Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 3

Enoncé

On désigne par (E) l’équation  z^4 + 4z^2 + 16 = 0 d’inconnue complexe z.

Question 1

Résoudre dans \mathbb{C} l’équation Z^2 + 4Z + 16 = 0.
Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.

Rappelons rapidement comment trouver les solutions dans \mathbb{C} d’une équation de second degré à coefficients réels :

Soit (E) l’équation  a z^2 + bz + c = 0, avec a, b et c des nombres réels. On note  \Delta = b^2 - 4ac son discriminant. Alors :

  • si \Delta ~\textgreater ~0, alors (E) admet deux solutions réelles données par x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} et x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} ;
  • si \Delta = 0, alors (E) admet une unique solution réelle donnée par x = \dfrac{-b}{2a} ;
  • si \Delta ~\textless ~0, alors (E) admet deux solutions complexes conjuguées données par  z_1 = \dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} et  z_2 = \dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

Commençons donc par calculer le discriminant \Delta de l’équation proposée.

 \Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 16 = 16 - 64 = - 48 .

Ici, \Delta est strictement négatif, donc, en appliquant le rappel de cours ci-dessus, on peut écrire :

Ici,  \Delta ~\textless ~0 donc les solutions dans \mathbb{C} de l’équation sont :

  •  z_1 = \dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 + i\sqrt{48}}{2} = \dfrac{-4 + 4i\sqrt{3}}{2} = -2 + 2i\sqrt{3}
  • z_2 = \dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 - i\sqrt{48}}{2} = \dfrac{-4 - 4i\sqrt{3}}{2} = -2 - 2i\sqrt{3}

On nous demande ensuite d’écrire ces solutions sous forme exponentielle.

Je suis un peu perdu avec toutes ces notations…

OK ! Petit rappel :

Soit  z = a + ib . On note \rho et  \theta respectivement son module et son argument.

  • Notation algébrique :  z = a + ib
  • Notation trigonométrique :  z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)
  • Notation exponentielle :  z = \rho e^{i\theta}
Tu peux nous rappeler comment on passe de la forme algébrique d’un nombre complexe à sa forme exponentielle stp ?

Bien sûr que je peux vous le rappeler ! Le passage d’une forme à l’autre est un savoir-faire qu’il faut maîtriser.

 \textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Déterminer le module \rho de z.

Pour cela, il suffit de se souvenir que :

Soit  z = a + ib . Le module de z vaut  \rho = \sqrt{a^2 + b^2} .

Pour z_1 = -2 + 2i\sqrt{3}, c’est -2 qui joue le rôle de a et 2\sqrt{3} qui joue le rôle de b :

Soit \rho_1 le module de  z_1 = -2 + 2i\sqrt{3}. On a :
\rho_1 = \sqrt{ (-2)^2 + \left( 2 \sqrt{3} \right)^2 } = \sqrt{ 4 + 12 } = \sqrt{16} = 4 .
\textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Déterminer l’argument  \theta de z qui vérifie le système d’équations
 \left\lbrace \begin{array}{c}\cos \theta = \dfrac{x}{\rho} \\\sin \theta = \dfrac{y}{\rho}\end{array}\right.
Soit \theta_1 l’argument de z_1 = -2 + 2i\sqrt{3}. On a :
 \left\lbrace \begin{array}{c}\cos \theta_1 = \dfrac{-1}{2} \\\sin \theta_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.

Il ne reste plus qu’à trouver le « bon » \theta_1 dont les valeurs de cosinus et de sinus sont celles ci-dessus. Pour cela, je vous invite retenir le schéma suivant :

Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 3 2014-fm-exo3-1
Pour chaque angle qui figure sur ce schéma, son abscisse x correspond à la valeur du cosinus de cet angle tandis que son ordonnée y correspond à la valeur du sinus de cet angle.

En ayant bien ce schéma en tête, on trouve aisément que la valeur de  \theta_1 qui convient est  \dfrac{2\pi}{3}

Donc \theta_1 = \dfrac{2 \pi}{3} [2 \pi] .
Pourquoi as-tu rajouté [2\pi] après  \dfrac{2\pi}{3} ?

Le [2\pi] est là pour signaler que  \theta_1 = \dfrac{2\pi}{3} + k \times 2\pi , quel que soit k entier relatif, conviendrait aussi (car quel que soit k, on se trouverait au même endroit sur le cercle trigonométrique).

 \textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Conclure en indiquant que  z = \rho e^{i\theta} si c’est la forme exponentielle que l’on souhaite obtenir ou que  z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta) si c’est la forme trigonométrique que l’on souhaite obtenir.

Ici, c’est la forme exponentielle que l’on souhaite obtenir. Ayant trouvé le module et l’argument de z_1, on peut conclure :

D’où  z_1 = 4 e^{\dfrac{2i \pi}{3}} .
Bon, maintenant, rebelote. Il faut tout refaire pour z_2

Eh non ! Il y a beaucoup plus rapide ! Le rappel de cours sur la résolution des équations du second degré dans \mathbb{C} vous indique que z_1 et z_2 sont des nombres complexes conjugués ! On peut alors appliquer le résultat suivant :

Soit z= \rho e^{i \theta} un nombre complexe écrit sous forme exponentielle. Alors la forme exponentielle de son conjugué \bar{z} est donnée par \bar{z} = \rho e^{-i \theta} .

On peut donc finir de répondre à cette question.

Les solutions z_1 et z_2 de l’équation étant conjugués, on en déduit que  z_2 = 4 e^{\dfrac{ - 2 i \pi}{3}} .

Question 2

On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à \dfrac{\pi}{3}.
Calculer a^2 sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l’équation z^2 = - 2 + 2i\sqrt{3}. On écrira les solutions sous forme algébrique.

Lorsque l’on vous donne le module et l’argument d’un nombre complexe, la notation la plus adaptée est la notation exponentielle :

a est un nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est \dfrac{\pi}{3} donc a = 2 e^{ i\dfrac{\pi}{3} }

On cherche donc à élever au carré le nombre complexe a = 2 e^{i\dfrac{\pi}{3}}. Or :

Il est toujours plus facile d’élever un produit au carré qu’une somme !

a est déjà sous forme de produit, donc on va pour l’instant le laisser tel quel puis écrire son carré sous forme algébrique, plutôt que d’abord écrire a sous forme algébrique, puis l’élever au carré.

Pour cela, je rappelle que :

 (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}

On peut donc écrire :

 a^2 = (2 e^{ i\dfrac{\pi}{3} })^2 = 2^2(e^{ i\dfrac{\pi}{3}})^2 = 4 e^{ i\dfrac{2 \pi}{3}}.

Il reste à écrire a^2 sous forme algébrique.

D’où :
 a^2 = 4 (\cos \dfrac{2 \pi}{3} + i \sin \dfrac{2 \pi}{3}) = 4 \left( - \dfrac{1}{2} + i \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \right) = - 2 + 2i \sqrt{3}
Ah ben tiens ! C’est exactement le nombre complexe dont on nous demande de trouver les « racines carrées » !

Et oui ! Les énoncés sont rarement faits au hasard, il y a toujours un lien, ou une ligne directrice entre les questions…

L’équation z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3} qu’on cherche à résoudre peut ainsi se réécrire comme z^2 = a^2.
Ouhlà ! Ca se résout comment ça ?

C’est plus simple que ça en a l’air :

Soit a \in \mathbb{C}.
Les solutions dans \mathbb{C} de l’équation z^2 = a^2 sont z = a et z = -a.

Donc on peut écrire :

Donc les solutions dans \mathbb{C} de l’équation z^2 = - 2 + 2i\sqrt{3} sont z = a = 2e^{i\dfrac{\pi}{3}} = 2(cos \dfrac{\pi}{3} + i sin \dfrac{\pi}{3}) = 2\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3} et z = -a = -1 - i\sqrt{3}.

Question 3

Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + \text{i}yx \in \mathbb{R} et y \in \mathbb{R}, le conjugué de z est le nombre complexe \bar{z} défini par \bar{z} = x - \text{i} y.
Démontrer que :

a. Pour tous nombres complexes z_{1} et z_{2}, \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}.

On va juste faire calmement le calcul :

On pose z_1 = x_1 + i y_1 et z_2= x_2 + i y_2, avec x_1, y_1, x_2 et y_2 réels.

On a d’une part :
 \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{ (x_1 + iy_1)(x_2+iy_2) }
 

 = \overline{ x_1x_2 + x_1(iy_2) + iy_1x_2 + (iy_1)(iy_2) }

 

 = \overline{ x_1x_2 + ix_1y_2 + iy_1x_2 - y_1y_2 } en utilisant i^2=-1

 

 = \overline{ (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + y_1x_2) }

 

 = (x_1x_2 - y_1y_2) - i(x_1y_2 + x_2y_1) , en utilisant la propriété de l’énoncé sur les conjugués.

 

D’autre part :
 \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} = \overline{(x_1 + iy_1)} \cdot \overline{(x_2+iy_2)}
 

 = (x_1 -iy_1)(x_2 - iy_2) , en utilisant la propriété de l’énoncé sur les conjugués

 

 = x_1x_2 - x_1(iy_2) -iy_1x_2 + (iy_1)(iy_2)

 

 = x_1x_2 - ix_1y_2 - iy_1x_2 - y_1y_2 , en utilisant i^2 = -1

 

 = (x_1x_2 - y_1y_2) - i(x_1y_2 + x_2y_1)

 
Ainsi, on a bien : \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}.

b. Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n,  \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n .

Ah tiens ! Pour n=1 c’est évident, et pour n=2 ça ressemble à ce que l’on vient de démontrer, ça sent un peu le raisonnement par récurrence, non ?

Pas qu’un peu !

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,  \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n .

Profitons-en pour rappeler les étapes du raisonnement par récurrence.

\textsuperscript{\textcircled{\tiny{1}}} Initialisation
Il s’agit de vérifier que la propriété est vraie au premier rang.

Ici, on nous demande de prouver le résultat pour tout entier naturel n non nul . Il faut donc commencer par n=1. Si on nous l’avait demandé « pour tout entier naturel », il aurait fallu commencer par n = 0.

Initialisation
On a bien \overline{z^1} = \bar{z} = \left(\overline{z}\right)^1 , donc la propriété est vérifiée pour n=1.
 \textsuperscript{\textcircled{\tiny{2}}} Hérédité
Il s’agit de supposer que la propriété est vraie à un rang k (k appartenant au même ensemble que n, ici \mathbb{N}^*) et de montrer qu’elle est alors vraie au rang k+1.
Hérédité
Soit  k \in \mathbb{N}^* . Supposons que la propriété soit vraie au rang k, c’est-à-dire que  \overline{z^{k}} = \left(\overline{z}\right)^k . Montrons alors qu’elle est vraie au rang k+1, c’est-à-dire que  \overline{z^{k+1}} = \left(\overline{z}\right)^{k+1} .

A chaque fois que l’on veut prouver une hérédité, il faut se demander :

  • soit, comment à partir de l’hypothèse de récurrence qui fait intervenir la propriété au rang k, je peux faire apparaître la propriété au rang k+1 ;
  • soit, à partir des éléments relatifs au rang k+1, comment je peux faire apparaître les éléments relatifs au rang k et me servir alors de l’hypothèse de récurrence.

Ici, nous allons opter pour la deuxième solution :

On a :
 \overline{z^{k+1}} = \overline{z \cdot z^k} .
Hum… Oui, mais on voudrait faire appparaître \overline{z^k}.

Pour cela, on va appliquer la question a !

En appliquant le résultat de la question précédente à z_1=z et z_2 = z^k, on obtient :
 \overline{z^{k+1}} = \overline{z} \cdot \overline{z^k}

Ayant fait apparaître \overline{z^k}, il est temps d’appliquer l’hypothèse de récurrence :

Or, d’après l’hypothèse de récurrence,  \overline{z^{k}} = \left(\overline{z}\right)^k d’où :
 \overline{z^{k+1}} = \overline{z} \cdot \left(\overline{z}\right)^k = \left(\overline{z}\right)^{k+1} .
Donc la propriété est vérifiée au rang k+1.
 \textsuperscript{\textcircled{\tiny{3}}} Il s’agit de conclure en invoquant le principe de récurrence.
Conclusion
La propriété est vraie pour n=1. En la supposant vraie au rang n=k, elle est encore vraie au rang n=k+1.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul n,  \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n .

Question 4

Démontrer que si z est une solution de l’équation (E) alors son conjugué \bar{z} est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Démontrer que si z est une solution de l’équation (E) alors son conjugué \bar{z} est également une solution de (E), c’est montrer que si  z^4 + 4z^2 + 16 = 0 , alors  \overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16 = 0 .

La démarche est la suivante : il s’agit de calculer  \overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16 , de faire apparaître  z^4 + 4z^2 + 16 , d’utiliser le fait que  z^4 + 4z^2 + 16 = 0 et d’aboutir à  \overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16 = 0.

Soit z une solution de (E). On a :
 \overline{z}^4 + 4 \overline{z}^2 + 16 = \overline{z^4} + 4\overline{z^2} + 16 , en utilisant la question précédente pour n=2 et n=4

Or :

Soit z un nombre complexe, et a un nombre réel. On a :
 a \overline{z} = \overline{az}.

Cela nous permet de placer les nombres 4 et 16 « sous la barre des conjugaison » :

... = \overline{z^4} + \overline{4z^2} + \overline{16} , car 4 et 16 sont réels

Sachant de plus que :

Soit z_1 et z_2 deux nombres complexes. On a :
 \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}

On en déduit :

... = \overline{z^4 + 4z^2 + 16}

Ce que l’on vient d’obtenir est pas mal du tout ! Il s’agit du conjugué de z^4 + 4z^2 + 16. Vous voyez où est-ce que je veux en venir ?

Hum… Il est temps d’utiliser le fait que z^4 + 4z^2 + 16 = 0, non ?

Exactement !

... = \overline{0} , car z est solution de (E)

Il ne reste plus qu’à utiliser à nouveau la propriété  a \overline{z} = \overline{az}, mais cette fis-ci, pour enlever la barre de conjugaison :

... = 0 , car  0 est réel.
Ainsi, \overline{z} est bien solution de (E).

Reste à en déduire les solutions dans \mathbb{C} de l’équation (E). Vu comment est posée la question (« On admettra que (E) admet au plus quatre solutions »), on va chercher quatre solutions (distinctes) de l’équation (E).

Cette question n’est pas si difficile qu’il n’y paraît. Il s’agit simplement de voir si vous avez compris la cohérence de l’exercice :

A la question 1, on a trouvé les deux solutions de l’équation  Z^2 + 4Z + 16 = 0, données par
 z_1 = -2 + 2i\sqrt{3} et  z_2 = -2 - 2i\sqrt{3} .

Posons Z = z^2.

Z ~\text{est solution de l

\Leftrightarrow (z^2)^2 + 4(z^2) + 16 = 0
\Leftrightarrow z^4 + 4z^2 + 16 = 0
\Leftrightarrow z ~\text{est solution de l

Or, on a montré à la question 2. que -2 + 2i\sqrt{3} (c’est-à-dire z_1) était égal à (1 + i\sqrt{3})^2 ou \left(-1 - i\sqrt{3}\right)^2.

Ici, z_1 joue le rôle de Z. En faisant jouer successivement à (1 + i\sqrt{3})^2 et \left(-1 - i\sqrt{3}\right)^2 le rôle de z, on en déduit :

Donc 1 + i\sqrt{3} et -1 - i\sqrt{3} sont deux solutions de l’équation (E).
OK on en a trouvé deux. Il nous en faut encore deux autres.

Effectivement. Cette fois-ci, on va utiliser ce qui précède :

De plus, d’après ce qui précède, si un nombre complexe z est solution de (E) alors son conjugué \overline{z} l’est aussi. Donc \overline{1 + i\sqrt{3}} = 1 - i\sqrt{3} et \overline{-1 - i\sqrt{3}} = -1 + i\sqrt{3} sont aussi des solutions de (E).

On a donc trouvé 2 solutions de plus. Cela nous en fait 4. Or, d’après l’énoncé, l’équation (E) admet au plus 4 solutions donc il est inutile de chercher plus :

Or, d’après l’énoncé, l’équation (E) admet au plus 4 solutions donc, l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des 4 solutions que l’on vient de trouver : \left\{1 + i\sqrt{3} ; -1 - i\sqrt{3} ; 1 - i\sqrt{3} ; -1 + i\sqrt{3}\right\}.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 3.

Exprimez vous!