Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 4 Obl

Enoncé

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :

A(1 ; 2 ; 7), B(2 ; 0 ; 2), C(3 ; 1 ; 3), D(3 ; -6 ; 1) et E(4 ; -8 ; -4).

Question 1

Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont colinéaires.

Montrons donc que les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires.

Comment sait-on si deux vecteurs sont colinéaires ou non déjà ?

Bonne question :

Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x ; y ; z) et \overrightarrow{\mathrm{CD}}(x sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire si et seulement si il existe un réel k tel que \begin{cases}x. Dans ce cas, on a \overrightarrow{\mathrm{CD}} = k\overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Calculons donc les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}. Je rappelle que :

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l’espace.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A).

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{AB}}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(2 - 1 ; 0 - 2 ; 2 - 7)
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(1 ; -2 ; -5)

\overrightarrow{\mathrm{AC}}(x_C - x_A ; y_C - y_A ; z_C - z_A)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(3 - 1 ; 1 - 2 ; 3 - 7)
\overrightarrow{\mathrm{AC}}(2 ; -1 ; -4)

Et là, on remarque que :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ne sont pas colinéaires.

D’où la conclusion :

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
Ca sert à quoi de prouver ça ?

Cette première question sert à prouver que (ABC) est un plan. En effet, cela n’aurait pas de sens de parler du plan (ABC) par la suite si les points A, B et C avaient été alignés car ils auraient alors constitué une droite et non pas un plan.


Question 2

Soit \overrightarrow{\mathrm{u}}(1 ; b ; c) un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux nombres réels.

a. Déterminer les valeurs de b et c telles que \overrightarrow{\mathrm{u}} soit un vecteur normal au plan (ABC).

Pour répondre à cette question, il faut savoir que :

Un vecteur est normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

N’aurait-on pas deux vecteurs non colinéaires à notre disposition ? :p

Ah bah si ! Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} !

Exactement ! Donc, pour que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} soit normal au plan (ABC), il faut et il suffit qu’il soit orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Or :

Dire que deux vecteurs sont orthogonaux, c’est dire que leur produit scalaire est nul.

On doit donc écrire :

\overrightarrow{\mathrm{u}} est normal au plan (ABC) \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 0 \\\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 0\end{cases}

Je rappelle que :

Deux vecteurs de l’espace \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{u sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire si et seulement si xx.

Ici, cela donne donc :

... \Leftrightarrow \begin{cases}1 \times 1 - 2b - 5c = 0 \\1 \times 2 - b - 4c = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2b + 5c = 1~(L_1) \\~b + 4c = 2~(L_2)\end{cases}

On se retrouve donc avec un simple système de deux équations à 2 inconnues à résoudre :

... \Leftrightarrow \begin{cases}3b = -6~(4L_1 - 5L_2) \\-3c = -3~(L_1 - 2L_2)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}b = -2 \\c = 1\end{cases}.

On peut alors conclure :

Donc le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} a pour coordonnées (1 ; -2 ; 1).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : x - 2y + z - 4 = 0.

Donner une équation cartésienne d’un plan alors qu’on en connaît :

  • un vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) ;
  • un point A(x_A;y_A;z_A) appartenant à ce plan ;

est un savoir-faire simple que vous devez maîtriser :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Indiquer que puisque le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c) est normal au plan \mathcal{P}, alors le plan \mathcal{P} admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d.

Cette étape exploite le rappel de cours suivant :

Dans un repère orthonormal :

  • réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels donnés avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points M de coordonnées (x;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal \overrightarrow{\mathrm{u}}(a;b;c).

Ici, on peut donc écrire :

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} de coordonnées (1 ; -2 ; 1) est normal au plan \mathcal{P} donc une équation cartésienne de \mathcal{P} est x - 2y + z + d = 0.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Exprimer le fait que le point A appartient au plan \mathcal{P} pour déterminer d.

Cette fois-ci, on utilise l’élément de cours suivant :

Soit \mathcal{P} un plan de l’espace d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et A(x_A;y_A;z_A) un point de l’espace.
A \in \mathcal{P} si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation du plan \mathcal{P}, c’est-à-dire si et seulement si ax_A + by_A + cz_A + d = 0.

Cela donne :

De plus :
A(1;2;7) \in \mathcal{P} \Leftrightarrow x_A - 2y_A + z_A + d = 0

\Leftrightarrow 1 - 2 \times 2 + 7 + d =0

\Leftrightarrow d = -4
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure sur une équation cartésienne du plan \mathcal{P}.
Donc une équation cartésienne du plan \mathcal{P} est x - 2y + z - 4 = 0.
Pourquoi est-ce que tu dis toujours « une équation » du plan et non pas « l’équation » ?

Car il en existe une infinité ! Si je multiplie à gauche et à droite l’équation que nous avons obtenue par un nombre réel quelconque, la nouvelle équation convient toujours ! Par exemple, 1789x - 3578y - 1789z - 7156 = 0 est aussi une équation du plan \mathcal{P}.

J’en profite pour ajouter un point qui relève du sujet « Lecture intelligente de l’énoncé »… On vient de voir que si l’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 est une équation du plan \mathcal{P}, alors le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} de coordonnées (a;b;c) est normal à \mathcal{P}. Du coup, étant donné que l’énoncé vous donne l’équation cartésienne de \mathcal{P} qu’il faut trouver, si à la question précédente, vous aviez trouvé autre chose que (1 ; -2 ; 1) pour les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{u}}, posez-vous des questions !

c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?

Compte tenu du rappel du cours sur l’appartenance d’un point à un plan, il suffit de voir si les coordonnées du point D vérifient l’équation que l’on vient de déterminer :

x_D - 2y_D + z_D - 4 = 3 - 2 \times (-6) + 1 - 4 = 12 \neq 0 donc le point D n’appartient pas au plan (ABC).

Question 3

On considère la droite \mathcal{D} de l’espace dont une représentation paramétrique est :

\begin{cases}x = 2t + 3 \\y = -4t + 5 \\z = 2t - 1\end{cases}t est un nombre réel.

a. La droite \mathcal{D} est-elle orthogonale au plan (ABC) ?

Observez-le schéma ci-dessous lorsque la droite \mathcal{D} est orthogonale au plan (ABC) :

  • \overrightarrow{\mathrm{u}} est un vecteur normal au plan (ABC) ;
  • \overrightarrow{\mathrm{u_D}} est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Que remarquez-vous ?

Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 4 2014-ce-exo4-2

Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u_D}} sont colinéaires, non ?

Exactement ! Donc, pour voir si la droite \mathcal{D} est orthogonale au plan (ABC), il suffit de voir si \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u_D}} sont colinéaires.

Ah mais on ne connaît pas de vecteur directeur de la droite \mathcal{D}, si ?

Non mais on peut facilement en déterminer un grâce à la représentation paramétrique de la droite \mathcal{D}. En effet, je rappelle que :

La droite \mathcal{D} :
  • est une droite de vecteur directeur \overrightarrow{\mathrm{u_D}}(a;b;c) ;
  • et passe par le point A(x_A;y_A;z_A) ;

si et seulement si elle est caractérisée par la représentation paramétrique \begin{cases}x = at + x_A \\y = bt + y_A, t \in \mathbb{R} \\z = ct + z_A\end{cases}.

Dans la représentation paramétrique de la droite \mathcal{D} :

  • 2 joue le rôle de a ;
  • -4 joue le rôle de b ;
  • 2 joue le rôle de c ;

donc on peut écrire que :

Un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} est le vecteur \overrightarrow{\mathrm{u_D}} de coordonnées (2 ; -4 ; 2).

On peut maintenant voir si \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u_D}} sont colinéaires. Et pour ça, que fait-on ?

On regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles !

Je vois que ça commence à rentrer ! Et ici, il se trouve que c’est effectivement le cas (il suffit de multiplier par deux les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{u}} pour obtenir celles de \overrightarrow{\mathrm{u_D}}) :

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{u}} et \overrightarrow{\mathrm{u_D}} sont proportionnelles donc ils sont colinéaires.

On peut alors conclure :

D’où la droite \mathcal{D} est orthogonale au plan (ABC).

b. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite \mathcal{D} et du plan (ABC).

Il faut bien comprendre une chose. C’est que si le point H est le point d’intersection de la droite \mathcal{D} et du plan (ABC), alors ses coordonnées vérifient à la fois :

  • la représentation paramétrique de la droite \mathcal{D} ;
  • l’équation cartésienne du plan (ABC) que nous avons trouvée à la question 2. b.

Il faut donc résoudre le système constitué de toutes ces équations :

\begin{cases}x = 2t + 3 \\y = -4t + 5 \\z = 2t - 1 \\x - 2y + z - 4 = 0\end{cases}

Pour résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues (x, y, z et t), il suffit de remplacer x, y et z par leur expression en fonction de t dans l’équation du plan \mathcal{P} :

... \Rightarrow (2t + 3) - 2(-4t + 5) + (2t - 1) - 4 = 0 \Rightarrow 12t - 12 = 0 \Rightarrow t = 1

Et ce n’est pas fini. Maintenant que l’on a déterminé t, il faut le remplacer par sa valeur dans les expressions de x, y et z :

D’où \begin{cases}x = 2t + 3 = 5 \\y = -4t + 5 = 1 \\z = 1 \\\end{cases}

Il ne reste alors plus qu’à conclure sur H :

D’où le point H a pour coordonnées (5 ; 1 ; 1).

Question 4

Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).

Soient \mathcal{D} et \mathcal{P} respectivement une droite et un plan de l’espace. Concernant leur intersection, il n’y a que 3 possibilités :

  • soit ils n’ont pas de point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles) :
    Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-5
  • soit ils ont un unique point commun (\mathcal{D} et \mathcal{P} sont sécants en un point I) :
    Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-6
  • soit leur intersection est la droite \mathcal{D} (\mathcal{D} \subset \mathcal{P}) :
    Bac S 2013 Maths Centres étrangers Exercice 2 2013-ce-exo2-7

Ainsi, il existe une démarche systématique pour répondre à cette question. Bien sûr, c’est le plan (ABC) qui joue le rôle du plan \mathcal{P} :

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer un vecteur normal au plan \mathcal{P} et un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.

Déterminer un vecteur normal au plan (ABC), nous l’avons déjà fait à la question 2. a. :

\overrightarrow{\mathrm{u}}(1;-2;1) est un vecteur normal au plan (ABC).

Quant à un vecteur directeur de la droite (DE), connaissant les coordonnées des points D et E, il suffit de prendre le vecteur \overrightarrow{\mathrm{DE}} lui-même :

Un vecteur directeur de la droite (DE) est le vecteur :
\overrightarrow{\mathrm{DE}}(x_E-x_D;y_E-y_D;z_E-z_D)
\overrightarrow{\mathrm{DE}}(4-3;-8-(-6);-4-1)
\overrightarrow{\mathrm{DE}}(1;-2;-5)
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer le produit scalaire entre les deux vecteurs déterminés à l’étape 1. Si ce produit scalaire est :

  • non nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont sécants en un point unique ;
  • nul, alors \mathcal{P} et \mathcal{D} sont parallèles. Il faut alors considérer un point A appartenant à \mathcal{D} (et choisi arbitrairement) :
    1. si les coordonnées de A vérifient l’équation cartésienne de \mathcal{P}, alors A appartient à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} est incluse dans \mathcal{P} ;
    2. si les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation cartésienne de \mathcal{P}, alors A n’appartient pas à \mathcal{P}. Il faut alors conclure que \mathcal{D} et \mathcal{P} sont strictement parallèles.

Pour rappel :

Soient \overrightarrow{\mathrm{u}}(x;y;z) et \overrightarrow{\mathrm{v}}(x deux vecteurs de l’espace.
\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}} = xx.

Ici, cela donne donc :

\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{DE}} = 1 \times 1 + (-2) \times (-2) + 1 \times (-5) = 1 + 4 - 5 = 0.
Donc (DE) et \mathcal{P} sont parallèles.

Reste à déterminer s’ils sont strictement parallèles ou si (DE) est incluse dans (ABC). Pour cela, il faut voir si un point arbitrairement choisi de la droite (DE) appartient à (ABC) ou non.

On pourrait pas prendre le point D ? On a déjà prouvé qu’il n’appartenait pas au plan (ABC) à la question 2. c…

Non seulement vous pouvez mais vous devez ! Vous n’allez pas prendre un autre point alors que vous avez déjà fait le calcul avant !

De plus, on a montré à la question 2. c. que le point D n’appartenait pas au plan (ABC) donc la droite (DE) et le plan (ABC) sont strictement parallèles.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Centres étrangers Exercice 4 Obl.

Exprimez vous!