Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 3

Enoncé

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}};\overrightarrow{\mathrm{k}}).
On considère les points A(1 ; 2 ; 5), B(-1 ; 6 ; 4), C(7 ; -10 ; 8) et D(-1 ; 3 ; 4).

Question 1

Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan.

Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Or :

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

Il suffit de donc de considérer les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}. S’ils sont :

  • colinéaires, alors les trois points A, B et C sont alignés : ils ne définissent pas de plan et sont situés sur une même droite ;
  • non colinéaires, alors les trois points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.
OK et comment sait-on si deux vecteurs sont colinéaires ou non ?

Bonne question :

Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x ; y ; z) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}(x sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si et seulement si il existe un réel k tel que \begin{cases}x. Dans ce cas, on a \overrightarrow{\mathrm{CD}} = k\overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Calculons donc les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}. Je rappelle que :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-1 - 1 ; 6 - 2 ; 4 - 5)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-2 ; 4 ; -1)

\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A ; z_C - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(7 - 1 ; -10 - 2 ; 8 - 5)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(6 ; -12 ; 3)

Et là, vous devez absolument remarquer qu’en multipliant les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} par -3, on obtient celles de \overrightarrow{\mathrm{AC}} (autrement dit, -3 joue le rôle de k dans le rappel de cours). Cela vous permet alors d’écrire que :

On a \overrightarrow{\mathrm{AC}} = -3\overrightarrow{\mathrm{AB}} donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

D’où la conclusion :

Donc les points A, B et C sont alignés : ils ne forment pas de plan. La proposition 1 est fausse.

Question 2

On admet que les points A, B et D définissent un plan.
Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan (ABD) est x - 2z + 9 = 0.

  • Méthode 1 : détermination d’une équation cartésienne du plan (ABD)

Déterminer une équation cartésienne d’un plan connaissant 3 de ses points est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Indiquer que l’équation cartésienne d’un plan est forcément de la forme ax + by + cz + d = 0.

Il s’agit simplement de poser la forme générique de l’équation d’un plan :

Le plan (ABD) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Traduire l’appartenance des 3 points connus de ce plan.

Ici, on va donc traduire l’appartenance des points A, B et D au plan (ABD) :

\begin{cases}A \in (ABD) \\B \in (ABD) \\D \in (ABD)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}ax_A + by_A + cz_A + d = 0 \\ax_B + by_B + cz_B + d = 0 \\ax_D + by_D + cz_D + d = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a + 2b + 5c + d = 0~~~~(L_1) \\-a + 6b + 4c + d = 0~~(L_2) \\-a + 3b + 4c + d = 0~(L_3)\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Exprimer 3 des variables a, b, c et d en fonction d’une seule d’entre elles.

Personnellement, je choisis d’exprimer a, b et c en fonction de d (mais c’est un choix tout à fait arbitraire). Il s’agit alors de résoudre le système de 3 équations à 3 inconnues a, b et c.

Et d alors ? C’est pas une inconnue ?

Eh non ! Puisqu’on a choisi d’exprimer les autres inconnues en fonction de d, d se comporte comme une constante connue.

OK et comment on résout un système de 3 équations à trois inconnues alors ?

On utilise la méthode de Gauss :

La méthode de Gauss consiste à transformer le système des 3 équations en éliminant la variable a dans les deux dernières lignes et en éliminant b dans la dernière ligne.

Commençons donc par éliminer a dans les lignes (L_2) et (L_3) en les combinant de façon adéquate avec (L_1) :

... \Leftrightarrow \begin{cases}a + 2b + 5c + d = 0~~(L_1) \Rightarrow (L_1

Puis éliminons b dans (L_3 en la combinant de façon adéquate avec (L_2 :

... \Leftrightarrow \begin{cases}a + 2b + 5c + d = 0~~(L_1

On peut alors exprimer chacune des inconnues a, b et c en fonction de d en commençant par la troisième ligne et en finissant par la première ligne :

... \Leftrightarrow \begin{cases}a = -5c - d = -5 \times \left(-\dfrac{2}{9}d\right) - d = \dfrac{1}{9}d~~~~~~~~~~~(L_1
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Exprimer l’équation cartésienne en fonction de la seule variable que l’on a choisi de conserver.

Ici, cela donne :

Ainsi, on a \dfrac{1}{9}dx - \dfrac{2}{9}z + d = 0
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Eliminer la variable restante de l’équation : le résultat est l’équation cherchée.

On va donc éliminer d :

soit \dfrac{1}{9}x - \dfrac{2}{9}z + 1 = 0

Je ne sais pas pour vous, mais j’aime bien me débarrasser des fractions quand je le peux. Je vais donc multiplier l’équation obtenue par 9 (mais ce n’est pas du tout obligatoire) :

Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc x - 2z + 9 = 0
Ca ne fausse pas tout d’avoir multiplié l’équation cartésienne obtenue par 9 sur un « coup de tête » ?

Pas du tout ! Un plan admet une infinité d’équations cartésiennes. J’aurais pu multiplier le résultat par n’importe quoi, par \pi par exemple, ça resterait juste !

Ici, c’est d’autant mieux que l’on obtient exactement l’équation proposée par l’énoncé !

Donc la proposition 2 est vraie.

  • Méthode 2 : vérification de l’équation cartésienne proposée par les points A, B et D

Une autre méthode permet de déterminer plus rapidement si l’équation x - 2z + 9 = 0 est bien une équation cartésienne du plan (ABD). Elle consiste à voir si chacun les coordonnées de chacun des points A, B et D vérifient bien l’équation proposée. Si c’est le cas, alors l’équation proposée est bien une équation cartésienne du plan (ABD). Sinon, l’équation proposée ne convient pas :

x_A - 2z_A + 9 = 1 - 2 \times 5 + 9 = 1 - 10 + 9 = 0
x_B - 2z_B + 9 = -1 - 2 \times 4 + 9 = -1 - 8 + 9 = 0
x_D - 2z_D + 9 = -1 - 2 \times 4 + 9 = -1 - 8 + 9 = 0

La conclusion est immédiate :

Les coordonnées des points A, B et D vérifient l’équation proposée. Donc l’équation x - 2z + 9 = 0 est bien une équation cartésienne du plan (ABD) : la proposition 2 est vraie.
Ouah ! C’est beaucoup plus rapide que la méthode 1 ! Pourquoi nous avoir présenté la méthode 1 alors ?

Parce qu’on ne vous donnera pas toujours l’équation dans l’énoncé. La méthode 2 ne marche que si l’énoncé vous propose déjà une équation. S’il vous avait simplement demandé de déterminer une équation cartésienne pour le plan (ABD) sans autre information, vous n’auriez eu d’autre choix que de passer par la méthode 1. Et comme la détermination d’une équation cartésienne d’un plan est un savoir-faire exigible du programme, il m’a paru indispensable de vous présenter la démarche.


Question 3

Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite (AC) est

\begin{cases}x = \dfrac{3}{2}t - 5 \\y = -3t + 14, ~~t \in \mathbb{R}. \\z = -\dfrac{3}{2}t + 2\end{cases}

Comme pour la proposition précédente, je vais présenter deux solutions :

  • une première méthode qui consiste à déterminer une équation paramétrique de la droite (AC) et qui « marche » à tous les coups ;
  • une seconde méthode qui ne fonctionne que dans cet exercice.

  • Première méthode

Déterminer l’équation paramétrique d’une droite dont on connaît les coordonnées de deux points est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(7-1;-10-2;8-5)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(6;-12;3)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Introduire un point M de coordonnées (x;y;z) appartenant à (AC) et exprimer le fait que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AM}} sont colinéaires.
Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{v}} sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{v}} = t\overrightarrow{\mathrm{u}}.

Ici, il faut donc écrire :

Soit M(x;y;z) \in (AC). \overrightarrow{\mathrm{AM}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires donc il existe k \in \mathbb{R} tel que \overrightarrow{\mathrm{AM}} = k\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Traduire l’égalité vectorielle obtenue à l’étape deux à l’aide des coordonnées.

Pour cela, il faut donc calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et k\overrightarrow{\mathrm{AC}} :

\overrightarrow{\mathrm{AM}}(x_M-x_A;y_M-y_A;z_M-z_A)
Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 3 2014-ag-exo3-1
Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 3 2014-ag-exo3-2

puis se souvenir que :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.

Donc, ici, étant donné que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AM}} et k\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont égaux, on obtient donc :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 3 2014-ag-exo3-3

soit :

\begin{cases}x = 1+6k \\y = 2-12k \\z = 5+3k\end{cases}
Eh mais attends, ça ne ressemble pas du tout à ce qui est proposé dans l’énoncé, donc l’affirmation est fausse !

Pas si vite ! On a obtenu une représentation paramétrique de la droite (AC). Rien ne nous dit encore que celle proposée par l’énoncé n’est pas valable. Il reste donc une dernière étape avant de pouvoir se prononcer :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Effectuer un changement de variable.

Pour cela, il faut supposer que l’une des coordonnées, exprimée fonction de k, soit égale à l’expression en fonction de t proposée par l’énoncé. Ici, je choisis de faire le changement de variable sur la coordonnée x :

Soit t \in \mathbb{R} tel que 1 + 6k = \dfrac{3}{2}t - 5.

Ensuite, il faut exprimer k en fonction de t :

On a 6k = \dfrac{3}{2}t - 6 soit k = \dfrac{1}{4}t - 1.

Enfin, il faut exprimer les deux autres coordonnées en remplaçant k par son expression en fonction de t :

On obtient :

  • y = 2 - 12k = 2 - 12\left(\dfrac{1}{4}t - 1\right) = 2 - 3t + 12 = 14 - 3t
  • z = 5 + 3k = 5 + 3\left(\dfrac{1}{4}t - 1\right) = 5 + \dfrac{3}{4}t - 3 = 2 + \dfrac{3}{4}t

On peut donc conclure :

Donc \begin{cases}x = \dfrac{3}{2}t - 5 \\y = -3t + 14 ~~~~~~~~, t \in \mathbb{R}\\z = \dfrac{3}{4}t + 2 \\\end{cases} est une autre représentation paramétrique de la droite (AC). Elle ne coïncide pas avec celle proposée par l’énoncé : la proposition 3 est fausse.

  • Seconde méthode

La seconde méthode consiste à comparer les vecteurs directeurs de la droite (AC) et de la droite dont l’énoncé propose une représentation paramétrique. Pour que cette représentation paramétrique ait une chance d’être une représentation paramétrique de la droite (AC), il faut que les vecteurs directeurs des deux droites soient colinéaires.

Intéressons-nous d’abord à la droite (AC) :

Un vecteur directeur de la droite (AC) est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}} de coordonnées :
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(7-1;-10-2;8-5)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(6;-12;3)

Intéressons-nous ensuite à la représentation paramétrique proposée par l’énoncé. Il est très facile de déterminer un vecteur directeur de la droite qu’elle représente si on sait que :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;

si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Dans la représentation paramétrique proposée par l’énoncé :

  • \dfrac{3}{2} joue le rôle de a ;
  • -3 joue le rôle de b ;
  • -\dfrac{3}{2} joue le rôle de c ;

donc on peut écrire que :

Un vecteur directeur de la droite de représentation paramétrique \begin{cases}x = \dfrac{3}{2}t - 5 \\y = -3t + 14, ~~t \in \mathbb{R}. \\z = -\dfrac{3}{2}t + 2\end{cases} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}\left(\dfrac{3}{2} ; -3 ; -\dfrac{3}{2}\right).

Arrivé à ce stade, on remarque que les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{u}} ne sont pas proportionnels : si on multiplie par 4 les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}, on obtient les deux premières coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AC}} mais pas la troisième. Donc \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{u}} ne sont pas colinéaires :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{u}} ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{u}} ne sont pas colinéaires.

On peut alors conclure :

Donc la représentation paramétrique proposée ne peut pas être une représentation de la droite (AC) : la proposition 3 est fausse.

Question 4

Soit \mathcal{P} le plan d’équation cartésienne 2x - y + 5z + 7 = 0 et \mathcal{P} le plan d’équation cartésienne -3x - y + z + 5 = 0.
Proposition 4 : Les plans \mathcal{P} et \mathcal{P} sont parallèles.

Rappel :

Soient \mathcal{P} et \mathcal{P deux plans de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-1
  • soit leur intersection est une droite \mathcal{D} (\mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants suivant \mathcal{D}) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-2
  • soit leur intersection est un plan (\mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-3

Ce rappel étant fait, regardez la figure suivante qui représente deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P strictement parallèles avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n qui sont normaux respectivement à \mathcal{P} et à \mathcal{P :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-ce-exo2-1

Que remarquez-vous ?

\overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires, non ?

Exactement ! Ainsi, pour déterminer l’intersection de deux plans, il y a une méthode systématique que vous pouvez utiliser et que nous allons utiliser ici pour montrer que \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan \mathcal{P} et un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n au plan \mathcal{P.

Et ça, c’est super facile si vous connaissez une équation cartésienne de chacun des deux plans ! En effet, je rappelle ce que j’ai déjà rappelé ci-dessus :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} un vecteur de l’espace de coordonnées (a;b;c).

\overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P} si et seulement si \mathcal{P} a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Appliqué ici, cela donne :

Le plan \mathcal{P} d’équation 2x - y + 5z + 7 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}(2 ; -1 ; 5).
Le plan \mathcal{P} d’équation -3x - y + z + 5 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer si \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires ou non. Pour cela, il faut poser un réel \lambda tel que \overrightarrow{\mathrm{n = \lambda\overrightarrow{\mathrm{n}} et résoudre l’équation vectorielle d’inconnue \lambda. Si :
  • l’équation vectorielle admet une solution, alors les deux vecteurs sont colinéaires ;
  • l’équation vectorielle n’admet pas de solution, alors les deux vecteurs sont non colinéaires.

Déterminer ce fameux \lambda, c’est simplement voir si \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont proportionnels. Ici, on obtient :

\overrightarrow{\mathrm{n}.

Bien sûr, \lambda ne peut pas avoir trois valeurs différentes en même temps donc le système n’admet pas de solution :

Le système d’équations d’inconnue \lambda n’admet pas de solution.

D’où la conclusion sur la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n} :

Donc \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n} sont non-colinéaires.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en fonction de la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n. Si ces deux vecteurs sont :

  • non colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants en une droite ;
  • colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{P} (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P, alors A appartient à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P, alors A n’appartient pas à \mathcal{P. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles.

Ici, on peut donc terminer la question de façon immédiate :

D’où les plans \mathcal{P} et \mathcal{P} sont sécants : la proposition 4 est fausse.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 3.

Exprimez vous!