Bac S 2014 Maths Asie Exercice 1

Enoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A(1 ; -1 ; -1), B(1 ; 1 ; 1), C(0 ; 3 ; 1) et le plan \mathcal{P} d’équation 2x + y - z + 5 = 0.

Question 1

Soit \mathcal{D}_1 la droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}} (2 ; -1 ; 1) passant par A.
Une représentation paramétrique de la droite \mathcal{D}_1 est :
a. \begin{cases}x = 2 + t \\y = -1 - t, t \in \mathbb{R} \\z = 1 - t\end{cases}
b. \begin{cases}x = -1 + 2t \\y = 1 - t, t \in \mathbb{R} \\z = 1 + t\end{cases}
c. \begin{cases}x = 5 + 4t \\y = -3 - 2t, t \in \mathbb{R} \\z = 1 + 2t\end{cases}
d. \begin{cases}x = 4 - 2t \\y = -2 + t, t \in \mathbb{R} \\z = 3 - 4t\end{cases}

Personnellement, la première chose qui m’est venue à l’esprit, c’est un réflexe que je rappelle souvent sur ce site. Il s’agit du réflexe suivant : déterminer une représentation paramétrique d’une droite lorsque l’on connaît les coordonnées :

  • d’un vecteur directeur de cette droite ;
  • d’un point appartenant à cette droite ;

est immédiat si on sait que :

La droite \Delta :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;
  • si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Sauf qu’ici, même si cela permet d’obtenir une représentation paramétrique de \Delta, cela ne permet pas de répondre à la question ! En effet, si on applique le rappel de cours, cela donne que, puisque la droite \mathcal{D}_1 :

  • admet \overrightarrow{\mathrm{u}} (2 ; -1 ; 1) comme vecteur directeur ;
  • passe par le point A de coordonnées (1 ; -1 ; -1).

alors une représentation paramétrique de \Delta est :
\begin{cases}x = 2t + 1 \\y = -t - 1, t \in \mathbb{R} \\z = t - 1\end{cases}

Comme vous pouvez le voir, cela ne correspond à aucune des représentations proposées !

Est-ce que ça veut dire que la représentation que l’on a obtenue est fausse ?

Très bonne question. Non, la représentation obtenue n’est pas fausse. Il s’agit juste d’UNE représentation correcte parmi une infinité d’autres !

Comment fait-on pour déterminer la représentation correcte parmi celles proposées par l’énoncé alors ?

Lorsque l’on vous demande, non pas de déterminer une représentation paramétrique d’une droite vous-même, mais de choisir la bonne parmi plusieurs propositions, il faut s’y prendre autrement :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u}} de la droite \Delta.

Ici, l’énoncé nous les donne directement :

\overrightarrow{\mathrm{u}} (2 ; -1 ; 1) est un vecteur directeur de la droite \Delta.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Parmi les propositions, ne retenir que celles dont les coefficients qui se situent devant la variable t sont proportionnels aux coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{u}}.

Je rappelle que lorsqu’une droite admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}, le vecteur \overrightarrow{\mathrm{v}} de coordonnées (a;b;c) est un vecteur directeur de cette droite. Or :

Deux vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires.

Donc la proposition n’a de chance d’être correcte que si \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{v}} sont colinéaires. Cela signifie que les réels a, b et c doivent être proportionnels aux coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{u}} :

Les vecteurs directeurs des droites proposées sont respectivement (1;-1;-1), (2;-1;1), (4;-2;2) et (-2;1;-4). Parmi ces vecteurs, seuls ceux de coordonnées (2;-1;1) et (4;-2;2) sont colinéaires à \overrightarrow{\mathrm{u}} donc on ne retient que les propositions b et c.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Pour chacune des propositions retenues, résoudre le système \begin{cases}x = x_A \\y = y_A, \\z = z_A\end{cases} d’inconnue t. Si ce système admet une solution, alors la proposition est la bonne. Sinon, il faut l’éliminer.
Intéressons-nous d’abord à la proposition b. :
\begin{cases}x = x_A \\y = y_A, \\z = z_A\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-1 + 2t = 1 \\1 - t = -1 \\1 + t = -1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t = 1 \\t = 2 \\t = -2\end{cases} : t ne peut pas avoir trois valeurs différentes en même temps. Il n’y a donc pas de solution à ce système : la proposition b. est éliminée.

Reste la proposition c. Puisqu’il y a forcément une réponse juste, on sait qu’elle convient. Mais vérifions-le :

Quant à la proposition c., elle donne :
\begin{cases}x = x_A \\y = y_A, \\z = z_A\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}5 + 4t = 1 \\-3 - 2t = -1 \\1 + 2t = -1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t = -1 \\t = -1 \\t = -1\end{cases} : t = -1 convient.

Donc la bonne proposition est la proposition c. :

1. c.

Question 2

Soit \mathcal{D}_2 la droite de représentation paramétrique \begin{cases}x = 1 + t \\y = -3 - t, t \in \mathbb{R} \\z = 2 - 2t\end{cases}.
a. La droite \mathcal{D}_2 et le plan \mathcal{P} ne sont pas sécants
b. La droite \mathcal{D}_2 est incluse dans le plan \mathcal{P}
c. La droite \mathcal{D}_2 et le plan \mathcal{P} se coupent au point E\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3}\right)
d. La droite \mathcal{D}_2 et le plan \mathcal{P} se coupent au point F\left(\dfrac{4}{3};-\dfrac{1}{3};\dfrac{22}{3}\right)

Déterminer l’intersection d’un plan et d’une droite et un savoir-faire qu’il faut absolument maîtriser.

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Polynésie Exercice 2 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe une démarche systématique pour répondre à cette question :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Pour déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P}, il suffit de savoir que :

Soit \mathcal{P} un plan qui admet l’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (a;b;c) est normal au plan \mathcal{P}.

Ici, cela donne donc :

Le plan \mathcal{P} admet l’équation cartésienne 2x + y - z + 5 = 0 donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{n}} de coordonnées (2;1;-1) est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

Par ailleurs, c’est bien sûr la droite \mathcal{D}_2, dont on dispose de sa représentation paramétrique, qui joue le rôle de \mathcal{D} dans cet exercice.

Cette fois-ci, on peut appliquer le rappel de cours ci-dessus :

La droite \mathcal{D}_2 a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = 1 + t \\y = -3 - t, t \in \mathbb{R} \\z = 2 - 2t\end{cases} donc un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}_2 est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}(1;-1;-2).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (respectivement à \mathcal{P}) et choisi arbitrairement :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A appartient à \mathcal{P} (respectivement à \mathcal{D}). Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P} (respectivement l’équation cartésienne ou la représentation paramétrique de \mathcal{D}), alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Pour rappel :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{n}}.\overrightarrow{\mathrm{u}} = 2 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times (-2) = 2 - 1 + 2 = 3.
Donc \mathcal{D}_2 et \mathcal{P} sont sécants en un point unique.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Si l’étape précédente a mis en évidence que le plan et la droite considérés avaient un point d’intersection unique, résoudre le système constitué des équations du plan et de la droite.

Ici, il faut donc résoudre le système d’équations suivant : \begin{cases}x = 1 + t \\y = -3 - t, t \in \mathbb{R} \\z = 2 - 2t \\2x + y - z + 5 = 0\end{cases} :

\begin{cases}x = 1 + t \\y = -3 - t, t \in \mathbb{R} \\z = 2 - 2t \\2x + y - z + 5 = 0\end{cases}
 
\Rightarrow 2(1 + t) + (-3 - t) - (2 - 2t) + 5 = 0
 
\Rightarrow 2 + 2t - 3 - t - 2 + 2t + 5 = 0
 
\Rightarrow 2 + 3t = 0
 
\Rightarrow t = -\dfrac{2}{3}

On en déduit alors :

Donc le point d’intersection du plan \mathcal{P} et de la droite \mathcal{D}_2 a les coordonnées suivantes :
\begin{cases}x = 1 + t = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\\y = -3 - t = -3 + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{7}{3} \\z = 2 - 2t = 2 - 2 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{10}{3}\end{cases}

Comme vous pouvez le remarquer, il s’agit des coordonnées du point E. On en déduit alors la bonne proposition :

2. c.

Question 3

a. L’intersection du plan \mathcal{P} et du plan (ABC) est réduite à un point
b. Le plan \mathcal{P} et le plan (ABC) sont confondus
c. Le plan \mathcal{P} coupe le plan (ABC) selon une droite
d. Le plan \mathcal{P} et le plan (ABC) sont strictement parallèles

Déterminer l’intersection de deux plans est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser. C’est une question qui tombe souvent (comme ici et ici). Elle nécessite que vous connaissiez une équation cartésienne pour chacun de ces deux plans.

Eh mais on ne connaît pas d’équation cartésienne pour le plan (ABC) !

Qu’à cela ne tienne ! Déterminons-en une ! Voici comment s’y prendre lorsque l’on connaît 3 points de ce plan :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Indiquer que l’équation cartésienne d’un plan est forcément de la forme ax + by + cz + d = 0.

Il s’agit simplement de poser la forme générique de l’équation d’un plan :

Le plan (ABC) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Traduire l’appartenance des 3 points connus de ce plan.

Ici, on va donc traduire l’appartenance des points A, B et C au plan (ABC) :

\begin{cases}A \in (ABC) \\B \in (ABC) \\C \in (ABC)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}ax_A + by_A + cz_A + d = 0 \\ax_B + by_B + cz_B + d = 0 \\ax_C + by_C + cz_C + d = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a - b - c + d = 0~(L_1) \\a + b + c + d = 0~(L_2) \\3b + c + d = 0~~~~~(L_3)\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Exprimer 3 des variables a, b, c et d en fonction d’une seule d’entre elles.

Personnellement, je choisis d’exprimer a, b et c en fonction de d (mais c’est un choix tout à fait arbitraire) :

... \Leftrightarrow \begin{cases}2a + 2d = 0~~~(L_1 + L_2) \\-2b - 2c = 0~(L_1 - L_2) \\c = -3b - d~~~(L_3)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a = -d \\b = -c \\c = -3 \times (-c) - d\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a = -d \\b = -c \\2c = d\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a = -d \\b = -\dfrac{d}{2} \\c = \dfrac{d}{2}\end{cases}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Exprimer l’équation cartésienne en fonction de la seule variable que l’on a choisi de conserver.

Ici, cela donne :

Ainsi, on a -dx - \dfrac{d}{2}y + \dfrac{d}{2}z + d = 0
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Eliminer la variable restante de l’équation : le résultat est l’équation cherchée.

On va donc éliminer d :

soit -x - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2}z + 1 = 0/

Je ne sais pas pour vous, mais j’aime bien me débarrasser des fractions quand je le peux. Je vais donc multiplier l’équation obtenue par 2 (mais ce n’est pas du tout obligatoire) :

Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc -2x - y + z + 2 = 0
Ca ne fausse pas tout d’avoir multiplié l’équation cartésienne obtenue par 2 sur un « coup de tête » ?

Pas du tout ! Un plan admet une infinité d’équations cartésiennes. J’aurais pu multiplier le résultat par n’importe quoi, par \pi par exemple, ça resterait juste !

Maintenant que l’on dispose d’une équation cartésienne pour le plan (ABC), on va enfin pouvoir appliquer la méthode de détermination de l’intersection de deux plans. Tout d’abord un rappel de cours :

Soient \mathcal{P} et \mathcal{P deux plans de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-1
  • soit leur intersection est une droite \mathcal{D} (\mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants suivant \mathcal{D}) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-2
  • soit leur intersection est un plan (\mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus) :
    Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-an-exo1-3

Ce rappel étant fait, regardez la figure suivante qui représente deux plans \mathcal{P} et \mathcal{P strictement parallèles avec les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n qui sont normaux respectivement à \mathcal{P} et à \mathcal{P :

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 1 2013-ce-exo2-1

Que remarquez-vous ?

\overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires, non ?

Exactement ! Ainsi, pour déterminer l’intersection de deux plans, il y a une méthode systématique que vous pouvez utiliser et que nous allons utiliser ici pour montrer que \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}} au plan \mathcal{P} et un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n au plan \mathcal{P.

Et ça, c’est super facile si vous connaissez une équation cartésienne de chacun des deux plans ! En effet :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace et \overrightarrow{\mathrm{n}} un vecteur de l’espace de coordonnées (a;b;c).

\overrightarrow{\mathrm{n}} est un vecteur normal au plan \mathcal{P} si et seulement si \mathcal{P} a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Appliqué ici, cela donne :

Le plan \mathcal{P} d’équation 2x + y - z + 5 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}_1(2 ; 1 ; -1).
Le plan (ABC) d’équation -2x - y + z + 2 = 0 a pour vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{n}}_2(-2 ; -1 ; 1).
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer si \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n sont colinéaires ou non. Pour cela, il faut poser un réel \lambda tel que \overrightarrow{\mathrm{n = \lambda\overrightarrow{\mathrm{n}} et résoudre l’équation vectorielle d’inconnue \lambda. Si :
  • l’équation vectorielle admet une solution, alors les deux vecteurs sont colinéaires ;
  • l’équation vectorielle n’admet pas de solution, alors les deux vecteurs sont non colinéaires.

En faisant jouer à \overrightarrow{\mathrm{n}_1} le rôle de \overrightarrow{\mathrm{n}} et à \overrightarrow{\mathrm{n}_2} le rôle de \overrightarrow{\mathrm{n, on obtient :

\overrightarrow{\mathrm{n}_2} = \lambda\overrightarrow{\mathrm{n}_1} \Leftrightarrow \begin{cases}-2 = \lambda \times 2 \\-1 = \lambda \times 1 \\1 = \lambda \times -1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-1 = \lambda \\-1 = \lambda \\-1 = \lambda\end{cases}.

On trouve bien une solution à ce système d’équations :

\lambda = -1 convient.

D’où la conclusion sur la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}_1} et \overrightarrow{\mathrm{n}_2} :

Donc \overrightarrow{\mathrm{n}_2} = -\overrightarrow{\mathrm{n}_1} : \overrightarrow{\mathrm{n}_1} et \overrightarrow{\mathrm{n}_2} sont colinéaires.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en fonction de la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}} et \overrightarrow{\mathrm{n. Si ces deux vecteurs sont :

  • non colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont sécants en une droite ;
  • colinéaires, alors \mathcal{P} et \mathcal{P sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à l’un des plans (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de l’autre plan, alors A appartient à ce dernier. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont confondus ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de l’autre plan, alors A n’appartient pas à ce dernier. Il faut alors conclure que \mathcal{P} et \mathcal{P sont strictement parallèles.

Ici, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{n}_1} et \overrightarrow{\mathrm{n}_2}, il faut considérer un point bien choisi. Dans cet exercice, on connaît les coordonnées des points A, B et C. On va donc choisir l’un d’entre eux. Personnellement, je choisis de considérer le point A. Bien sûr, le point A appartient au plan (ABC). Mais appartient-il au plan \mathcal{P} ? Pour cela, voyons si A vérifie l’équation cartésienne de \mathcal{P} :

Le point A appartient au plan (ABC).

De plus, 2x_A + y_A - z_A + 5 = 2 \times 1 + 1 - (-1) + 5 = 8 \neq 0 donc A \notin \mathcal{P}.

On peut alors conclure :

Donc les plans \mathcal{P} et (ABC) sont strictement parallèles.

Ainsi, la bonne proposition est la proposition d. :

3. d.

Question 4

Une mesure de l’angle \widehat{BAC} arrondie au dixième de degré est égale à : 
a. 22,2°
b. 0,4°
c. 67,8°
d. 1,2 °

Pour répondre à cette question, ce qu’il faut vous demander, c’est : « quelle formule que je connais fait intervenir un angle ? »

Et la formule à laquelle vous devez penser, c’est bien sûr la formule du produit scalaire ! En effet, je vous rappelle que :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = AB \times CD \times cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{CD}}) où l’angle orienté (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{CD}}) est exprimé en radians.

Reste à savoir avec quels vecteurs effectuer un produit scalaire. Il faut exprimer un produit scalaire qui fait intervenir l’angle \widehat{BAC}.

Mais attention, la formule fait intervenir, non pas des angles géométriques, mais des angles orientés, exprimés en radians. Il s’agit donc ici de faire intervenir l’angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}). On va donc exprimer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = AB \times AC \times cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}})

On en déduit :

cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{AB \times AC}.

Or, calculer un produit scalaire lorsque l’on connaît les coordonnées des vecteurs qui interviennent est aisé si on sait que :

Soient \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{CD}} = xx

Déterminons donc les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} :

Or :
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(1 - 1 ; 1 - (-1) ; 1 - (-1))
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(0 ; 2 ; 2)

\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A ; z_C - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(0 - 1 ; 3 - (-1) ; 1 - (-1))
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-1 ; 4 ; 2)

On en déduit :

Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 0 \times (-1) + 2 \times 4 + 2 \times 2 = 12.

Reste à calculer les longueurs AB et AC. Là encore, il s’agit d’appliquer une formule que vous devez connaître par coeur :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

Ici, cela donne :

De plus :
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}
AB = \sqrt{(1 - 1)^2 + (1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2}
AB = \sqrt{0 + 4 + 4}
AB = \sqrt{8}
AB = 2\sqrt{2}

AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}
AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2}
AC = \sqrt{1 + 16 + 4}
AC = \sqrt{21}

On peut alors revenir au cosinus de l’angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) :

D’où cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) = \dfrac{12}{2\sqrt{2} \times \sqrt{21}} = \dfrac{12}{2\sqrt{42}}.

Il ne reste plus qu’à demander à la calculatrice combien vaut l’angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}) après avoir réglé la calculatrice en degrés :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 1 2014-as-exo1-1     Bac S 2014 Maths Asie Exercice 1 2014-as-exo1-2

La bonne proposition est donc la proposition a. :

4. a.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Asie Exercice 1.

Exprimez vous!