Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl

Enoncé

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On note f_n la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par

f_n(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.

Pour tout entier n ~\textgreater ~1, on définit le nombre I_n par

I_n = \int_0^1 f_n(x)~dx = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^n}~dx.

Question 1Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-1

Les représentations graphiques de certaines fonctions f_n obtenues à l’aide d’un logiciel sont tracées ci-après.
En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite (I_n) l’existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque n tend vers +\infty.

Vous devez absolument connaître l’interprétation graphique d’une intégrale :

L’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire algébrique située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. Par « algébrique », on entend que cette aire est :

  • positive lorsque f est positive ;
  • négative lorsque f est négative.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Ainsi, dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

En particulier, si la fonction f est positive entre les droites d’équation x = a et x = b, l’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire « tout court » située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. :

Commençons donc par indiquer ce que représente I_n :

Pour tout n entier naturel, f_n est positive sur [0;1]. Donc I_n est l’aire située sous la courbe représentative de la fonction f_n entre les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Vous remarquerez que c’est bien parce que j’ai mentionné que f_n était positive quel que soit n que j’ai pu dire « aire » tout court au lieu de « aire algébrique ».

Ensuite, ce qu’il convient de remarquer ici, c’est que :

Or, lorsque n tend vers l’infini, l’aire situé sous la courbe f_n semble tendre vers celle du carré de côté 1.

Et l’aire du carré de côté 1, c’est facile à calculer :

Donc il semblerait que la suite (I_n) admet une limite qui vaut 1 \times 1 = 1.

Question 2

Calculer la valeur exacte de I_1.

Ici, il s’agit de calculer I_1 = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x}~dx.

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :

  •  u,  n \in \mathbb{N} , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n + 1} u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{u} + k,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  2\sqrt{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  u , dont la primitive est de la forme  e^{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  • et si on sait déterminer facilement une primitive U d’une fonction u,  u(ax + b) , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R}

Ici, il faut utiliser le 5e point qui figure sur le rappel des primitives usuelles ci-dessus :

\dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}

En effet, on peut remarquer que la fonction x \mapsto \dfrac{1}{1 + x} est de la forme x \mapsto \dfrac{u avec x \mapsto 1 + x dans le rôle de la fonction u. Ainsi, une primitive de x \mapsto \dfrac{1}{1 + x} est la fonction x \mapsto ln~(1 + x).

On peut donc écrire :

I_1 = \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x}~dx = [ln~(1 + x)]_0^1 = ln~2 - ln~1

Sachant que :

ln~1 = 0

on obtient :

... = ln~2.

Question 3

a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n ~\textgreater ~1, on a :

\dfrac{1}{1 + x^n} \leq 1

Pour démontrer une inégalité, il y a une astuce qui est toujours bonne de tenter :

Si on demande de prouver une inégalité ou un encadrement qui fait intervenir un réel x sur un intervalle borné, il faut commencer par traduire le fait que x appartienne à cet intervalle.

Ici, l’énoncé propose de démontrer une inégalité « pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1]. Appliquons donc l’astuce que je vous suggère :

Pour tout réel x \in [0 ; 1], on a :
0 \leq x \leq 1

Il s’agit ensuite de parvenir petit-à-petit à l’encadrement souhaité. Pour cela, vous devez savoir que :

Pour tout réel x \in [0 ; 1], 0 \leq x^n \leq 1.

On peut donc écrire :

... \Leftrightarrow 0 \leq x^n \leq 1

\Leftrightarrow 1 \leq 1 + x^n \leq 2

Passons à l’inverse. Cela entraîne le changement de sens des inégalités :

... \Leftrightarrow \dfrac{1}{1} \geq \dfrac{1}{1 + x^n} \geq \dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow 1 \geq \dfrac{1}{1 + x^n} \geq \dfrac{1}{2}

Donc on a bien, pour tout n entier naturel, \dfrac{1}{1 + x^n} \leq 1.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n \geq 1, on a : I_n \leq 1.

On vient de montrer une inégalité sur l’expression qui se situe à « l’intérieur » de I_n. Compte tenu de cela, pour prouver une inégalité sur l’intégrale I_n elle-même, vous devez absolument penser à l’élément de cours suivant :

Croissance de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a;b].
Si pour tout x \in [a;b], f(x) \leq g(x) alors  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq \int_a^b g(x) \, \text{d}x.

Ici, cela veut dire que :

On vient de montrer que, pour tout n entier naturel et pour tout réel x \in [0 ; 1], \dfrac{1}{1 + x^n} \leq 1. Donc \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^n}~dx \leq \int_0^1 1~dx.

Or, \int_0^1 1~dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1 d’où I_n \leq 1.


Question 4

Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n \geq 1, on a :

1 - x^n \leq \dfrac{1}{1 + x^n}.

Cette question n’est pas évidente du tout. Personnellement, je me suis dit « Euh… et je fais comment, là ? »…

Alors j’ai pris un stylo et une feuille de papier et j’ai couché sur le papier les inégalités qui me venaient à l’esprit à partir du résultat voulu :

1 - x^n \leq \dfrac{1}{1 + x^n}
 
(1 - x^n)(1 + x^n) \leq 1 (vous remarquerez que le sens d’inégalité est conservé car, pour tout x \in [0 ; 1], 1 + x^n est positif)
 
1^2 - (x^n)^2 \leq 1
 
1 - (x^n)^2 \leq 1

Arrivé là, j’ai été rassuré : je sais prouver que, pour tout réel x \in [0 ; 1], 1 -  (x^n)^2 \leq 1. Ainsi, je pourrai « remonter » les inégalités que je viens d’écrire pour prouver l’inégalité voulue.

Pour tout réel x \in [0 ; 1] et pour tout n entier naturel, (x^n)^2 \geq 0 donc 1 - (x^n)^2 \leq 1.

En effet, lorsque l’on retranche à 1 un nombre positif, le résultat est inférieur à 1. Continuons en factorisant 1 - (x^n)^2 à l’aide de l’identité remarquable « a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) » :

D’où :
(1 - x^n)(1 + x^n) \leq 1

Il ne reste plus qu’à diviser l’inégalité à gauche et à droite par 1 + x^n :

... \Leftrightarrow 1 - x^n \leq \dfrac{1}{1 + x^n}

Question 5

Calculer l’intégrale \int_0^1 (1 - x^n)~dx.

Pas de difficulté ici. Il suffit de connaître les primitives de deux fonctions de référence :

  • Une primitive de x \mapsto 1 est x \mapsto x + k, k réel ;
  • Une primitive de x \mapsto x^n est x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + k, k réel.

Ici, cela donne :

\int_0^1 (1 - x^n)~dx = \left[x - \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_0^1 = \left(1 - \dfrac{1}{n + 1} \times 1^{n+1}\right) - \left(0 - \dfrac{1}{n + 1} \times 0^{n+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1}

Question 6

À l’aide des questions précédentes, démontrer que la suite (I_n) est convergente et déterminer sa limite.

Qu’avons-nous montré aux questions précédentes ? Ceci :

Les questions précédentes nous permettent d’écrire que, pour tout n entier naturel et pour tout x \in [0 ; 1], 1 - x^n \leq \dfrac{1}{1 + x^n} \leq 1.

En appliquant la croissance de l’intégrale, on obtient :

Donc, \int_0^1 (1 - x^n)~dx \leq \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^n}~dx \leq \int_0^1 1~dx

\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^n}~dx = I_n et \int_0^1 1~dx = 1.

De plus, comme par hasard, on vient de nous faire calculer \int_0^1 (1 - x^n)~dx ! Donc on peut écrire :

soit 1 - \dfrac{1}{n+1} \leq I_n \leq 1

Un bref coup d’oeil vous permet de voir qu’on a donc réussi à encadrer I_n par deux termes qui convergent vers 1 et l’énoncé vous demande d’en déduire que (I_n) converge et de donner sa limite… Une idée pour conclure la question ?

Il ne faudrait pas utiliser le théorème de gendarmes, par hasard ?

Bien évidemment ! Pour ceux qui ne se souviennent plus de ce qu’est le théorème des gendarmes, petit rappel :

On considère trois suites de nombre réels (u_n), (v_n) et (w_n) telles que :

  • à partir d’un certain rang v_n \leq u_n \leq w_n ;
  • \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~v_n = \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~w_n = l.

Alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~u_n = l.

Ici, il faut donc écrire :

Or, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~1 - \dfrac{1}{n+1} = l d’où, daprès le théorème des gendarmes, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}~I_n = 1. On peut remarquer que cette limite correspond à celle que nous avons conjecturé à la question 1.

Vous remarquerez que j’ai pris le soin de faire remarquer que la limite obtenue était bien celle qui avait été conjecturée. Cela permet d’indiquer au correcteur que nous avons une démarche cohérente.


Question 7

On considère l’algorithme suivant :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-2

a. Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l’on entre les valeurs n = 2 et p = 5 ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme. Les valeurs de I seront arrondies au millième.

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-3

Comme on peut le voir avec sa dernière instruction, ce que renvoie cet algorithme, c’est la valeur de la variable I après traitement.

Pour déterminer ce que renvoie l’algorithme, il convient donc de déterminer les valeurs prises par chacune des variables au cours du traitement, sachant qu’au moment où on entre dans la boucle « Pour » :

  • I vaut  0 (de par la phase d’initialisation) ;
  • n vaut 2 et p vaut 5, valeurs saisies par l’utilisateur.

Celles-ci nous permettront alors d’indiquer la valeur de I à la fin de la phase de traitement :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-4

Bien sûr, il n’est pas utile de détailler les calculs dans le tableau de valeurs. Je l’ai fait uniquement pour vous montrer comment j’obtenais les valeurs inscrites.

Ce tableau nous permet donc d’indiquer la valeur que renvoie l’algorithme :

L’algorithme renvoie la valeur de la variable I après la phase de traitement donc, il affichera ici 0,83.

b. Expliquer pourquoi cet algorithme permet d’approcher l’intégrale I_n.

On ne peut répondre à cette question que si l’on a compris la valeur que l’on affecte à I sur cette instruction :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-5

Sur cette instruction, on affecte à I sa valeur précédente, à laquelle vient s’ajouter l’aire d’un rectangle de longueur \dfrac{1}{1 + x^n} = f_n(x) et de largeur \dfrac{1}{p} avec :

  • n qui vaut 2 ;
  • p qui vaut 5 ;
  • x qui vaut \dfrac{k}{p}, pour k variant de  0 à p - 1 .

Pour n = 2 et p = 5, I est donc la somme des aires oranges ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-6

Cela ne vous rappelle-t-il rien ?

Ah mais c’est la méthode d’approximation de l’aire sous la courbe par la méthode des rectangles !

Voilà ! Vous avez tout compris :

L’algorithme approxime l’aire sous la courbe représentative de f_n, et donc la vlaue de I_n, par la méthode des rectangles avec des rectangles de longueur f_n\left(\dfrac{k}{p}\right) et de largeur \dfrac{1}{p}, pour k variant de  0 à p - 1.

Et c’est bien connu : plus la largeur des rectangles est fine, plus l’approximation est bonne. Voici ce que donne en effet l’approximation lorsque p vaut, non plus 5, mais 10 :

Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl 2014-as-exo4-7

Ainsi, on peut écrire :

Pour approcher I_n, il suffit donc de saisir une valeur de p grande, ce qui rendra les rectangles de largeur \dfrac{1}{p} plus fins.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Asie Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!