Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3

Enoncé

Les parties A et B sont indépendantes.

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante :

  • x = 0 pour le blanc ;
  • x = 1 pour le noir ;
  • x = 0,01, x = 0,02 et ainsi de suite jusqu’à x = 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).

L’image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».
Une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] est dite « fonction de retouche » si elle possède les quatre propriétés suivantes :

  • f(0) = 0 ;
  • f(1) = 1 ;
  • f est continue sur l’intervalle [0 ; 1] ;
  • f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f(x) ~\textgreater ~x, et éclaircie, si f(x) ~\textless ~x.
Ainsi, si f(x) = x^2, un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,2^2 = 0,04. L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous.
Si f(x) = \sqrt{x}, la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée \sqrt{0,2} \simeq 0,45. L’image A sera transformée en l’image C ci-dessous.

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3 2014-ce-exo3-1

Partie A

Question 1

On considère la fonction f_1 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f_1(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.

a. Démontrer que la fonction f_1 est une fonction de retouche.

Il s’agit ici de vérifier les quatre conditions indiquées par l’énoncé :

  • f(0) = 0 ;
  • f(1) = 1 ;
  • f est continue sur l’intervalle [0 ; 1] ;
  • f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

  • « f_1(0) = 0 »
f_1(0) = 4 \times 0^3 - 6 \times 0^2 + 3 \times 0 = 0

  • « f_1(1) = 1 »
f_1(1) = 4 \times 1^3 - 6 \times 1^2 + 3 \times 1 = 4 - 6 + 3 = 1

  • « f est continue sur l’intervalle [0 ; 1] »

Pour cette propriété-là, c’est le cours qui va nous sauver :

Toute fonction polynôme est continue sur \mathbb{R}.

Ici, on peut donc écrire :

f_1 est une fonction polynôme donc elle est continue sur [0 ; 1].

Vous remarquerez que j’ai restreint l’ensemble à [0 ; 1] puisque dans cet exercice, on ne s’intéresse qu’à cet intervalle-là et non pas à \mathbb{R} tout entier.

  • « f_1 est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] »

Montrer que f_1 est croissante sur l’intervalle [0 ; 1], c’est montrer que sa dérivée f_1 est positive sur [0 ; 1].

Calculons donc f_1 :

Pour tout x \in [0 ; 1], on a :
f_1

Comme d’habitude, dès qu’on peut factoriser, on le fait :

... = 3(4x^2 - 4x + 1)

Et là, il faut remarquer que 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 :

... = 3(2x - 1)^2

Et ça, c’est clairement positif :

... \geq 0

D’où la conclusion :

Donc f_1 est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].
Ah ouais ! Tout se passe bien parce que t’as eu le réflexe de factoriser f_1. Comment j’aurais pu faire si je n’avais pas eu ce réflexe ?

Ce n’est pas un problème. Vous auriez tout simplement étudié le signe du polynôme de degré 2 12x^2 - 12x + 3. Je rappelle en effet que :

Soit f : x \mapsto ax^2 + bx + c une fonction polynôme de degré 2.
Soit \Delta = b^2 - 4ac. Si :

  • \Delta ~\textless ~0, f est du signe de a sur son ensemble de définition et ne s’annule jamais ;
  • \Delta = 0, f est du signe de a sur son ensemble de définition et s’annule en x_0 = -\dfrac{b}{2a} ;
  • \Delta ~\textgreater ~0, f :
    1. est du signe de a « à l’extérieur des racines » et du signe de -a « à l’intérieur des racines » ;
    2. s’annule en x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.

Ici, avec le polynôme 12x^2 - 12x + 3 :

  • 12 joue le rôle de a ;
  • -12 joue le rôle de b ;
  • 3 joue le rôle de c ;

Donc cela aurait donné :

\Delta = (-12)^2 - 4 \times 12 \times 3 = 144 - 144 = 0
Donc f_1 est du signe de a = 12, c’est-à-dire positif sur l’intervalle [0 ; 1]. D’où f_1 est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

Vous voyez ! On arrive au même résultat ! 😉

On peut alors conclure sur la nature de la fonction f_1 :

La fonction f_1 vérifie les quatre conditions posées par l’énoncé : il s’agit donc bien d’une fonction de retouche.

b. Résoudre graphiquement l’inéquation f_1(x) \leq x, à l’aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.
Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement.

Sur l’annexe, traçons la droite d’équation y = x et repérons la « portion » de la courbe \mathcal{C}_{f_1} qui est « en-dessous » de cette droite :

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3 2014-ce-exo3-3

En traçant la droite d’équation y = x, on voit bien que la courbe \mathcal{C}_{f_1} est « en-dessous » de cette droite sur l’intervalle [0,5 ; 1]. Autrement dit :

Graphiquement, f_1(x) \leq x sur l’intervalle [0,5 ; 1].

Reste à interpréter ce résultat… Interpréter les résultats n’a jamais rien d’évident. Cela nécessite de bien comprendre ce que l’on fait et à quoi correspondent les objets mathématiques que l’on manipule.

Ici, on vient de dire que f_1(x) \leq x sur l’intervalle [0,5 ; 1]. Formulé autrement, cela signifie que lorsque l’on applique la fonction de retouche à une nuance de gris x qui appartient à l’intervalle [0,5 ; 1], on obtient un nombre inférieur, et donc une nuance plus claire. Ainsi :

La fonction de retouche f_1 éclaircit toutes les nuances de gris comprises entre 0,5 et 1

Et puisqu’on voit de la même façon que f_1(x) \geq x sur l’intervalle [0 ; 0,5], on peut dire que :

… et elle assombrit toutes celles comprises entre  0 et 0,5.

Question 2

On considère la fonction f_2 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f_2(x) = ln~[1+(e-1)x].

On admet que f_2 est une fonction de retouche.
On définit sur l’intervalle [0 ; 1] la fonction g par : g(x) = f_2(x) - x.

a. Établir que, pour tout x de l’intervalle [0 ; 1] : g.

Commençons par expliciter g(x) :

Pour tout x \in [0 ; 1], g(x) = f_2(x) - x = ln~[1+(e-1)x] - x.

Bien sûr, c’est ln~[1+(e-1)x] qui est le moins évident à dériver. Pour ce faire, il faut se rappeler que :

[ln(u(x))]

Ici, c’est x \mapsto 1+(e-1)x qui joue le rôle de u donc on peut écrire :

D’où, pour tout x \in [0 ; 1], on a :
g

Réflexe ! On met au même dénominateur :

... = \dfrac{e-1 - 1 - (e-1)x}{1 + (e-1)x} = \dfrac{(e-2) - (e-1)x}{1 + (e-1)x}

b. Déterminer les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1].
Démontrer que la fonction g admet un maximum en \dfrac{e-2}{e-1}, maximum dont une valeur arrondie au centième est 0,12.

Eh hop ! Une étude de fonction ! Voyons ensemble les différentes étapes qui permettent d’y répondre.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_g de g.

En général, je dis souvent que c’est déjà marqué dans l’énoncé et donc qu’il n’y a rien à faire. Mais ici, même si c’est marqué dans l’énoncé, je vais quand même insister parce qu’on a affaire à une fonction rationnelle.

C’est quoi une fonction rationnelle déjà ?

Une fonction rationnelle, c’est une fraction (jusque là, ça va :p) dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Ici en plus, on a de la chance, ce sont des polynômes de degré 1, super faciles à étudier.

Bref, lorsqu’on a affaire à des fonctions rationnelles, il faut absolument voir s’il n’y a pas d’éventuelles valeurs interdites, et ça, ça se fait en cherchant les valeurs pour lesquelles le dénominateur s’annule :

1 + (e-1)x = 0 \Leftrightarrow (e-1)x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{-1}{e - 1}

Et là, ce qu’il faut remarquer, c’est que :

\dfrac{-1}{e - 1} \simeq -0,58 \notin [0 ; 1] donc g n’admet pas de valeur interdite sur l’intervalle [0 ; 1].
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer g.

On l’a déjà fait à la question précédente : g.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de g ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il y a bien un facteur dont on sait quasi immédiatement qu’il est positif, c’est le dénominateur lui-même, à savoir 1 + (e-1)x.

Ah bon ? Mais comment tu sais ça ?

Je le sais parce que :

  • e \simeq 2,71828 \ge 1 ;
  • on étudie la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1] donc x appartient à cet intervalle et est donc positif.

Si on fait remarquer en plus que :

De plus, on a montré que 1 + (e-1)x ne s’annule pas sur l’intervalle [0 ; 1]

on peut en déduire que :

donc 1 + (e-1)x est strictement positif sur l’intervalle [0 ; 1] comme somme de termes positifs.

d’où :

donc le signe de g ne dépend que du signe de (e-2) - (e-1)x.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, calculer les racines de u.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines d’une fonction f » signifie « Résoudre f(x)=0« .

Ici, on vient de montrer que le signe de g ne dépend que du signe de u : \mapsto (e-2) - (e-1)x, donc on peut écrire que :

Pour tout x \in \mathbb{R},
g

\Leftrightarrow e-2 = (e-1)x

\Leftrightarrow x = \dfrac{e-2}{e-1}
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de g ou, si on a montré auparavant que le signe de g ne dépendait que du signe d’une fonction u, déterminer le signe de u.
Ah il faut faire un tableau de signes ?

Exact. C’est bien le réflexe à avoir lorsque l’on a que des fonctions du type ax + b qui interviennent dans la dérivée. En plus, ici, il n’y a qu’un seul facteur à faire figurer : (e-2) - (e-1)x :

\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & 0 & & \dfrac{e-2}{e-1} & & 1 \\\hline (e-2) - (e-1)x & & + & 0 & - & \\\hline g
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les valeurs de g auxquelles g s’annule.

Ici, on sait que g ne s’annule qu’en  \dfrac{e-2}{e-1} sur [0 ; 1] donc on calcule g\left(\dfrac{e-2}{e-1}\right) :

g\left(\dfrac{e-2}{e-1}\right) = ln~\left[1+(e-1) \times \dfrac{e-2}{e-1}\right] - \dfrac{e-2}{e-1} = ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{7}}} Calculer les limites de g

  • aux bornes de son ensemble de définition
  • lorsque x tend vers une valeur interdite

Ici, g est définie aux bornes de son ensemble de définition. « Calculer les limites aux bornes de son ensemble de définition » revient donc simplement à calculer la valeur de g à chacune de ces bornes :

g(0) = ln~[1+(e-1) \times 0] - 0 = ln~1 = 0
g(1) = ln~[1+(e-1) \times 1] - 1 = ln~e - 1 = 1 - 1 = 0

Vous remarquerez que j’ai utilisé les propriétés suivantes pour effectuer ces calculs :

ln~1 = 0
ln~e = 1

Il n’y a pas d’autre limite à calculer puisque g n’admet pas de valeur interdite sur [0 ; 1].

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{8}}} Etablir le tableau de variations de g en retenant que :

  • si g est strictement positive sur un intervalle, alors g est strictement croissante ;
  • si g est strictement négative sur un intervalle, alors g est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & 0 & & \dfrac{e-2}{e-1} & & 1 \\\hline (e-2) - (e-1)x & & + & 0 & - & \\\hline g

La lecture du tableau de variations obtenu nous permet de conclure la question :

D’après le tableau de variations, la fonction g admet un maximum en \dfrac{e-2}{e-1}, de valeur ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1} \simeq 0,12 à 10^{-2} près.

c. Établir que l’équation g(x) = 0,05 admet sur l’intervalle [0 ; 1] deux solutions \alpha et \beta, avec \alpha~\textless~\beta.
On admettra que : 0,08~\textless~\alpha~\textless~0,09 et que : 0,85~\textless~\beta~\textless~0,86.

Les valeurs approchées de \alpha et \beta que donnent l’énoncé sont assez intéressantes à remarquer :

  • \alpha se trouve dans l’intervalle \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] ;
  • \beta se trouve dans l’intervalle \left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right].

Autrement dit, il suffit de montrer que g atteint la valeur k = 0,05 pour une valeur unique sur chacun des intervalles \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] et \left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right].

Et là, le mot « unique » doit faire « tilt » dans votre tête !

Qui dit « unique » dit « corollaire du théorème des valeurs intermédiaires » ?

Bingo ! Appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est un savoir-faire que vous devez absolument maîtriser.

Je vais donc vous présenter la démarche de façon détaillée sur l’intervalle \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right].

Tout d’abord, voici ce que dit ce corollaire :

Si f est une fonction continue et strictement croissante (respectivement décroissante) sur [a;b], alors :

  • l’image de [a;b] par f est [f(a);f(b)] (respectivement [f(b);f(a)]) ;
  • pour tout réel k \in [f(a);f(b)] (respectivement k \in [f(b);f(a)], il existe un unique réel c \in [a;b] tel que f(c) = k.

Remarques :

  • le corollaire est valable quel que soit le type de l’intervalle [a;b] : il peut donc être fermé, ouvert, ou semi-ouvert ;
  • a et b peuvent être remplacés par +\infty ou -\infty ;
  • f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Pour des raisons de simplicité, je prendrai toujours l’intervalle [a;b] fermé dans l’explication de la démarche.

Pré-requis : connaître les variations de la fonction f.

Ca tombe bien ! On vient de déterminer les variations de g à la question précédente : g est strictement croissante sur l’intervalle \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right].

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Repérer la monotonie de f sur l’intervalle [a;b] ainsi que les valeurs de f aux bornes de cet intervalle. En remarquant que f est continue, cela vous permet d’indiquer que l’image de [a;b] par f est :

  • [f(a);f(b)] si f est strictement croissante sur [a;b] ;
  • [f(b);f(a)] si f est strictement décroissante sur [a;b].

Remarque : f(a) et f(b) sont à remplacer respectivement par les limites de f en a et en b si f n’est pas définie en a ou en b.

Ici, c’est \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] qui joue le rôle de [a;b]. D’après les variations de la fonction g déterminées dans l’étape de pré-requis ainsi qu’à la question 1, on sait que :

  • Monotonie de g
    g est strictement croissante sur \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] ;
  • Valeurs de g aux bornes de [a;b]
    g(0) = 0 et g\left(\dfrac{e-2}{e-1}\right) = ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}

Vous pouvez donc écrire :

g est continue sur \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right]. De plus, d’après la question précédente, on sait que g est strictement croissante sur \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right]. Par ailleurs :

  • g(0) = 0
  • g\left(\dfrac{e-2}{e-1}\right) = ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}

donc g\left(\left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right]\right) = \left[0 ; ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}\right].

Vous remarquerez que l’image de [a;b] par g se note g([a;b]).

Comment sais-tu que g est continue sur \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] ?

C’est là que le programme est très vague. En effet, voici ce qu’il exige très exactement sur la continuité :

On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions usuelles sont continues par intervalle.

Traduction de ce qu’il y a marqué en gras : à moins que l’on ne vous indique explicitement le contraire, considérez que toutes les fonctions que l’on vous fait étudier sont continues !

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Faire remarquer que k appartient à l’image de [a;b] par f.

Ici, c’est 0,05 qui joue le rôle de k et \left[0 ; ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}\right] qui joue le rôle de l’image de \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] par g :

Or, 0,05 \in \left[0 ; ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}\right]
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en invoquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
donc il existe un unique réel \alpha \in \left[0 ; \dfrac{e-2}{e-1}\right] tel que g(\alpha) = 0,05.

Et maintenant, on applique exactement le même raisonnement sur l’intervalle \left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right] pour prouver l’existence de \beta :

g est continue sur \left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right]. De plus, d’après la question précédente, on sait que g est strictement décroissante sur \left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right]. Par ailleurs :

  • g\left(\dfrac{e-2}{e-1}\right) = ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}
  • g(1) = 0

donc g\left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right] = \left[0 ; ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}\right].
Or, 0,05 \in \left[0 ; ln~\left[e-1\right] - \dfrac{e-2}{e-1}\right] donc il existe un unique réel \beta \in \left[\dfrac{e-2}{e-1} ; 1\right] tel que g(\beta) = 0,05.

Reste à ne pas oublier de conclure sur la question :

Finalement, l’équation g(x) = 0,05 admet deux solutions \alpha et \beta sur l’intervalle [0; 1] avec \alpha~\textless~\beta.

Partie B

On remarque qu’une modification de nuance n’est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.

Question 1

Dans l’algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche.
Quel est le rôle de cet algorithme ?

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3 2014-ce-exo3-4

Pour comprendre ce que fait cet algorithme, analysons le ligne par ligne.

  1. Intéressons-nous d’abord à la phase de déclaration des variables. Cet algorithme pose 5 variables. Notons qu’il ne précise pas le type de ces variables (réel, entier naturel, …) : c’est le parfait exemple de ce que vous ne devez pas faire. On indique systématiquement le type des variables qu’on déclare.

    En revanche, l’algorithme précise à quoi chacune de ces variables va servir :

    • x sert à stocker la valeur de la nuance initiale. Je rappelle que c’est une valeur comprise entre  0 et 1 et qu’elle vaut  0 , 0,01, 0,02, etc. jusque 1 ;
    • y sert à stocker la valeur de la nuance retouchée par la fonction f. Autrement dit, on y stockera f(x) ;
    • E sert à stocker un écart, mais à ce stade, on ne sait pas plus précisément de quel écart il s’agit ;
    • c désigne un compteur, mais comme pour la variable E, à ce stade, on ne sait pas plus précisément à quoi il sert ;
    • enfin, pour la variable k, l’énoncé ne dit rien… On verra bien à quoi il va servir plus tard…
  2. De façon tout à fait classique vient ensuite une phase d’initialisation. Seule la variable c est initialisée. Elle prend la valeur  0 . C’est tout à fait logique pour un compteur : on le fait souvent démarrer à  0 ou 1.
     
  3. Passons à la phase de traitement (on va enfin savoir ce que fait cet algorithme !). La phase de traitement est une grande boucle « Pour ».

    Personnellement, quand je lis ça :

    Pour k allant de  0 à 100, faire

    x prend la valeur \dfrac{k}{100}

    je me dis « Ah okéééééééé ! Dans la boucle « Pour », on va passer en revue toutes les valeurs possibles de x, de  0 à 1 :  0 , 0,01, 0,02, …, 0,99 et 1 ».

    Mais alors, que fait-on pour chaque valeur de x ?

    Très bonne question ! La réponse se trouve bien sûr dans les lignes suivantes :

    y prend la valeur f(x)

    Ca, ça veut dire qu’on calcule la nuance retouchée en appliquant la fonction f à x et qu’on la stocke dans la variable y.

    E prend la valeur |y - x|

    Ah bah voilà l’écart que contient E : c’est l’écart entre la nuance initiale et la nuance retouchée.
    Vient ensuite une structure conditionnelle Si. La condition vaut la peine d’être remarquée :

    Si E \ge 0,05, faire

    En effet, l’énoncé indique que :

    On remarque qu’une modification de nuance n’est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.

    Autrement dit, on ne fait ce qu’il y a dans la structure « Si » que si (c’est le cas de le dire :p) la modification de nuance est perceptible !

    Et ce qu’on y fait est tout simple :

    c prend la valeur c+1

    On augmente simplement c de 1 (on dit qu’on « incrémente » c).

    Euh ouais, et ça sert à quoi ?

    Figurez-vous que ce n’est pas si inutile ! En augmentant c de 1 à chaque fois que la modification de nuance est visible, à la fin, c contient le nombre de modifications de nuances visibles. C’est ça le but de l’algorithme : donner le nombre de modifications visibles de nuances !

  4. Quant à la phase de sortie, elle est là pour afficher le contenu de la variable qui nous intéresse : c.

En résumé :

L’algorithme proposé par l’énoncé donne le nombre de modifications visibles de nuances lorsqu’elles sont retouchées par la fonction f.

Question 2

Quelle valeur affichera cet algorithme si on l’applique à la fonction f_2 définie dans la deuxième question de la partie A ?

Vous l’aurez compris, ce que l’on affiche, c’est le nombre de retouches visibles et cette valeur dépend de l’écart entre la nuance initiale et la nuance retouchée. La question qu’il faut se poser est donc : « Quel est l’écart entre une nuance initiale et une nuance retouchée par f_2 ? ». Si on fait comme dans l’algorithme, on a :

L’écart entre une nuance initiale et la nuance retouchée vaut E = |y - x| = |f_2(x) - x|

Ah bah ça alors, f_2(x) - x, c’est g(x) :

... = |g(x)|
Oh non ! Y’a des valeurs absolues ! J’aime pas ça !

Pas d’inquiétude, si on jette à nouveau un coup d’oeil au tableau de variation :

\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x & 0 & & \dfrac{e-2}{e-1} & & 1 \\\hline (e-2) - (e-1)x & & + & 0 & - & \\\hline g

on remarque que g part de  0 , croît puis décroît sans descendre en-dessous de  0 : autrement dit, g est positive sur l’intervalle [0 ; 1] :

Or, d’après le tableau de variation établi à la question 2. b., pour tout x \in [0 ; 1], g(x) \ge 0 d’où |g(x)| = g(x). Donc E = g(x).

on remarque que g part de  0 , croît puis décroît sans descendre en-dessous de  0 : autrement dit, g est positive sur l’intervalle [0 ; 1] :

Or, d’après le tableau de variation établi à la question 2. b., pour tout x \in [0 ; 1], g(x) \ge 0 d’où |g(x)| = g(x). Donc E = g(x).

Du coup, la retouche d’une nuance x est visible dès que g(x) \ge 0,05. Complétons le tableau de variation de la fonction g en y faisant figurer \alpha et \beta :

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3 2014-ce-exo3-5

Ce que l’on voit sur ce tableau de variation, c’est que :

Pour tout x \in [\alpha ; \beta], g(x) \ge 0,05 donc la retouche par la fonction f_2 est visible pour toutes les nuances x comprises entre \alpha et \beta.

Reste à savoir combien il y a de nuances entre \alpha et \beta.

L’énoncé précise à la question 2. c. que :

D’après l’énoncé, 0,08~\textless~\alpha~\textless~0,09 et que : 0,85~\textless~\beta~\textless~0,86.

On en déduit que :

donc les nuances dont la retouche est visible sont les nuances 0,09, 0,10, 0,11, …, 0,84, et 0,85.

Et ça, ça fait un nombre de nuances de :

Moi je sais ! Moi je sais ! 0,85 - 0,09 + 1 : le dernier nombre, moins le premier nombre, + 1 !

Euh non… « dernier nombre – premier nombre + 1, c’est tout à fait vrai mais ça ne marche qu’avec des entiers ! En fait, ici, il faut compter le nombre de centièmes qu’il y a entre le « 85e centième » et le « 9e centième », ce qui donne :

soit 85 - 9 + 1 = 77 nuances.

On peut alors conclure sur ce qu’affiche l’algorithme :

Donc, en appliquant la fonction f_2, l’algorithme affichera 77.

Partie C

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3 2014-ce-exo3-6

Dans cette partie, on s’intéresse à des fonctions de retouche f dont l’effet est d’éclaircir l’image dans sa globalité, c’est-a-dire telles que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], f(x) \leq x.
On décide de mesurer l’éclaircissement global de l’image en calculant l’aire \mathcal{A}_f de la portion de plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f, et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d’éclaircir le plus l’image sera celle correspondant à la plus petite aire. On désire comparer l’effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu’elles sont des fonctions de retouche :

f_1(x) = xe^{(x^2-1)}~~~~f_2(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}

Question 1

a. Calculer A_{f_1}.

Allez hop, des calculs d’intégrales pour finir l’exercice.

Tout d’abord, comment s’exprime mathématiquement l’aire A_{f_1} ? Pour ça, le cours va nous aider :

L’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire algébrique située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b. Par « algébrique », on entend que cette aire est :

  • positive lorsque f est positive ;
  • négative lorsque f est négative.

Bac S 2013 Maths Amérique du Nord Exercice 4 2013-an-exo4-3
Ainsi, dans la figure ci-dessus, \int_{a}^{b} f(x)\,dx est la somme algébrique des aires jaune et bleu.

En particulier :

Si la fonction f est positive entre les droites d’équation x = a et x = b, l’intégrale de a à b d’une fonction f, c’est l’aire « tout court » située « sous la courbe » représentative de la fonction f entre les droites d’équation x = a et x = b.

Et c’est le cas ici : les fonctions f_1 et f_2 étant des fonctions de retouche, elles sont positives entre  0 et 1. En effet, les fonctions de retouche sont caractérisées par f(0) = 0, f(1) = 1, croissantes sur l’intervalle [0 ; 1], et le tout, en étant continues : elles sont donc forcément positives.

Du coup, on peut écrire que :

\mathcal{A}_{f_1} = \int_{0}^{1} f_1(x)\,dx = \int_{0}^{1} xe^{(x^2-1)}\,dx

Reste à calculer cette intégrale. Pour ce faire, il faut s’entraîner à repérer les formes de primitives usuelles :

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :

  •  u,  n \in \mathbb{N} , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n + 1} u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{u} + k,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  2\sqrt{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  u , dont la primitive est de la forme  e^{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  • et si on sait déterminer facilement une primitive U d’une fonction u,  u(ax + b) , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R}

Alors ? Quelle forme reconnaissez-vous ?

La forme u avec u : x \mapsto x^2 - 1.

C’est presque ça ! Ici en fait, c’est de la forme \dfrac{1}{2}u. Il faut donc rajouter le facteur \dfrac{1}{2} en primitivant. Une primitive de x \mapsto xe^{x^2 - 1} est donc \dfrac{1}{2}e^{x^2 - 1}. Cela donne :

... = \left[\dfrac{1}{2}e^{x^2 - 1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}\left[e^{x^2 - 1}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}(e^{1^2 - 1} - e^{0^2 - 1}) = \dfrac{1}{2}(1 - e^{-1}).

b. Calculer \mathcal{A}_{f_2}.

Exactement de la même façon qu’à la question précédente, on peut écrire :

\mathcal{A}_{f_2} = \int_{0}^{1} f_2(x)\,dx = \int_{0}^{1} \left[4x - 15 + \dfrac{60}{x+4}\right]\,dx

Une primitive de :

  • 4x est 4\dfrac{x^2}{2} = 2x^2 ;
  • -15 est -15x.

Quant à \dfrac{60}{x+4}, il faut reconnaître la forme 60 \times \dfrac{u avec u : x \mapsto x+4. Donc une primitive de \dfrac{60}{x+4} est 60~ln(x+4).

Donc on a :

... = [2x^2 - 15x + 60 ln(x+4)]_0^1 = (2 - 15 + 60 ln 5) - (0 - 0 + 60 ln 4) = -13 + 60 ln \dfrac{5}{4}.

Vous remarquerez que pour terminer le calcul, j’ai utilisé la propriété :

ln a - ln b = ln \left(\dfrac{a}{b}\right)

Question 2

De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d’éclaircir le plus l’image ?

L’énoncé indique que :

Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d’éclaircir le plus l’image sera celle correspondant à la plus petite aire.

Voyons donc qui, de \mathcal{A}_{f_1} et \mathcal{A}_{f_2} constitue la plus petite aire :

\mathcal{A}_{f_1} \simeq 0,316 et \mathcal{A}_{f_2} \simeq 0,389 donc \mathcal{A}_{f_1} \leq \mathcal{A}_{f_2} d’où la fonction qui éclaircit le plus l’image est la fonction f_1.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3.


Annexe

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 3 2014-ce-exo3-2-annexe

Courbe représentative de la fonction f_1

Exprimez vous!