Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl

Enoncé

Soit la suite numérique (u_n) définie sur l’ensemble des entiers naturels \mathbb{N} par

\begin{cases}u_0 = 2 \\\text{et~pour~tout~entier~naturel}~n\text{,~} u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n + 3 \times 0,5^n\end{cases}.

Question 1

a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (u_n) approchées à 10^{-2} près :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl 2014-ag-exo4-1

Pas de difficulté particulière pour commencer cet exercice. Il suffit d’utiliser la formule qui définit la suite (u_n) par récurrence :

  • u_1 = \dfrac{1}{5}u_0 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 2 + 3 \times 0,5^0 = 3,4
  • u_2 = \dfrac{1}{5}u_1 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 3,4 + 3 \times 0,5^1 = 2,18
  • u_3 = \dfrac{1}{5}u_2 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 2,18 + 3 \times 0,5^2 = 1,19
  • u_4 = \dfrac{1}{5}u_3 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 1,19 + 3 \times 0,5^3 = 0,61
  • u_5 = \dfrac{1}{5}u_4 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 0,61 + 3 \times 0,5^4 = 0,31
  • u_6 = \dfrac{1}{5}u_5 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 0,31 + 3 \times 0,5^5 = 0,16
  • u_7 = \dfrac{1}{5}u_6 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 0,16 + 3 \times 0,5^6 = 0,08
  • u_8 = \dfrac{1}{5}u_7 + 3 \times 0,5^0 = \dfrac{1}{5} \times 0,08 + 3 \times 0,5^7 = 0,04
Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl 2014-ag-exo4-2

b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (u_n).

Aucune difficulté ici, les quatre valeurs calculées sont de plus en plus petites :

Si on s’appuie sur les valeurs calculées à la question précédente, la suite (u_n) semble décroissante.

Question 2

a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a

u_n \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^n

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver l’inégalité « pour tout entier naturel n non nul ». Il faut donc commencer par n = 1. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel n », il aurait fallu commencer par n = 0.

Initialisation

  • u_1 = 3,4
  • \dfrac{15}{4} \times 0,5^1 = \dfrac{15}{4} \times 0,5 = 1,875

donc u_1 \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^1 d’où la propriété est vérifiée pour n = 1.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}*) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k + 1.
Hérédité
Soit k \in \mathbb{N}. Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que u_k \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^k. Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que u_{k+1} \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^{k+1}.

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la première solution et partir de l’hypothèse de récurrence faisant intervenir u_k pour faire apparaître u_{k+1} par encadrements successifs :

D’après l’hypothèse de récurrence, on a u_k \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^k.

Commençons donc par multiplier les membres de l’inégalité par \dfrac{1}{5}. Comme \dfrac{1}{5} \geq 0, le sens de l’inégalité est conservé :

On en déduit :
\dfrac{1}{5}u_k \geq \dfrac{1}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^k

\dfrac{1}{5}u_k \geq \dfrac{3}{4} \times 0,5^k

Maintenant, ajoutons le terme 3 \times 0,5^k :

\dfrac{1}{5}u_k + 3 \times 0,5^k \geq \dfrac{3}{4} \times 0,5^k + 3 \times 0,5^k

A gauche, on reconnaît u_{k+1} et à droite, on voit que le membre de droite peut être factorisé donc on le factorise et on poursuit les calculs:

u_{k+1} \geq 3 \times 0,5^k\left(\dfrac{1}{4} + 1\right)

u_{k+1} \geq \dfrac{5}{4} \times 3 \times 0,5^k

u_{k+1} \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^k

Eh mais attends ! C’est 0,5^{k+1} qu’on voulait obtenir, pas 0,5^k !

C’est vrai. Figurez-vous qu’on y est presque. En effet, il faut savoir que :

Soit a et b deux entiers naturels tels que a ~\textless ~b et x un réel tel que 0 ~\textless ~x ~\textless ~1.
x^a \geq x^b.

Ici, on peut donc écrire que :

Or 0,5^k \geq 0,5^{k+1}

ce qui nous permet de conclure l’hérédité :

d’où \dfrac{15}{4} \times 0,5^k \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^{k+1} donc u_{k+1} \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^{k+1} donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclusion
Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 1. En la supposant vraie au rang n = k, elle est encore vraie au rang n = k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n non nul, u_n \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u_{n+1} - u_n \leq 0.

On nous demande de prouver quelque chose sur u_{n+1} - u_n. Calculons donc u_{n+1} - u_n, on réfléchira après… :p

Pour tout n entier naturel non nul, on a :
u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{5}u_n + 3 \times 0,5^n - u_n

On regroupe les termes en u_n entre eux :

... = \left(\dfrac{1}{5} - 1\right)u_n + 3 \times 0,5^n = 3 \times 0,5^n - \dfrac{4}{5}u_n

Maintenant il faut réfléchir. En fait, ce qu’il faut remarquer, c’est que si on factorise par \dfrac{4}{5}, on va obtenir un terme en \dfrac{15}{4} \times 0,5^n et ça, c’est évidemment très bien pour nous puisque l’on vient de prouver une inégalité qui fait intervenir ce terme :

... = \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{15}{4} \times 0,5^n - u_n\right)

Avec cela, la conclusion devient évidente :

Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel n non nul, u_n \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^n donc \dfrac{15}{4} \times 0,5^n - u_n \leq 0 d’où u_{n+1} - u_n \leq 0.

c. Démontrer que la suite (u_n) est convergente.

Je suis sûr qu’il ne vous a pas échappé que, puisque u_{n+1} - u_n \leq 0, alors la suite u_n est décroissante… Je rappelle en effet que :

Soit (u_n) une suite réelle. Si, pour tout n entier naturel :

  • u_{n+1} - u_n \geq 0, alors la suite (u_n) est croissante ;
  • u_{n+1} - u_n \leq 0, alors la suite (u_n) est décroissante.

Du coup, personnellement, lorsque l’on me demande de prouver que la suite (u_n) est convergente, je pense tout de suite au théorème suivant :

  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.

Ici, c’est bien sûr le cas « décroissante et minorée » qui nous intéresse.

Ah mais oui ! Comme (u_n) est décroissante et qu’elle est minorée par \dfrac{15}{4} \times 0,5^n, elle converge !

Eh non ! Je rappelle que :

Une suite (u_n) est minorée si et seulement si il existe un réel k qui ne dépend pas de n tel que, pour tout n entier naturel, u_n \geq k.

Comme vous pouvez le voir, k ne doit pas dépendre de n. Il s’agit donc ici de trouver le « bon » réel k

Bien sûr, l’inégalité u_n \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^n ne va pas nous être inutile car, si on pouvait trouver un réel k tel que u_n \geq \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \geq k, on aurait u_n \geq k et du coup, on aurait gagné !

OK mais je n’ai pas d’idée pour k

Il ne faut pas se compliquer la vie. Il suffit de trouver le réel k le plus simple possible et qui convienne… Que pouvez-vous me dire du signe de \dfrac{15}{4} \times 0,5^n ?

Il est positif quel que soit n !

Du coup, cela veut dire que, pour tout n entier naturel, \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \geq 0 : c’est  0 , le réel k simple qui convient ! On peut donc écrire :

Pour tout n entier naturel non nul, \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \geq 0 donc u_n \geq 0 d’où la suite (u_n) est minorée.

On peut alors conclure :

De plus, d’après la question précédente, pour tout n entier naturel non nul, u_{n+1} - u_n \leq 0 donc (u_n) est décroissante.

D’où (u_n) converge.


Question 3

On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (u_n).
Soit (v_n) la suite définie sur \mathbb{N} par v_n = u_n - 10 \times 0,5^n.

a. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{5}. On précisera le premier terme de la suite (v_n).

Lorsque l’on demande de prouver qu’une suite est géométrique, il faut tout de suite avoir le réflexe suivant :

Pour montrer que (v_n) est une suite géométrique, il suffit de montrer que \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = q, où q est une constante qui ne dépend pas de n.

Calculons donc \dfrac{v_{n+1}}{v_n} :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{u_{n+1} - 10 \times 0,5^{n+1}}{u_n - 10 \times 0,5^n}

On remplace u_{n+1} par son expression en fonction de u_n :

... = \dfrac{\dfrac{1}{5}u_n + 3 \times 0,5^n - 10 \times 0,5^{n+1}}{u_n - 10 \times 0,5^n}

Comme d’habitude, on factorise ce qui est factorisable et on regarde ce qui se passe :

... = \dfrac{\dfrac{1}{5}u_n + 0,5^n(3 - 10 \times 0,5}{u_n - 10 \times 0,5^n} = \dfrac{\dfrac{1}{5}u_n + 0,5^n(3 - 5)}{u_n - 10 \times 0,5^n} = \dfrac{\dfrac{1}{5}u_n - 2 \times 0,5^n}{u_n - 10 \times 0,5^n}

Alors, je ne sais pas pour vous, mais moi, quand j’ai une fraction au numérateur ou au dénominateur d’une autre fraction, j’aime bien m’en débarasser en multipliant en haut et en bas par son dénominateur. En plus, cela m’a souvent sorti d’affaire à plusieurs reprises, comme ça va être le cas ici. Multiplions donc la fraction « en haut et en bas » par 5 pour se débarrasser de \dfrac{1}{5} :

... = \dfrac{u_n - 10 \times 0,5^n}{5(u_n - 10 \times 0,5^n)} = \dfrac{1}{5}.

On peut alors conclure :

Donc (v_n) est bien une suite géométrique de raison \dfrac{1}{5} et de premier terme v_0 = u_0 - 10 \times 0,5^0 = 2 - 10 \times 1 = -8.

b. En déduire, que pour tout entier naturel n,

u_n = -8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.

Trouver l’expression de u_n juste après qu’une suite (v_n) (arithmétique ou géométrique) ait été introduite est une question classique qu’il faut absolument savoir faire. La démarche à adopter est toujours la même.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Exprimer v_n en fonction de n.

Etant donné que la suite (v_n) est, soit arithmétique de raison r, soit géométrique de raison q, il est facile d’en donner une expression en fonction de n. En effet, votre cours vous indique que :

Soit k un entier naturel.

  • Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r.
    Pour tout n entier naturel, u_n = u_k + (n-k)r.
  • Soit (v_n) une suite géométrique de raison q.
    Pour tout n entier naturel, v_n = v_k q^{n-k}.

Autrement dit, v_n = v_0 q^n mais on pourrait également écrire v_n = v_1 q^{n-1} ou encore v_n = v_2 q^{n-2} etc. Dans l’immense majorité des cas, il faut exprimer v_n en fonction de son terme initial, ici v_0. Donc on peut écrire :

D’après la question précédente, (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{5} donc on a v_n = v_0\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n} = -8\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer u_n en fonction de l’expression de v_n trouvée précédemment.
Puisque v_n = u_n - 10 \times 0,5^n, alors u_n = v_n + 10 \times 0,5^n = -8\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n} + 10 \times 0,5^n.

c. Déterminer la limite de la suite (u_n).

L’expression de (u_n) doit absolument faire penser à la portion de cours suivante :

\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~q^n =\begin{cases}+\infty ~\text{si q ~\textgreater ~1} \\1 ~\text{si q = 1} \\0 ~\text{si -1 \textless ~q \textless ~1}\end{cases}

Muni de cela, le calcul de la limite de (u_n) devient évident :

-1 ~\textless ~\dfrac{1}{5} ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~\left(\dfrac{1}{5}\right)^n = 0. De même -1 ~\textless ~0,5 ~\textless ~1 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~(0,5)^n = 0 d’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = 0.

Question 4

Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus petite valeur de n telle que u_n \leq 0,01.

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl 2014-ag-exo4-3

Pour répondre à cette question, il faut bien comprendre comment est structuré l’algorithme. Examinons-le donc d’un peu plus près :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl 2014-ag-exo4-4

  1. Ici, deux variables sont effectivement nécessaires :
    • la première variable, u, va contenir les différents termes de la suite. Comme (u_n) est une suite réelle, u va contenir des valeurs réelles : il doit donc être défini comme un réel (vous remarquerez que l’énoncé est ici bâclé : il déclare u comme un « nombre » sans plus de précision. C’est clairement une déclaration de variable qui ne convient pas…). Bien sûr, cette variable ne contient qu’un seul terme à la fois. Si un nouveau terme vient remplacer le précédent, ce dernier est « écrasé » et « perdu à jamais » ;
    • la seconde variable, n, va contenir le rang de la suite. Le rang étant un entier naturel, n va contenir des entiers naturels donc il doit être défini comme un entier naturel (idem, l’énoncé ne précise pas son type…).
  2. On passe ensuite à l’initialisation des variables qui ont été créées à l’étape 1. La question que l’on doit se poser est la suivante : « Avec quelles valeurs est-ce que je souhaite commencer à dérouler mon algorithme ? ». Ici, le premier terme de la suite est u_0 et il vaut 2. Donc :
    • n doit valoir  0 ;
    • u doit valoir 2.

    C’est bien ce que fait l’énoncé.

    Juste pour voir si vous avez bien compris : si l’énoncé vous avait indiqué que le premier terme de la suite était u_1 = 3, comment auriez-vous initialisé u et n ?

    J’aurais initialisé u à 3 et n à  1 !

    Exactement !

  3. Passons maintenant à la phase de traitement.

    L’idée, c’est de calculer un par un les termes de la suite u_n en écrasant à chaque fois la valeur de la variable u et ce, tant que (c’est le cas de le dire :p) u_n est strictement supérieur à 0,01. Dès qu’on passe « en-dessous » de 0,01, on arrête. Les instructions à dérouler pour faire cela sont identiques à chaque rang, c’est pourquoi une boucle « Tant que » est mise en place : elle permet de dérouler plusieurs fois le même ensemble d’instructions. Ainsi, comme c’est la variable u qui contient les termes de la suite u_n, cela revient à dire que l’on passe dans la boucle « Tant que » tant que u est strictement supérieur à 0,01. Ainsi, la ligne (1) doit être complétée de la façon suivante :

    Tant que u ~\textgreater ~0,01

    Passons à la ligne (2). A chaque fois que l’on passe dans la boucle « Tant que », on calcule le terme de la suite (u_n) qui se situe au rang suivant. Du coup, il faut augmenter n de 1 à chaque passage dans la boucle. On dit qu’il doit être « incrémenté ». Si on ne mettait pas cette instruction, n vaudrait toujours  0 , on calculerait toujours u_{n+1} = u_1, et on ne sortirait jamais de la boucle !
    Ainsi, la ligne (2) doit donc être complétée de la façon suivante :

    Affecter à n la valeur n + 1

    Reste la ligne (3). Pour savoir comment la remplir, vous devez vous demander : « A partir du terme u_n, comment est-ce que j’obtiens u_{n+1} ? ».

    Il suffit d’appliquer la relation de récurrence indiquée dans l’énoncé, non ?

    Exactement :

    u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n + 3 \times 0,5^n

    Or :

    • u contient la valeur de u_n ;
    • n-1 contient la valeur du rang n ;
    Pourquoi n-1 et pas n ?

    Bonne question ! Parce qu’on vient d’incrémenter n juste avant. Donc il ne contient plus le rang n de la suite, mais n + 1. Du coup, si on veut retrouver le rang de la suite, il faut considérer n-1 !

    Donc, u_{n+1} s’écrit de la façon suivante en fonction des variables :

    u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u + 3 \times 0,5^{n-1}

    D’où, si u contient la valeur du terme de rang n, pour remplacer sa valeur par le terme de rang suivant, il suffit de lui affecter la valeur correspondant à \dfrac{1}{5}u + 3 \times 0,5^{n-1} :

    Ainsi, la ligne (3) à compléter doit l’être de la façon suivante :

    Affecter à u la valeur \dfrac{1}{5}u + 3 \times 0,5^{n-1}
  4. L’instruction inscrite dans le bloc « Sortie » sert simplement à afficher le contenu de la variable u, une fois les traitements effectués. C’est elle qui permet d’afficher le plus petit entier n tel que u_n est inférieur ou égal à 0,01.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 4 Obl.

Commentaires

  1. Anonyme a écrit:

    Merci pour ce corrigé très détaillé.
    Juste une remarque: pour la dernière question: dans l’encadré il faut rectifier: 0,5 puissance n-1 pour être cohérent avec ce qui précède.

    • admin a écrit:

      Merci beaucoup pour cette remarque. C’est maintenant corrigé ! Bon courage dans vos révisions !

Exprimez vous!