Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1

Enoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1

Dans un hypermarché, 75 % des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,750
b. 0,150
c. 0,462
d. 0,700

Cette question demande un peu d’initiative… L’énoncé indique d’abord une information sur un événement F : « Etre une femme ». Puis, par rapport à cet événement, il donne une seconde information sur un autre événement B : « Acheter un article au rayon bricolage ».

Personnellement, quand je lis ça, je me dis « Ah bah tiens, et si je faisais un arbre pondéré ? ».

Euh… comment as-tu l’idée de faire ça ?

Si vous allez voir les exercices du thème « Obligatoire > Probabilités et statistique > Conditionnement, indépendance« , vous verrez que la première question aux exercices où on annonce une statistique sur un premier événement puis on indique une seconde statistique sachant que le premier événement a lieu, est souvent « Construire un arbre pondéré traduisant la situation ».

Ici, la différence est qu’on ne vous le demande pas : on veut que vous y pensiez vous-même. 😉

Comme vous l’avez sans doute remarqué, j’ai choisi de nommer F et B les événements considérés : ce choix est totalement arbitraire. Vous auriez pu mettre n’importe quelle lettre pour désigner ces événements.

Construisons donc l’arbre pondéré en traduisant chacune des phrases de l’énoncé :

Dans un hypermarché, 75 % des clients sont des femmes.

En lisant cela, je sais que mon arbre va d’abord contenir deux branches : une branche correspondant à l’événement F, et une autre correspondant à son événement contraire \overline{F}.

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-1
Hum… Je vois d’où vient le 0,75 puisque l’énoncé indique que 75 % des clients sont des femmes. Mais d’où vient le 0,25 ?

Bonne question ! Elle vient du fait que :

Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches partant d’un même noeud doit valoir 1.

Ici, on a donc p(\overline{F}) = 1 - 0,75 = 0,25.

Poursuivons la construction de l’arbre pondéré :

Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage

Il s’agit clairement d’une probabilité conditionnelle : sachant que le client st une femme, la probabilité qu’elle achète un article au rayon bricolage est de \dfrac{1}{5} = 0,2. Cela donne donc :

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-2
Le 0,8, il vient du fait qu’à nouveau, la somme des probabilités des branches partant d’un même noeud doit valoir 1, non ?

Exactement ! Vous avez tout compris ! :)

alors que sept hommes sur dix le font

Cette fois-ci, il s’agit d’une probabilité conditionnelle sur l’événement \overline{F} : « Le client n’est pas une femme » :

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-3

Maintenant que l’arbre pondéré est terminé, on va pouvoir l’exploiter ! :p

Ce que l’on veut calculer, c’est p_B(F). Pour calculer une probabilité conditionnelle, un seul réflexe :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}

Ici, cela donne :

La probabilité que le client soit une femme vaut :
p_B(F) = \dfrac{p(B \cap F)}{p(B)}

Calculons donc p(B \cap F) puis p(B).

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements

Sur notre arbre, les deux branches à considérer pour calculer p(B \cap F) sont donc celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-4

On peut donc écrire :

p(B \cap F) = 0,75 \times 0,2 = 0,15

Passons au tour de p(B) :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-5

Cela donne :

En exploitant l’arbre de probabilité, on a :
p(B) = \underbrace{0,75 \times 0,2}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,25 \times 0,7}_{\text{chemin 2}} = 0,15 + 0,175 = 0,325

On peut alors conclure sur p_B(F) :

D’où p_B(F) = \dfrac{p(B \cap F)}{p(B)} = \dfrac{0,15}{0,325} = 0,462.

Donc la bonne réponse est :

1. c.

Question 2

Dans cet hypermarché, un modèle d’ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d’établir que, chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la probabilité qu’il l’achète est égale à 0,3. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle.
La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,900
b. 0,092
c. 0,002
d. 0,267

Quelqu’un de bien entraîné (genre quelqu’un comme moi qui a fait tous les sujets de 2013… je dis ça, je dis rien 😉 ) remarque immédiatement certains termes clés :

  • « chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la probabilité qu’il l’achète est égale à 0,3 » : on dirait bien la probabilité d’un succès…
  • « On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle » : si c’est pas 10 répétitions d’une épreuve de Bernoulli ça, je ne sais pas ce que c’est…
  • « La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle » : si on appelle X l’événement qui caractérise le succès, ce qu’on nous demande, c’est p(X = 3) : la formule du binôme de Newton va nous être bien utile ici…

Vous l’aurez compris, il s’agit ici :

  • de poser X la variable aléatoire qui représente le nombre de clients qui achètent le modèle d’ordinateur considéré ;
  • de montrer que X une loi binômiale dont on précisera les paramètres ;
  • d’utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer p(X = 3).

On va donc y aller étape par étape :

On pose X la variable aléatoire qui représente le nombre de clients qui achètent le modèle d’ordinateur considéré une fois qu’il s’y est intéressé.

Montrons que X suit une loi binômiale
dont on va en préciser les paramètres. La démarche à adopter pour montrer qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale est toujours la même :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer une épreuve de Bernoulli dans la situation proposée et indiquer que l’événement dont X représente le nombre d’occurrences constitue le « succès ».
« Considérer un client qui s’est intéressé au modèle d’ordinateur étudié » est une expérience aléatoire qui ne compte que deux issues possibles : « le client a acheté un ordinateur de ce modèle », de probabilité p = 0,3 ou « le client n’a pas acheté un ordinateur de ce modèle », de probabilité 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement « le client a acheté un ordinateur de ce modèle ».
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Remarquer que cette épreuve de Bernoulli est répétée dans des conditions d’indépendance et en déduire que nous nous trouvons donc dans le cadre d’un schéma de Bernoulli.
Ici, « on considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle » donc on répète 10 fois l’épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance : il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure que X suit une loi binomiale dont les paramètres sont :

  • n, où n est le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli ;
  • p, où p est la probabilité de l’événement qui a été désigné comme « succès ».
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3.

Ce qui est demandé ici, c’est la probabilité d’obtenir 3 succès. Or :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
La probabilité d’obtenir k succès vaut p(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k(1 - p)^{n-k}.

Donc il suffit de calculer p(X = 3) :

La probabilité qu’exactement trois d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle vaut :
p(X = 3) = \dbinom{10}{3} 0,3^3(1 - 0,3)^{10-3} \simeq 0,267.

Donc la bonne réponse est :

2. d.

Question 3

Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut
être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda. La durée de vie moyenne d’un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : \lambda = \dfrac{1}{8}.
La probabilité qu’un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,750
b. 0,250
c. 0,472
d. 0,528

Sans doute la question la moins difficile de cet exercice. En effet, il s’agit simplement d’une question de cours à laquelle on souhaite s’assurer que vous connaissez la formule suivante :

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda, et a un réel positif ou nul.
P(X \leq a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left[-e^{-\lambda x}\right]^{a}_{0} = 1 - e^{-\lambda a}.

Ici, on cherche la probabilité qu’un téléviseur fonctionne encore au bout de 6 ans, autrement dit, que sa durée de vie dépasse 6 ans. Il s’agit donc de calculer p(X \geq 6)X est la variable aléatoire réelle qui représente la durée de vie des téléviseurs en années.

Zut ! La formule donne les probabilités de la forme p(X \leq a) et non pas celles de la forme P(X \geq a) !

C’est vrai. Mais cela n’est pas un problème si on sait également que :

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle et a un réel positif ou nul.
P(X \geq a) = 1 - P(X \leq a).

Ainsi, on peut écrire :

La probabilité qu’un téléviseur fonctionne encore au bout de 6 ans vaut :
p(X \geq 6) = 1 - p(X \leq 6) = 1 - (1 - e^{-(1/8) \times 6}) = 0,472.

Donc la bonne réponse est la réponse :

3. c.

Question 4

Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne 200 g.
La probabilité que la masse d’une baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à 0,954.
La probabilité qu’une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à 192 g a pour valeur arrondie au centième :
a. 0,16
b. 0,32
c. 0,84
d. 0,48

Dans cette question, un nombre doit faire « tilt » : 0,954. En effet, votre cours vous dit que :

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,683 à 10^{-3} près ;
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \simeq 0,954 à 10^{-3} près ;
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \simeq 0,997 à 10^{-3} près.

En effet, en appelant X la variable aléatoire réelle considérée :

La probabilité que la masse d’une baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à 0,954.

signifie que :

D’après l’énoncé, p(184 \leq X \leq 216) = 0,954.

On peut alors faire le lien avec le rappel de cours ci-dessus :

Or, on sait que p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) = 0,954 à 10^{-3} près d’où, en notant \mu et \sigma respectivement la moyenne et l’écart-type de la loi suivie par X, on a :
\begin{cases}\mu - 2\sigma = 184 \\\mu + 2\sigma = 216\end{cases}

On connaît la valeur de \mu : \mu = 200. On peut donc en déduire la valeur de \sigma :

... \Leftrightarrow \begin{cases}\sigma = \dfrac{\mu - 184}{2} \\\sigma = \dfrac{216 - \mu}{2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\sigma = \dfrac{200 - 184}{2} \\\sigma = \dfrac{216 - 200}{2}\end{cases} \Leftrightarrow \sigma = 8.
OK mais ça sert à quoi de trouver l’écart-type \sigma ?

Eh bien maintenant que l’on sait quelle loi suit X, on va pouvoir trouver p(X \leq 192) en s’appuyant sur la calculatrice !

Mais attention : la calculatrice ne sait pas calculer les probabilités du type P(X \leq a). Elle ne sait calculer que les probabilités du type P(a \le X \le b).

Voici la méthode pour calculer les probabilités de type P(X \leq a) :

Pour calculer une probabilité du type P(X \le a)X suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma, il faut systématiquement appliquer la règle suivante :

  • Si a \ge \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 + P(\mu \le X \le a) ;
  • Si a \le \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 - P(a \le X \le \mu).

Ici, a = 192 et \mu = 200 donc a \le \mu d’où on utilise le second cas :

192 \ge 200 donc p(X \le 192) = 0,5 - p(192 \le X \le 200).

Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 pour calculer p(192 \le X \le 200) (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 4.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires au calcul de la probabilité cherchée apparaît.
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-8
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à calculer P(192 \le X \le 200) donc :

  • Lower Value : 192 ;
  • Upper Value : 200.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 200 et d’écart-type \sigma = 8 donc :

  • \mu : 200 ;
  • \sigma : 8.
Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-6
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Cdf ».
Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1 2014-ce-exo1-7

On peut alors terminer la question (et l’exercice par la même occasion) :

D’après la calculatrice, on a p(192 \le X \le 200) = 0,34 à 10^{-2} près. D’où p(X \le 192) = 0,5 - 0,34 = 0,16.

La bonne réponse est :

4. a.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 1.

Exprimez vous!