Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 1

Enoncé

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par \mathcal{C}_1 la courbe représentative de la fonction f_1 définie sur \mathbb{R} par :
f_1(x) = x +  e^{-x}.

Question 1

Justifier que \mathcal{C}_1 passe par le point A de coordonnées (0;1).

Question simple pour commencer. Il suffit de se souvenir que :

Un point A de coordonnées (x_A;y_A) appartient à la courbe \mathcal{C} représentative de la fonction f si et seulement si f(x_A)=y_A.

On peut donc écrire :

f_1(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1 donc le point A(0;1) appartient bien à la courbe \mathcal{C}_1 représentative de la fonction f_1.

Vous remarquerez que pour effectuer le calcul de f_1(0), nous avons fait appel à une propriété fondamentale de la fonction exponentielle :

e^0 = 1

Question 2

Déterminer le tableau de variation de la fonction f_1. On précisera les limites de f_1 en +\infty et en -\infty.

En voilà une question ultra classique… 😉 Voyons ensemble les différentes étapes qui permettent d’y répondre.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer l’ensemble de définition \mathcal{D}_{f_1} de f_1.

Ici, \mathcal{D}_{f_1} est indiqué dans l’énoncé : il s’agit de \mathbb{R}.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Calculer f_1.

Cela ne représente aucune difficulté ici si l’on sait que :

Pour tout x \in \mathbb{R}, (e^{-x})

Donc on peut écrire :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a :
f_1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Voir si le signe de f_1 ne dépend pas d’une expression plus simple. Pour cela, il faut prouver que le facteur « qu’on peut enlever » pour obtenir l’expression plus simple est strictement positif sur cet intervalle.

Ici, il n’y a pas de façon évidente d’obtenir une expression plus simple. On va donc ignorer cette étape.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{4}}} Calculer les racines de f_1 ou, si on a montré auparavant que le signe de f_1 ne dépendait que du signe d’une fonction w, calculer les racines de w.
Tu peux me rappeler ce que ça veut dire « calculer les racines » d’une fonction stp ?

Pas de problème, je suis là pour répondre à vos questions :

« Calculer les racines » d’une fonction f signifie « Résoudre f(x)=0 ».

Ici, on va donc calculer les racines de f_1 :

Pour tout x \in \mathbb{R},
f_1

\Leftrightarrow e^{-x} = 1
Ah zut, comment est-ce qu’on se débarrasse de l’exponentielle, déjà ?

Pour se débarrasser de l’exponentielle dans une équation, il suffit d’utiliser le résultat suivant :

Pour tout x \in \mathbb{R}, on a  \ln \left( e^x \right) = x .

Cela donne donc :

... \Leftrightarrow  ln~(e^{-x}) = ln~(1)

De plus :

 \ln (1) = 0

D’où :

... \Leftrightarrow  -x = 0

 \Leftrightarrow  x = 0
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Déterminer le signe de f_1 ou, si on a montré auparavant que le signe de f ne dépendait que du signe d’une fonction w, déterminer le signe de w.

Ici, on va donc déterminer le signe de f_1 :

Pour tout x \in \mathbb{R},  f_1

Une idée pour se débarrasser de l’exponentielle (je dis ça, je dis rien…) ?

« Pour se débarrasser de l’exponentielle dans une inégalité, on applique la fonction  \ln de part et d’autre de l’inégalité. »

Je vois que ça commence à rentrer. J’attire néanmoins votre attention sur un point. Tout à l’heure, on a appliqué cette astuce dans le cadre d’une égalité. Ici, il s’agit de l’appliquer dans le cadre d’une inégalité. Et là, il faut bien garder une chose en tête :

Lorsque l’on applique une fonction aux deux membres d’une inégalité, on doit systématiquement se demander si le sens de l’inégalité est conservée ou inversée.

Et pour cela, on dispose du théorème suivant :

Soient a et b deux réels tels que a~\textgreater ~b et f une fonction monotone sur l’intervalle [a ; b].

  • si f est croissante sur l’intervalle [a ; b], alors le sens de l’inégalité est conservé : f(a) \leq f(b) ;
  • si f est décroissante sur l’intervalle [a ; b], alors le sens de l’inégalité est inversé : f(a) \geq f(b).

Le caractère strict de l’inégalité est conservé si f est strictement monotone sur l’intervalle [a ; b].

Or, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc :

Or, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \mathbb{R}, donc e^{-x} ~\textless ~1 \Leftrightarrow ln~(e^{-x}) ~\textless ~ln~1 \Leftrightarrow -x ~\textless ~0 \Leftrightarrow x ~\textgreater ~0.

On vient de déterminer que f_1 est strictement positive sur \mathbb{R}_+^*. On en déduit donc :

Donc :
  • f_1 est strictement positive sur \mathbb{R}_+^* ;
  • f_1 est strictement négative sur \mathbb{R}_-^*.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{5}}} Calculer les valeurs de f_1 aux points où f_1 s’annule.
Hum… On vient de voir que f_1 s’annule en  0 , et on a déjà calculé f_1(0) à la première question !

Exact !

D’après la question 1 que f_1(0) = 1.
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{6}}} Calculer les limites de f_1 :
  • aux bornes de son ensemble de définition ;
  • lorsque x tend vers une valeur interdite.

Ici, \mathcal{D}_{f_1} = \mathbb{R} donc il n’y a pas de valeur interdite. On va donc calculer les limites de f_1 en + \infty et en - \infty. Ca tombe bien, l’énoncé nous demande de préciser ces limites…

Pour calculer ces limites, il faut se souvenir que :

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^x = + \infty
  • \lim\limits_{\substack{x \to - \infty}}~e^x = 0

et également que :

Pour tout x \in \mathbb{R} ,  e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}.

On peut alors écrire :

On a  \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{1}{e^x}.
Or,  \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^x = + \infty, donc, par inverse,  \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{1}{e^x} = 0, d’où \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~e^{-x} = 0 .

De plus :

Par ailleurs, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~x = + \infty

Cela nous permet de conclure sur la limite en +\infty de f_1 :

D’où, par somme,  \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~f_1(x) = + \infty.

Remarquons au passage qu’ici tout se passe bien, puisqu’il n’y a pas de forme indéterminée. Regardons maintenant ce qui se passe en  - \infty.

On pourrait être tenté de commencer de la même façon qu’en +\infty :

\lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}}
Cette fois-ci, on utilise le fait que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~{e^{x}} = 0

Oui mais cela ne suffit pas :

Dès lors que l’on calcule la limite d’une fraction et que le dénominateur tend vers  0 , il faut indiquer s’il tend vers 0^+ (c’est-à-dire « tend vers 0 en étant positif ») ou 0^- (c’est-à-dire « tend vers 0 en étant négatif »).

Ici, il faut donc écrire :

Or, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^x = 0^+

1 divisé par quelque chose qui tend vers  0 en étant positif, ça fait +\infty donc on a :

Donc, par inverse, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~\dfrac{1}{e^{x}} = +\infty d’où \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^{-x} = +\infty.
Et comme \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x = -\infty, par somme, ça nous donne -\infty + \infty, soit…

…soit rien du tout ! Retenez bien que :

« L’infini moins l’infini » (ce qui est exactement la même chose que « moins l’infini plus l’infini ») est une forme indéterminée.
Ah zut, on est bloqué alors ?

Non, il suffit juste de s’y prendre autrement :

Dès que l’on se retrouve face à une forme indéterminée lors du calcul d’une limite faisant apparaître les fonctions exponentielle ou logarithme népérien, il faut se tourner vers les limites dites de « croissances comparées ».

Pour rappel, les limites dites de « croissances comparées » sont les suivantes :

Pour tout entier naturel n non nul,

  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{ln~x}{x^n} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty }}~\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty
  • \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~xe^{-x} = \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}~\dfrac{x}{e^{x}} = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to 0 }}~x^nln~x = 0
  • \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~x^ne^x = 0
OK mais comment je les fais apparaître, ces croissances comparées ?

L’idée que vous devez avoir, c’est de factoriser l’expression de départ par « quelque chose » qui va les faire apparaître. Ici, on va factoriser f_1(x) par e^{-x} :

Pour tout  x \in \mathbb{R}, on a :
 f_1(x) = e^{-x} \left( \dfrac{x}{e^{-x}} + 1 \right) = e^{-x} \left( xe^{x} + 1 \right).
Or, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^{-x} = +\infty et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~xe^x = 0 par croissances comparées d’où, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~xe^x + 1 = 1.
Donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~f_1(x) = \lim\limits_{\substack{x \to -\infty }}~e^{-x} \left( \dfrac{x}{e^{-x}} + 1 \right) = +\infty.
Etablir le tableau de variations de f_1 en retenant que :

  • si f_1 est strictement positive sur un intervalle, alors f_1 est strictement croissante ;
  • si f_1 est strictement négative sur un intervalle, alors f_1 est strictement décroissante.
\begin{array}{|l|ccccc|}\hline x       & -\infty  &          & 0 &          & +\infty \\\hline e^x - 1 &          &     -    & 0 &     +    &         \\\hline f_1

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite \left(I_n\right) définie sur \mathbb{N} par :
 I_n = \int_0^1 \left(x + e^{- nx}\right)\,\text{d}x .

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), pour tout entier naturel n, on note \mathcal{C}_n la courbe représentative de la fonction f_n définie sur \mathbb{R} par  f_n(x) = x + e^{- nx} .
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe \mathcal{C}_n pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite \mathcal{D} d’équation x = 1.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 1 2014-fm-exo1-1

Vous remarquerez que si on prend n=1 on retrouve la fonction f_1 et la courbe \mathcal{C}_1 de la première partie. Je dis ça, je dis rien…

a. Interpréter géométriquement l’intégrale I_{n}.

Ceci est une simple question de cours :

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et \mathcal{C} sa courbe représentative.
L’aire sous la courbe \mathcal{C} et comprise entre les droites d’équation x=a et x=b vaut  I = \int_a^b f(x) dx en unités d’aire.

Ici :

  • I_n joue le rôle de I ;
  •  0 joue le rôle de a ;
  • 1 joue le rôle de b.

Donc, on en déduit que :

L’intégrale I_n s’interprète géométriquement comme l’aire sous la courbe \mathcal{C}_n entre les droites d’équation x=0 et x=1.

b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \left(I_n\right) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

Ce que l’on peut remarquer, c’est que l’espace sous la courbe \mathcal{C}_n diminue au fur et à mesure que n augmente. Donc :

Pour tout n \in \mathbb{N}, il semblerait que la courbe \mathcal{C}_{n+1} soit en-dessous de la courbe \mathcal{C}_n. Ainsi, l’aire sous la courbe \mathcal{C}_{n+1} serait plus petite que l’aire sous la courbe \mathcal{C}_n. On conjecture alors que la suite \left(I_n\right) est décroissante.

Pour la limite de \left(I_n\right), c’est un peu plus compliqué. Regardez les courbes \mathcal{C}_n : on a l’impression qu’elles « tendent » vers une « courbe limite », le segment de droite d’équation y=x contenu entre les abscisses x=0 et x=1. On a tracé cette courbe limite en rouge sur le graphique ci-dessous :

Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 1 2014-fm-exo1-2

On a envie alors de conjecturer que la limite de la suite \left(I_n\right) serait l’aire sous cette courbe limite (hachurée en rouge ci-dessous).
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 1 2014-fm-exo1-4
N’est-il pas aisé de calculer cette aire « limite » ?

Ah bah si ! Il s’agit simplement de la moitié de l’aire du carré de côté 1 ! Donc cette aire vaut \dfrac{\text{aire du carr\.

Exactement !

Les courbes \mathcal{C}_n semblent « s’écraser » sur le segment d’équation y=x, contenu entre les abscisses x=0 et x=1. L’aire sous la courbe \mathcal{C}_n devrait donc tendre vers l’aire contenue sous ce segment, c’est-à-dire 1/2.

Question 2

Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1,  I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 e^{-(n + 1)x} \left(1 - e^{x}\right)\:\text{d}x.
En déduire le signe de I_{n+1} - I_{n} puis démontrer que la suite \left(I_n\right) est convergente.

Commençons par calculer I_{n+1} - I_n. Je rappelle que :

Linéarité de l’intégrale
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I = [a;b] et \alpha et \beta deux réels quelconques. On a :
\int_a^b \left[\alpha f(x) + \beta g(x)\right]\,\text{d}x = \alpha \int_a^b f(x) \,\text{d}x + \beta \int_a^b g(x) \,\text{d}x.

Autrement dit, si je résume : « Intégrale de f + g », c’est « intégrale de f + intégrale de g » et les constantes, on peut les sortir ! Mais ça marche aussi dans l’autre sens : « Intégrale de f + intégrale de g », c’est « intégrale de f + g » et les constantes, on peut les rentrer ! C’est ce second sens que nous allons utiliser ici :

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
 I_{n+1}-I_n = \int_0^1 \left(x + e^{- (n+1)x}\right)\,\text{d}x - \int_0^1 \left(x + e^{- nx}\right)\,\text{d}x

 = \int_0^1 \left[ \left(x + e^{- (n+1)x}\right) - \left(x + e^{- nx}\right) \right] \, \text{d}x

Occupons-nous maintenant de ce qu’il y a à l’intérieur de l’intégrale :

... = \int_0^1 \left( e^{- (n+1)x} - e^{- nx} \right)  \, \text{d}x
Euh… mais… ça ne ressemble pas du tout à ce qui est demandé !

Eh bien si ! Figurez-vous qu’on n’est pas si loin du résultat attendu ! Toute l’astuce est de factoriser ce qu’il y a à l’intérieur par  e^{-(n+1)x} , sachant que :

Pour tous réels a et b, e^{a+b} = e^a \times e^b.

Donc on peut écrire :

Or, en factorisant l’expression qui se situe à l’intérieur de l’intégrale par  e^{-(n+1)x} , on a : e^{- (n+1)x} - e^{- nx} = e^{-(n+1)x}\left(1 - e^x\right).

D’où : I_{n+1} - I_n = \int_0^1 e^{-(n+1)x} \left( 1 - e^x \right) \, \text{d}x,, ce qui est bien le résultat souhaité.

Intéressons-nous maintenant au signe de I_{n+1} - I_{n}. Alors, à votre avis, quel est ce signe ?

On a conjecturé à la question précédente que la suite  \left(I_n\right) est décroissante donc on s’attend à ce que I_{n+1} - I_{n} soit négatif, non ?

Je ne l’aurais pas mieux dit ! Pour ceux qui ne voient pas le lien entre « la suite  \left(I_n\right) est décroissante » et « I_{n+1} - I_{n} est négatif », je rappelle que :

Soit (u_n) une suite de nombres réels :
  • la suite (u_n) est croissante si et seulement si u_{n+1} - u_n \geq 0 ;
  • la suite (u_n) est décroissante si et seulement si u_{n+1} - u_n \leq 0.

Ici, on souhaite déterminer le signe d’une intégrale. Cela doit immédiatement vous faire penser au théorème suivant :

Positivité de l’intégrale
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b]. Alors :

  • si pour tout x \in [a;b], f(x) \geq 0 alors  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \geq 0.
  • si pour tout x \in [a;b], f(x) \leq 0 alors  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq 0.

Autrement dit :

Pour étudier le signe d’une intégrale définie sur un intervalle [a ; b], il suffit d’étudier le signe de l’expression qui se situe à l’intérieur sur cet intervalle [a ; b] : le signe de l’intégrale sera alors le même.

Ainsi, puisque  I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 e^{-(n + 1)x} \left(1 - e^{x}\right)\:\text{d}x, il suffit d’étudier le signe de e^{-(n + 1)x} \left(1 - e^{x}\right) sur l’intervalle [0 ; 1]. Pour cela, nous aurons besoin d’invoquer les propriétés suivantes sur la fonction exponentielle :

La fonction exponentielle est :

  • strictement positive sur \mathbb{R} ;
  • strictement croissante sur \mathbb{R}.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On a :  I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 e^{-(n + 1)x} \left(1 - e^{x}\right)\:\text{d}x. Or, pour tout x \in [0;1], \mathbb{R}. De plus, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, on a :
pour tout x \in [0;1], e^x \geq e^0 = 1 donc  1-e^x \leq 0 .
On en déduit que pour tout x \in [0;1], on a  e^{-(n + 1)x} \left(1 - e^{x}\right) \leq 0, et donc, par positivité de l’intégrale,  I_{n+1} - I_{n} \leq 0 .

Il nous reste à démontrer que la suite  \left(I_n\right) est convergente. Or, on vient de démontrer qu’elle est décroissante. Dès qu’on vous demande de démontrer qu’une suite monotone (c’est-à-dire croissante ou décroissante) est convergente, vous devez immédiatement penser au théorème suivant :

  • Toute suite croissante et majorée converge.
  • Toute suite décroissante et minorée converge.

Il suffit donc de démontrer que la suite  \left(I_n\right) est minorée.

Tu peux rappeler ce que ça veut dire « minorée » ?

Bien sûr !

On dit qu’une suite \left( u_n \right) est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n \in \mathbb{N}, on a  u_n \geq m .
On dit alors que m est un minorant de la suite (u_n).

On va donc chercher un tel réel m pour la suite (I_n). Rappelons que  I_n = \int_0^1 \left(x + e^{- nx}\right)\,\text{d}x. On cherche donc à minorer une intégrale. Cela doit immédiatement vous faire penser à un théorème très important du chapitre sur l’intégration, celui de la croissance de l’intégrale :

Croissance de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a;b].
Si pour tout x \in [a;b], f(x) \leq g(x) alors  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq \int_a^b g(x) \, \text{d}x.
Euh… Je ne vois pas du tout comment cela va pouvoir nous servir à trouver un minorant pour la suite (I_n)

Voici comment : l’idée, c’est que lorsque l’on cherche un réel m tel que \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq m, il suffit de trouver un réel t tel que, pour tout x \in [a;b], f(x) \leq t.

La croissance de l’intégrale permet alors d’écrire que  \int_a^b f(x) \, \text{d}x \leq \int_a^b t \, \text{d}x. Le minorant cherché est alors le réel m défini par m = \int_a^b t \, \text{d}x = t(b - a)

Minorons donc la fonction f : x \mapsto x + e^{-nx}. f est la somme de deux fonctions : x \mapsto x et x \mapsto e^{- nx}.

Pour minorer une somme de fonctions, il suffit de minorer chacune de ces fonctions. Le minorant cherché est alors la somme de chacun des minorants trouvés.

On va donc minorer chacune de ces deux fonctions sur l’intervalle [0;1].

  • Minoration de la fonction x \mapsto x sur l’intervalle [0;1]

Aucune difficulté ici. Il suffit de faire référence à l’intervalle dans lequel appartient x :

Pour tout x \in [0;1], 0 \leq x \leq 1 donc x \geq 0 d’où  0 est un minorant de la fonction x \mapsto x sur l’intervalle [0;1].

  • Minoration de la fonction x \mapsto e^{-nx} sur l’intervalle [0;1]

C’est presque aussi facile que pour le minorant précédent. Il suffit de faire référence au fait que la fonction exponentielle est (strictement) positive sur \mathbb{R} (je mets « strictement » entre parenthèses car on n’a pas besoin du caractère strict ici) :

La fonction exponentielle est (strictement) positive sur \mathbb{R} donc, pour tout x \in [0;1] et pour tout n entier naturel, e^{-nx} \geq 0 d’où  0 est un minorant de la fonction x \mapsto e^{-nx} sur l’intervalle [0;1].

  • Minoration de la fonction f sur l’intervalle [0;1]

Il ne nous reste plus qu’à additionner les deux minorants trouvés :

D’où, pour tout x \in [0;1], x + e^{-nx} \geq 0 + 0 = 0.

On a trouvé t : t = 0.

  • Minoration de l’intégrale I_n

Appliquons maintenant la croissance de l’intégrale :

Ainsi, on a \int_0^1 (x + e^{-nx}) \, \text{d}x \leq \int_0^1 0 \, \text{d}x = 0. D’où, pour tout n entier naturel, I_n = \int_0^1 (x + e^{-nx}) \, \text{d}x \leq 0.
Hum… Ne pouvait-on pas plutôt utiliser la positivité de l’intégrale ?

Très bonne remarque ! La réponse est oui. Mais si j’ai préféré utiliser la croissance de l’intégrale dans ce raisonnement, c’est parce que le minorant trouvé ne sera pas toujours  0 . Et dans ce cas, utiliser la croissance de l’intégrale sera obligatoire.

  • Convergence de la suite (I_n)

Il reste à conclure sur la convergence de la suite (I_n) :

On a ainsi démontré que la suite  \left(I_n\right) est décroissante et minorée (par 0) donc elle est convergente.

Question 3

Déterminer l’expression de I_n en fonction de n et déterminer la limite de la suite \left(I_n\right).

Ici, on nous demande de calculer une intégrale. Commençons par écrire :

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On a :
 I_n = \int_0^1 \left(x + e^{- nx}\right)\,\text{d}x =  \int_0^1 x \,\text{d}x + \int_0^1 e^{- nx} \,\text{d}x, par linéarité de l’intégrale.

Cela va nous permettre de calculer chaque « morceau » séparément. Je rappelle quelques primitives usuelles que vous devez absolument connaître :

Pour déterminer la primitive d’une fonction, vous devez chercher à reconnaître les formes du type :

  •  u,  n \in \mathbb{N} , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n + 1} u^{n+1} + k, k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{u} + k,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{n-1}\dfrac{1}{u^{n-1}} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  2\sqrt{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  \dfrac{u, dont la primitive est de la forme  \ln u + k ,  k \in \mathbb{R}
  •  u , dont la primitive est de la forme  e^{u} + k ,  k \in \mathbb{R}
  • et si on sait déterminer facilement une primitive U d’une fonction u,  u(ax + b) , dont la primitive est de la forme  \dfrac{1}{a}U(ax + b) + k ,  k \in \mathbb{R}

Le calcul de \int_0^1 x \,\text{d}x ne pose aucune difficulté :

On a :  \int_0^1 x \,\text{d}x = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2} .

Cherchons maintenant une primitive de x \mapsto e^{- nx}. Là, il faut utiliser le dernier des points qui figure sur le rappel des primitives usuelles ci-dessus.

En effet, il est très facile d’obtenir une primitive de la fonction exponentielle :

La primitive de la fonction x \mapsto e^x est de la forme x \mapsto e^x + k, k \in \mathbb{R}.

Ainsi, en remarquant que la fonction x \mapsto e^{-nx} est de la forme x \mapsto u(ax + b) avec :

  • x \mapsto e^x dans le rôle de la fonction u ;
  • -n dans le rôle du réel a ;
  •  0 dans le rôle du réel b ;

une primitive de x \mapsto e^{-nx} est la fonction x \mapsto \dfrac{1}{-n}e^{-nx} :

Une primitive de x \mapsto e^{- nx} est la fonction x \mapsto \dfrac{1}{-n}e^{-nx}, donc on peut donc écrire :
 \int_0^1 e^{- nx} \,\text{d}x = \left[ \dfrac{1}{-n} \, e^{-nx} \right]_0^1 = -\dfrac{1}{n} \left( e^{-n} - 1 \right) = \dfrac{1 - e^{-n}}{n} .

On peut alors conclure sur I_n :

D’où  I_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 - e^{-n}}{n}.
Euh… Si on prend n = 0, ce n’est pas défini !

Très bonne remarque ! Comme indiqué au début du calcul, on s’est intéressé au cas n supérieur ou égal à 1. Reste effectivement à s’intéresser au cas n = 0.

Pour n = 0, I_0 = \int_0^1 \left(x + e^{- 0 \times x}\right)\,\text{d}x = \int_0^1 x\,\text{d}x = \dfrac{1}{2}.

En conclusion :

Donc I_n = \begin{cases}\dfrac{1}{2} \text{~si n = 0} \\I_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1 - e^{-n}}{n} \text{~si n ~\textgreater ~0}\end{cases}.

Reste à déterminer la limite de la suite \left(I_n\right).

On a donc :
 \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~I_n = \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1 - e^{-n}}{n}\right)

Vous remarquerez que l’on a directement utilisé l’expression de I_n lorsque n ~\textgreater ~0 : cela est normal puisque l’on s’intéresse à ce qui passe lorsque n est très grand.

Si on sait que :

 \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~e^{-n} = 0

le calcul de la limite de la suite (I_n) lorsque n tend vers l’infini ne pose pas vraiment de difficulté :

Or, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~e^{-n} = 0 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~1 - e^{-n} = 1. De plus, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~n = +\infty donc, par quotient, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~\dfrac{1 - e^{-n}}{n} = 0.

D’où \lim\limits_{\substack{n \to +\infty }}~I_n = \dfrac{1}{2}.

Ainsi, la suite \left(I_n\right) converge vers  \dfrac{1}{2} ce qui d’ailleurs était bien la limite conjecturée à la première question de cette partie.

Vous remarquerez que l’on retrouve la limite que l’on a conjecturé à la question 1. de la partie B et que l’on a pris la peine de le mentionner pour montrer à l’examinateur que l’on a remarqué la cohérence entre ce que l’on a conjecturé et ce que l’on a démontré.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 1.

Exprimez vous!