentielle. Pour ça, il y un réflexe, un seul :

  • Pour se « débarrasser » de l’exponentielle, il suffit d’appliquer la fonction logarithme népérien.
  • Pour se « débarrasser » du logarithme népérien, il suffit d’appliquer la fonction exponentielle.

Ce réflexe tient au fait que :

  • Pour tout x \in \mathbb{R}, ln~(e^x) = x ;
  • Pour tout x \in \mathbb{R_+^*}, e^{ln~x} = x.

Ici, on souhaite se débarrasser de la fonction exponentielle donc il faut appliquer le logarithme népérien. Mais attention, lorsque l’on applique une fonction, il faut bien penser à la chose suivante :

Dès lors que l’on applique une fonction de part et d’autre d’une inégalité, il faut se demander si l’ordre est conservé ou inversé :

  • si la fonction appliquée est croissante, l’ordre est conservé ;
  • si la fonction appliquée est décroissante, l’ordre est inversé.

Or :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur son ensemble de définition \mathbb{R}_+^*.

Donc, en l’appliquant à l’inégalité, le sens de cette dernière est conservé :

... \Leftrightarrow ln~(e^x) \leq ln~1 car la fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}_+^*

Sachant que :

ln~1 = 0

cela nous permet de conclure :

... \Leftrightarrow x \leq 0

Exactement de la même façon, on doit résoudre l’inéquation g :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e^x \geq 1

\Leftrightarrow ln~(e^x) \geq ln~1 car la fonction ln est strictement croissante sur \mathbb{R}_+^*

\Leftrightarrow x \geq 0

Finalement, on a donc :

Donc, pour tout x \leq 0, g et, pour tout x \geq 0, g.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les valeurs de g auxquelles g s’annule.

Ici, on sait que g ne s’annule qu’en  0 sur \mathbb{R} donc on calcule g(0) :

De plus, g(0) = 1 - 0 + e^0 = 2.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Calculer les limites de g

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, l’énoncé indique explicitement qu’il n’attend pas les limites de g.

On peut donc « sauter » cette étape.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Etablir le tableau de variations de g en retenant que :

  • si g est strictement positive sur un intervalle, alors g est strictement croissante ;
  • si g est strictement négative sur un intervalle, alors g est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline g

Il ne reste plus qu’à déterminer le signe de g. Pour cela, il suffit de s’appuyer sur le tableau de variations. Celui-ci nous indique en effet que g ne « descend » jamais en dessous de 2. Donc on peut écrire :

Pour tout x \in \mathbb{R}, g(x) \geq 2 donc, g(x) ~\textgreater ~0.

Question 2

Déterminer la limite de f en -\infty puis la limite de f en +\infty.

  • Détermination de la limite de f en -\infty

Je ne sais pas pour vous, mais moi, quand je dois calculer une limite, je me concentre immédiatement sur « ce qui risque de poser problème ». Evidemment, ce n’est pas x + 1 qui pose problème… Intéressons-nous donc à \dfrac{x}{e^x}.

Pour calculer cette limite, il faut connaître celles de la fonction exponentielle :

  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} e^x = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} e^x = +\infty

Ici, il faut donc écrire :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} e^x = 0^+
Tiens ! Pourquoi 0^+ et pas simplement  0 ?

Bonne question ! Gardez à l’esprit que :

Dès lors que l’on calcule la limite d’une fraction et que le dénominateur tend vers 0, il faut indiquer s’il tend vers 0^+ (c’est-à-dire « tend vers  0 en étant positif ») ou 0^- (c’est-à-dire « tend vers  0 en étant négatif »).

Ici, une bonne connaissance de la fonction exponentielle vous permet de savoir que cette fonction est toujours positive sur son ensemble de définition. Elle tend donc vers  0 en étant forcément positive.

Par ailleurs :

et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} x = -\infty

Il s’agit donc de conclure sur un quotient dont :

  • le numérateur tend vers -\infty ;
  • le dénominateur tend vers 0^+.

Ici, cela donne donc :

d’où, par quotient, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} \dfrac{x}{e^x} = -\infty.

On en tire alors aisément la limite de f en -\infty :

De plus, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} x + 1 = -\infty d’où, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} f(x) = -\infty.

  • Détermination de la limite de f en +\infty

A nouveau, c’est d’abord \dfrac{x}{e^x} qui va nous poser problème. En effet, si on essaie de calculer « bêtement » sa limite, voici ce qu’on obtient :

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} x = +\infty ;
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} e^x = +\infty.
…et \dfrac{\infty}{\infty}, ça fait… ça fait…

Ca fait rien du tout ! Retenez absolument que :

« \dfrac{\infty}{\infty} » est une forme indéterminée.
Ah… et comment on fait alors ?

En fait, quand vous voyez \dfrac{x}{e^x}, vous devez instantanément penser « croissances comparées ». Pour rappel, les croissances comparées sont les suivantes :

Pour tout entier naturel n non nul,

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x^n} = 0
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}~x^nln~x = 0
     
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x^ne^x = 0

La limite qui ressemble le plus à celle qui nous intéresse est bien sûr la deuxième, \dfrac{e^x}{x^n} avec n = 1. Puisque \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x} = +\infty, \dfrac{x}{e^x} converge vers \dfrac{1}{+\infty}, c’est-à-dire  0 :

Par croissances comparées, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{x}{e^x} = 0.

Déterminer la limite de f en +\infty n’est alors plus qu’une formalité :

De plus, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~x + 1 = +\infty d’où, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = +\infty.

Question 3

On appelle f la dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
Démontrer que, pour tout réel x, f.

Calculons f :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
f

Vous remarquerez que nous avons dû utiliser la relation :

(e^x)^n = e^{nx}

Pour continuer, il faut utiliser un vieux réflexe : on met au même dénominateur.

... = \dfrac{e^x + 1 - x}{e^x}

Or, \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}. On peut donc écrire :

... = e^{-x}(e^x + 1 - x) = e^{-x}g(x).

Question 4

En déduire le tableau de variation de la fonction f sur \mathbb{R}.

Et c’est reparti pour un tableau de variation !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_f de f.

Ici, \mathcal{D}_f est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de l’ensemble \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f.

On vient de le faire : pour tout x \in \mathbb{R}, f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, on va sauter cette étape car, comme vous allez le voir à l’étape suivante, c’est l’ensemble de la fonction f qui est strictement positive.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f ou, si le signe de f ne dépend que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.

Ici, f n’a pas de racines.

Euh, comment tu sais ça ?

Je le sais car :

  • mon cours m’indique que :
     
    Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-x} ~\textgreater ~0 ;
  • et nous avons montré à la question 1. que, pour tout x \in \mathbb{R}, g(x) ~\textgreater ~0.

Donc f est strictement positive sur \mathbb{R} donc elle ne s’annule jamais :

Pour tout x \in \mathbb{R}, e^{-x} ~\textgreater ~0 et nous avons montré à la question 1. que, pour tout x \in \mathbb{R}, g(x) ~\textgreater ~0 donc, f est strictement positive sur \mathbb{R} : elle ne s’annule jamais sur \mathbb{R}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de f ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.

On vient de montrer à l’étape précédente que, pour tout x \in \mathbb{R}, f.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les valeurs de f auxquelles f s’annule.

Ici, il n’y a pas de valeur à calculer puisque f ne s’annule jamais.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Calculer les limites de f

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

On les a calculées à la question 2 :

  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~f(x) = -\infty ;
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~f(x) = +\infty.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Etablir le tableau de variations de f en retenant que :

  • si f est strictement positive sur un intervalle, alors f est strictement croissante ;
  • si f est strictement négative sur un intervalle, alors f est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccc|}\hline x & -\infty & & +\infty \\\hline f

Question 5

Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution réelle \alpha sur \mathbb{R}.
Démontrer que -1 ~\textless ~\alpha ~\textless ~0.

Le mot « unique » doit immédiatement vous faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Si je formule la question autrement, ce que l’on nous demande, c’est de prouver que l’équation f admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; +\infty[. Et c’est bien ce corollaire qui va nous permettre de le faire.

Oh non ! je n’ai jamais rien compris à ce théorème !

On va y aller doucement. Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ainsi, la rédaction de la réponse à une telle question est toujours la même. Pour des raisons de simplicité, je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche.

Pré-requis : connaître les variations de la fonction f.

Ca tombe bien ! On vient de les déterminer à la question précédente : f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur l’intervalle [a;b] ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. En remarquant que f est continue, cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ici, c’est \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty [ qui joue le rôle de [a;b]. D’après les variations de la fonction f déterminées dans l’étape de pré-requis ainsi qu’à la question 1, on sait que :

  • Monotonie de f
    f est strictement croissante sur \mathbb{R} ;
  • Valeurs de f aux bornes de [a;b]
    \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = -\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = +\infty

Vous pouvez donc écrire :

f est continue sur ]-\infty ; +\infty[. De plus, d’après la question précédente, on sait que f est strictement croissante sur ]-\infty ; +\infty[. De plus :

  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}~f(x) = -\infty
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f(x) = +\infty

donc f(]-\infty ; +\infty[) = ]-\infty ; +\infty[.

Vous remarquerez que l’image de [a;b] par f se note f([a;b]).

Comment sais-tu que f est continue sur ]-\infty ; +\infty[ ?

C’est là que le programme est très vague. En effet, voici ce qu’il exige très exactement sur la continuité :

On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle.

Traduction de ce qu’il y a marqué en gras : à moins que l’on ne vous indique explicitement le contraire, considérez que toutes les fonctions que l’on vous fait étudier sont continues !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, on cherche à montrer que f s’annule pour une unique valeur \alpha donc c’est  0 qui joue le rôle de k et ]-\infty ; +\infty[ qui joue le rôle de l’image de ]-\infty ; +\infty[ par f :

Or, 0 \in ]-\infty ; +\infty[
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique réel \alpha \in \mathbb{R} = ]-\infty ; +\infty[ tel que f(\alpha) = 0.

Reste à montrer que -1 ~\textless ~\alpha ~\textless ~0. En fait, l’énoncé vous facilite la vie. En général, il vous demande simplement de trouver un encadrement de \alpha. Ici, il vous donne l’encadrement. Il suffit de montrer qu’il a raison :p

Pour cela, c’est assez simple : il suffit de calculer f(-1) et f(0) et remarquer que le premier est strictement inférieur à k = 0 et que le second est strictement supérieur à k = 0 :

f(-1) \simeq -2,72 ~\textless ~0 et f(0) = 1 ~\textgreater ~0 d’où -1 ~\textless ~\alpha ~\textless ~0.

Question 6

a. Démontrer que la droite \mathcal{T} d’équation y = 2x + 1 est tangente à la courbe \mathcal{C} au point d’abscisse  0 .

Lorsque l’on vous demande de déterminer la tangente , vous devez absolument au théorème de cours suivant :

Soit \mathcal{C}_f la courbe représentative d’une fonction f dérivable en a.
La tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse a a pour équation y = f.

Donc on sait donner l’équation de la tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse  0 :

L’équation de la tangente à \mathcal{C}_f au point d’abscisse  0 est :
y = f
y = e^{-0}g(0)x + \left[0 + 1 + \dfrac{0}{e^0}\right]
y = 2x + 1
C’est bien celle qui est proposée par l’énoncé.

b. Étudier la position relative de la courbe \mathcal{C} et de la droite \mathcal{T}.

Cette question ne doit avoir aucun secret pour vous :

Soient f et g deux fonctions représentées respectivement par les courbes \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g. Pour étudier les positions relatives de ces deux courbes représentatives, il faut étudier le signe de la différence f - g (un tableau de signes peut alors être nécessaire). Si :

  • f - g ~\textgreater ~0 alors \mathcal{C}_f est « au-dessus » de \mathcal{C}_g ;
  • f - g = 0 alors les deux courbes sont confondues ;
  • f - g < 0 alors \mathcal{C}_f est « en-dessous » de \mathcal{C}_g.

Ici, c’est :

  • \mathcal{C} qui joue le rôle de \mathcal{C}_f ;
  • \mathcal{T} qui joue le rôle de \mathcal{C}_g.

Faisons donc la différence entre la fonction f et la fonction x \mapsto 2x + 1 et étudions le signe de cette différence :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
f(x) - (2x + 1) = x + 1 + \dfrac{x}{e^x} - 2x - 1 = -x + \dfrac{x}{e^x}

Toujours le même réflexe : on met au même dénominateur. Cela donne :

... = \dfrac{x - xe^x}{e^x}

Dès qu’on peut factoriser, on le fait :

... = \dfrac{x(1 - e^x)}{e^x}

Cette fois-ci, on va faire un tableau de signes. En effet, on connaît le signe de chacun des facteurs :

  • x est strictement négatif sur ]-\infty ; 0[, nul pour x = 0 et strictement positif sur ]0 ; +\infty[ ;
  • 1 - e^x est l’opposé de -1 + e^x dont on a déjà étudié le signe à la question 1 donc, 1 - e^x :
    1. strictement positif sur ]-\infty ; 0[ ;
    2. nul pour x = 0 ;
    3. strictement négatif sur ]0 ; +\infty[ ;
  • e^x est strictement positif pour tout x \in \mathbb{R} : ce n’est pas la peine de le faire apparaître dans le tableau de signes. Cette petite astuce dont je viens de me servir, vous devez y penser dès que vous en avez l’occasion :
     
    Lors de l’étude des signes d’une fonction, il convient toujours de repérer le facteur qui reste strictement positif sur l’intervalle de définition de cette fonction afin de ne pas avoir à en tenir compte dans le tableau de signes.

On peut donc dresser le tableau de signes de la différence f(x) - (2x + 1) :

\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline x& & - & 0 & + & \\\hline 1 - e^x & & + & 0 & - & \\\hline f(x) - (2x + 1) & & - & 0 & - & \\\hline\end{array}

Il ne reste plus qu’à interpréter graphiquement ce résultat :

Pour tout x \in \mathbb{R}, f(x) - (2x + 1) \leq 0 donc la courbe \mathcal{C} est en dessous de la droite \mathcal{T}.

Partie B

Question 1

Soit H la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} par

H(x) = (-x - 1)e^{-x}.

Démontrer que H est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction h définie par h(x) = xe^{-x}.

Bon, déterminons une primitive de h et vérifions qu’on obtient bien H

Surtout pas, malheureux ! Il y a bien plus simple :

Pour vérifier qu’une fonction F est bien la primitive d’une autre fonction f, il suffit de dériver F : si on obtient f, c’est que F est bien une primitive de f.

Dérivons donc H :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
H.

En dérivant H, on obtient h, donc on peut conclure :

Donc H est bien une primitive de h sur \mathbb{R}.

Question 2

On note \mathcal{D} le domaine délimité par la courbe \mathcal{C}, la droite \mathcal{T} et les droites d’équation x = 1 et x = 3.
Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine \mathcal{D}.

Observez la figure ci-dessous :

2014-ag-exo2-1

Ce que l’on cherche, c’est l’aire verte. Celle-ci est égale à l’aire sous la courbe \mathcal{T} (encadrée en rouge) à laquelle on soustrait l’aire sous la courbe \mathcal{C} (en orange clair).

Pour déterminer les différentes aires qui interviennent dans ce calcul, vous devez absolument connaître l’interprétation graphique d’une intégrale :

L’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire algébrique située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. Par « algébrique », on entend que cette aire est :

  • positive lorsque f est positive ;
  • négative lorsque f est négative.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Ainsi, dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

En particulier, on a :

Si la fonction f est positive entre les droites d’équation x = a et x = b, l’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire « tout court » située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b.

Ici, comme on peut le voir, les fonctions f et x \mapsto 2x + 1 sont toutes les deux positives sur l’intervalle [1; 3]. Donc :

  • l’aire sous la courbe \mathcal{T} encadrée en rouge vaut \int_{1}^{3} 2x + 1\,dx ;
  • l’aire sous la courbe \mathcal{C} en orange clair vaut \int_{1}^{3} f(x)\,dx.

Du coup, l’aire \mathcal{D} est la différence entre ces deux aires :

L’aire \mathcal{D} vaut :
\int_{1}^{3} 2x + 1\,dx - \int_{1}^{3} f(x)\,dx = \int_{1}^{3} (2x + 1) - f(x)\,dx

On a déjà calculé la différence f(x) - (2x + 1) à la question 6. b. Ici, il s’agit de son opposé :

... = \int_{1}^{3} -\dfrac{x(1 - e^x)}{e^x}\,dx

Une fois n’est pas coutume, on va séparer les différents termes de la fraction :

... = \int_{1}^{3} -\dfrac{x - xe^x}{e^x}\,dx = \int_{1}^{3} -\left[\dfrac{x}{e^x} - x\right]\,dx

Arrivé à ce stade, je vous rappelle que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, \dfrac{1}{e^x} = e^{-x}.

Donc on peut écrire :

... = \int_{1}^{3} -\left[xe^{-x} - x\right]\,dx = -\int_{1}^{3} \left[xe^{-x} - x\right]\,dx = -\int_{1}^{3} \left[h(x) - x\right]\,dx

Oh bah ça alors ! On tombe sur h(x) dont on nous a donné une primitive à la question précédente !

Ca marche bien parce que tu as pensé à séparer les différents termes de la fraction. Mais comment y as-tu pensé ?

J’ai bien vu que, telle qu’on l’a écrite à la question 6. b., je ne savais pas calculer la primitive de la différence entre les fonctions f et x \mapsto 2x + 1. Donc je me suis dit « Comment faire ? », et surtout, je me suis dit « Mais pourquoi ils ont introduit la fonction h ? ». Et c’est là que je me suis rendu compte qu’en séparant les termes de la fraction obtenue à la question 6. b., j’allais faire apparaître h(x). :)

Le reste n’est plus que du « simple » calcul :

... = -\left([H(x)]_1^3 - \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^3\right) = -\left(\left[(-3 - 1)e^{-3} - (-1 - 1)e^{-1}\right] - \left[\dfrac{3^2}{2} - \dfrac{1^2}{2}\right]\right)
= -\left(-4e^{-3} + 2e^{-1} - 4\right) = 4 + \dfrac{4}{e^3} - \dfrac{2}{e}

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 2.

Exprimez vous!