Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3

Enoncé

Une chaîne, suspendue entre deux points d’accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation graphique d’une fonction g définie sur [-1 ; 1] par

g(x) = \dfrac{1}{2a}(e^{ax} + e^{-ax})

a est un paramètre réel strictement positif. On ne cherchera pas à étudier la fonction g.

On montre en sciences physiques que, pour que cette chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réel a soit une solution strictement positive de l’équation

(x - 1)e^{2x} - 1 - x = 0.

Dans la suite, on définit sur [0 ; +\infty[ la fonction f par f(x) = (x - 1)e^{2x} - 1 - x pour tout réel x ~\textgreater ~0.

Question 1

Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.
Vérifier que f et que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f.

Que de plus classique pour commencer un exercice d’analyse que le calcul d’une dérivée. Le seul terme un peu difficile à dériver est le terme « (x - 1)e^{2x} ». Comme vos pouvez le voir, il s’agit d’un produit de fonctions donc on va appliquer la formule bien connue :

(uv)

où :

  • la fonction x \mapsto x - 1 joue le rôle de u ;
  • la fonction x \mapsto e^{2x} joue le rôle de v.

Sachant de plus que :

(e^{ax + b})

cela donne :

Pour tout x ~\textgreater ~0, on a :
[(x - 1)e^{2x}]

On en déduit :

Donc f.

On peut alors calculer f :

D’où f

Comme on se rappelle que :

e^0 = 1

on en déduit :

... = -1 - 1 = -2.

Reste à calculer la limite en +\infty de f. Ici, pas de difficulté particulière si on sait que :

Si \lim\limits_{\substack{x \to a}}~f(x) = +\infty, alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{f(x)} = +\infty

Ici, c’est x \mapsto 2x qui joue le rôle de f donc on peut écrire :

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~2x = +\infty donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{2x} = +\infty.
De plus, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~2x - 1 = +\infty d’où, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f.

Question 2

On note f la fonction dérivée de f.
Vérifier que, pour tout réel x ~\textgreater ~0, f.

Et hop ! Encore un calcul de dérivée. Comme précédemment, la seul terme qui mérite une attention particulière est le terme « (2x - 1)e^{2x}, produit des fonctions x \mapsto 2x - 1 et x \mapsto e^{2x} :

Pour tout x \geq 0, on a :
f.

Question 3

Montrer que, sur l’intervalle [0 ; +\infty[ la fonction f s’annule pour une unique valeur notée x_0.

Le mot « unique » doit immédiatement vous faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Si je formule la question autrement, ce que l’on nous demande, c’est de prouver que l’équation f admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; +\infty[. Et c’est bien ce corollaire qui va nous permettre de le faire.

Oh non ! je n’ai jamais rien compris à ce théorème !

On va y aller doucement. Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ainsi, la rédaction de la réponse à une telle question est toujours la même. Pour des raisons de simplicité :

  • je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche ;
  • je noterai toujours f la fonction étudiée, et ce, même si dans l’exercice, elle s’appelle autrement.
Pré-requis : connaître les variations de la fonction f.

En général, une question qui fait appel au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est précédée d’une série de questions qui vous amènent à déterminer le tableau de variations de la fonction f.

Ce n’est pas le cas ici car les variations de f sur son intervalle de définition (\mathbb{R}_+) sont très faciles à déterminer.

Pour ce faire, on va s’intéresser au signe de la dérivée de f, à savoir f. Ce signe est aisé à trouver si on sait que :

La fonction x \mapsto e^x est strictement positive sur \mathbb{R}.

La seule subtilité à laquelle il faut penser, c’est que, comme vous l’avez vu dans le rappel de cours ci-dessus, on a besoin que la fonction étudiée soit strictement monotone et non pas simplement monotone. Pour ça, il faut que sa dérivée soit strictement positive ou négative et non pas seulement positive ou négative au sens large. Ainsi, on va s’intéresser, non pas à l’ensemble \mathbb{R}_+ mais à \mathbb{R}_+^*. Donc il faut écrire :

Pour tout x ~\textgreater ~0, e^{2x} ~\textgreater ~0 et 4x ~\textgreater ~0 d’où, par produit, f.

On en déduit les variations de f sur son intervalle de définition :

Donc f est strictement croissante sur \mathbb{R}_+.
Eh attends attends ! Tu ne serais pas en train de nous arnaquer un peu, là ? Tu as étudié le signe de f sur \mathbb{R}_+^* et pourtant tu en déduis que f est strictement croissante sur \mathbb{R}_+ ! Comment tu passes de \mathbb{R}_+^* à \mathbb{R}_+ hein ?

Je vois qu’on est vigilant… et c’est très bien ! En fait, j’ai le droit de faire ça parce que la monotonie d’une fonction ne dépend pas de la valeur de sa dérivée en un point unique, en l’occurence  0 .

Passons maintenant à l’exploitation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires proprement dite :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur l’intervalle [a;b] ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. En remarquant que f est continue, cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ici, c’est \mathbb{R}_+ = [0;+\infty[ qui joue le rôle de [a;b]. D’après les variations de la fonction f déterminées dans l’étape de pré-requis ainsi qu’à la question 1, on sait que :

  • Monotonie de f
    f est strictement croissante sur [0;+\infty[ ;
  • Valeurs de f aux bornes de [a;b]
    f et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f

Vous pouvez donc écrire :

f est continue sur [0;+\infty[. De plus, d’après ce qui précède, on sait que f est strictement croissante sur [0;+\infty[. De plus :

  • f
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f

donc f.

Vous remarquerez que l’image de [a;b] par f se note f.

Comment sais-tu que f est continue sur [0;+\infty[ ?

C’est là que le programme est très vague. En effet, voici ce qu’il exige très exactement sur la continuité :

On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle.

Traduction de ce qu’il y a marqué en gras : à moins que l’on ne vous indique explicitement le contraire, considérez que toutes les fonctions que l’on vous fait étudier sont continues !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, on cherche à montrer que f s’annule pour une unique valeur x_0 donc c’est  0 qui joue le rôle de k et [-2 ; +\infty[ qui joue le rôle de l’image de [a;b] par f :

Or, 0 \in [-2 ; +\infty[
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique réel x_0 \in \mathbb{R}_+ tel que f(x_0) = 0. Autrement dit, f s’annule pour une unique valeur x_0.

Question 4

a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +\infty[, puis montrer que f(x) est négatif pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; x_0].

Comme d’habitude, pour déterminer le sens de variation d’une fonction f, on va s’intéresser au signe de sa dérivée f.

Ohlà ! Mais je ne sais pas déterminer le signe de l’expression (2x - 1)e^{2x} - 1, moi !

Moi non plus ! Mais, je sais, d’après la question 3. que :

  • f est strictement croissante sur [0 ; +\infty[ ;
  • f s’annule sur [0 ; +\infty[ en une unique valeur x_0.

Autrement dit, f augmente sans cesse, en passant une et une seule fois par  0 . Si je schématise les variations de f, cela donne ceci :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2014-as-exo3-1

Ainsi, on peut écrire que :

D’après la question 3, f est strictement croissante sur [0 ; +\infty[ et s’annule en un unique réel x_0 sur cet intervalle donc :

  • la fonction f est strictement négative sur [0 ; x_0[ ;
  • la fonction f est strictement positive sur ]x_0 ; +\infty[.

On en déduit alors les variations de f :

D’où :

  • f est strictement décroissante sur [0 ; x_0] ;
  • f est strictement croissante sur [x_0 ; +\infty[ ;

Vous remarquerez que, comme précédemment, j’ai éliminé x_0 dans l’étude du signe de f pour obtenir la stricte monotonie de f.

Reste à prouver que f est négative sur [0 ; x_0]. Pour ce faire, la première chose qui me vient à l’esprit est ce que nous venons de montrer, à savoir que la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle. Parce que, du coup, si f(0) était négatif, le tour serait joué ! En effet, cela voudrait dire que la « première » valeur de f serait négative et qu’ensuite, f ne ferait que décroître (jusque f(x_0)). f ne pourrait donc être que négative sur [0 ; x_0] !

Calculons donc f(0) :

f(0) = (0 - 1)e^{2 \times 0} - 1 - 0 = -e^0 - 1 = -1 - 1 = -2 ~\textless ~0

Vous remarquerez que pour effectuer ce calcul, j’ai été amené à utiliser le fait que :

e^0 = 1

f(0) est bien négatif. Il est même strictement négatif, ce qui, en appliquant le raisonnement prévu, nous permet de montrer que f est non pas seulement négatif sur [0 ; x_0] comme le suggère l’énoncé, mais même strictement négatif sur cet intervalle. Et ça, ça vaut le coup de le mentionner car cela nous servira pour la question suivante :

De plus, f est strictement décroissante sur [0 ; x_0] d’où, pour tout x \in [0 ; x_0], f(x) est strictement négatif.

b. Calculer f(2).
En déduire que sur l’intervalle [0 ; +\infty[, la fonction f s’annule pour une unique valeur.
Si l’on note a cette valeur, déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur de a arrondie au centième.

Calculons f(2) :

f(2) = (2 - 1)e^{2 \times 2} - 1 - 2 = e^4 - 3 \simeq 51,6

L’énoncé souhaite que nous en déduisions que la fonction f s’annule pour une unique valeur sur l’intervalle [0 ; +\infty[. Avez-vous une idée du théorème à utiliser ?

Qui dit « unique » dit « corollaire du théorème des valeurs intermédiaires » !

Eh bah voilà ! Je vois que ça commence à rentrer ! Mais alors attention, je rappelle que pour appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il faut repérer un intervalle où f est strictement monotone. Or, f est :

  • strictement décroissante sur [0 ; x_0] ;
  • strictement croissante sur [x_0 ; +\infty[ ;

Donc on ne peut pas appliquer ce corollaire directement sur l’intervalle [0 ; +\infty[ : il faut traiter l’intervalle [0 ; x_0] d’une part, et l’intervalle [x_0 ; +\infty[ d’autre part.

Sur l’intervalle [0 ; x_0], il n’est même pas nécessaire d’invoquer le corollaire :

On a montré à la question précédente que f était strictement négative sur l’intervalle [0 ; x_0], donc elle ne s’y annule jamais.
Ah voilà pourquoi tu avais insisté pour mentionner que f était strictement négqtive sur [0 ; x_0], et non pas seulement négative…

Eh oui !

Passons à l’intervalle [x_0 ; +\infty[. Alors là, j’avoue que je ne comprends pas trop la logique de l’énoncé… Personnellement, j’aurais appliqué le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [x_0 ; +\infty[. Mais en fait, ce n’est pas ce que suggère l’énoncé. En nous demandant de calculer f(2), l’énoncé nous indique subtilement la démarche suivante :

  • appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [x_0 ; 2] pour montrer que f s’y annule en une valeur unique ;
  • puis, faire remarquer que, comme f est strictement croissante sur [x_0 ; +\infty[, elle l’est notamment sur [x_0 ; +\infty[. D’où, comme f(2) est strictement positif, f ne s’annule pas sur [x_0 ; +\infty[.

Appliquons donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [x_0 ; 2].

D’abord, déterminons l’image de [x_0 ; 2] par f :

f est continue sur [x_0 ; 2]. De plus, d’après ce qui précède, on sait que f est strictement croissante sur [x_0;+\infty[ donc notamment sur [x_0 ; 2]. Donc f([x_0 ; 2]) = [f(x_0) ; f(2)].
Tiens, tu ne calcules pas les valeurs f(x_0) et f(2) ?

Non car leurs valeurs ne sont pas importantes. Ce qui importe, c’est de remarquer que f(x_0) ~\textless ~0 et que f(2) ~\textgreater ~0 :

Or, on a montré à la question précédente que f(x_0) ~\textless ~0 et, de plus, f(2) ~\textgreater ~0 d’où 0 \in [f(x_0) ; f(2)].

On peut alors conclure sur l’intervalle [x_0 ; 2] :

D’où il existe un unique réel a \in [x_0 ; 2] tel que f(a) = 0.

Reste à étudier l’intervalle [2 ; +\infty[. Le type de raisonnement est le même que celui adopté à la question 4. a, mais pour montrer cette fois-ci que f est strictement positive sur [2 ; +\infty[ :

Par ailleurs, f(2) ~\textgreater ~0 et f est strictement croissante sur [x_0 ; +\infty[, donc notamment sur [2 ; +\infty[. D’où f est strictement positive sur [2 ; +\infty[ : elle ne s’annule donc pas sur cet intervalle.

Ce dernier point nous permet de conclure :

En conclusion, f s’annule pour une unique valeur a sur [0 ; +\infty[.

Deuxième partie de la question ultra classique… Après vous avoir fait démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0;+\infty[, on vous demande d’en trouver un encadrement.

Pour cela, il faut utiliser la fonction TABLE de votre calculatrice.

Je ne sais jamais à quelle valeur faire commencer la table, ni quel pas prendre !

OK je vais vous montrer comment je fais sur une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale S et que je la recommande vivement !).

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
L’écran par défaut que vous devez obtenir est l’écran ci-contre. Si ce n’est pas le cas, appuyer sur la touche « HOME ».
Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2013-as-exo2-2
2. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « Y= ».
L’écran de saisie des fonctions apparaît.
Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2013-as-exo2-3
3. Saisir f et cliquer sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2014-as-exo3-2
4. Cliquer sur la touche « Diamant » (autre nom du « losange vert ») et sur « GRAPH ».
La courbe représentatrice de f apparaît.
Afficher la courbe permet de voir à partir d’où faire commencer la table de valeurs. Ici, on étudie f sur [0 ; +\infty[ donc on peut ignorer la partie qui se trouve à gauche de l’axe des ordonnées.
Par ailleurs, puisque la courbe ne croise l’axe des abscisses sur [0;+\infty[ qu’entre 1 et 2, on peut faire commencer la table de valeurs à 1.
Bac S 2014 Asie Exercice 3 2014-as-exo3-3
5. Cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TblSet ».
L’écran de configuration de la table des valeurs apparaît.
Bac S 2014 Asie Exercice 3 2014-as-exo3-4
6. « tblStart » correspond à la valeur de x à laquelle la table commence et \Delta tbl correspond au pas. Ici, on fait commencer la table à 1.

Quant au pas, l’énoncé demande « donner une valeur arrondie au centième ». Par conséquent, il faut disposer du 3e chiffre après la virgule pour savoir à quel centième arrondir.

Cela veut-il dire que je dois mettre 0.001 dans \Delta tbl pour voir le 3e chiffre après la virgule ?

En principe oui : 0.1 pour voir un chiffre après la virgule, 0.01 pour voir deux chiffres après la virgule, etc. Dans la pratique, si vous mettez directement 0.001, vous allez mettre longtemps à trouver la bonne valeur. C’est pourquoi je vous conseille de mettre d’abord 0.01.
Une fois les deux valeurs saisies, cliquer sur « ENTER » pour revenir à l’écran de saisie des fonctions. Puis cliquer sur la touche « Diamant » et sur « TABLE ». La table apparaît.

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2014-as-exo3-5
7. On remarque alors que pour x = 1.19, y1 (c’est-à-dire f(x)) est strictement inférieur à  0 et que pour x = 1.2, y1 est strictement supérieur à  0 . Cela signifie que \beta est compris entre 1.19 et 1.2. Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2014-as-exo3-7
8. Maintenant que l’on dispose d’un encadrement du réel a au centième près, on peut reconfigurer la table pour voir le 3e chiffre après la virgule en faisant commencer la table à 1.19 et en mettant \Delta tbl à 0.001.

On remarque alors que pour x = 1.199, y1 (c’est-à-dire f(x)) est strictement inférieur à  0 et que pour x = 1.2, y1 est strictement supérieur à  0 . Cela signifie que a est compris entre 1.199 et 1.200 : ainsi, sa valeur arrondie au centième près est 1.20.

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3 2014-as-exo3-8

On peut donc conclure pour a :

D’après la calculatrice,
\begin{cases}f(1.199) \simeq -0.0098~ \textless ~0\\f(1.200) \simeq 0.00464~ \textgreater ~0\end{cases}
donc la valeur arrondie de a au centième est 1.20.

Question 5

On admet sans démonstration que la longueur L de la chaîne est donnée par l’expression

L = \int_0^1 (e^{ax} + e^{-ax}) ~\mathrm{d}x

Calculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant 1,2 comme valeur approchée du nombre a.

Vous remarquerez que la valeur de a proposée par l’énoncé est très exactement la valeur de a que nous avons trouvée à la question précédente. Si tel n’était pas le cas, posez-vous des questions…

Bref, il s’agit de finir l’exercice par le calcul d’une intégrale. Commençons par nous rappeler quelques primitives usuelles que vous devez absolument connaître :

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :

  •  u,  n \in \mathbb{N} , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n + 1} u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{u} + k,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  2\sqrt{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  u , dont la primitive est de la forme  e^{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  • et si on sait déterminer facilement une primitive U d’une fonction u,  u(ax + b) , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R}

Cherchons maintenant une primitive de x \mapsto e^{ax}. Là, il faut utiliser le dernier des points qui figure sur le rappel des primitives usuelles ci-dessus.

En effet, il est très facile d’obtenir une primitive de la fonction exponentielle :

La primitive de la fonction x \mapsto e^x est de la forme x \mapsto e^x + k, k \in \mathbb{R}.

Ainsi, en remarquant que la fonction x \mapsto e^{ax} est de la forme x \mapsto u(ax + b) avec :

  • x \mapsto e^x dans le rôle de la fonction u ;
  • a dans le rôle du réel a (ça tombe bien 😉 );
  •  0 dans le rôle du réel b ;

une primitive de x \mapsto e^{ax} est la fonction x \mapsto \dfrac{1}{a}e^{ax}.

De la même façon, une primitive de x \mapsto e^{-ax} est la fonction x \mapsto -\dfrac{1}{a}e^{-ax}.

On peut donc écrire :

La longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités vaut :
L = \int_0^1 (e^{ax} + e^{-ax}) ~\mathrm{d}x = \left[ \dfrac{1}{a} \, e^{ax} \right]_0^1 + \left[-\dfrac{1}{a} \, e^{-ax} \right]_0^1

Le reste n’est que simple calcul :

... = \dfrac{1}{a}(e^{a} - e^0) - \dfrac{1}{a}(e^{-a} - e^0) = \dfrac{e^a - 1}{a} - \dfrac{e^{-a} - 1}{a} = \dfrac{e^a - e^{-a}}{a} \simeq 2,52.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Asie Exercice 3.

Exprimez vous!