Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1

Enoncé

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A

L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée.
Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.
Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4% des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5% des cas.
On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l’évènement « L’élève se rend au lycée à vélo », B l’évènement « l’élève se rend au lycée en bus » et R l’évènement « L’élève arrive en retard au lycée ».

Question 1

Traduire la situation par un arbre de probabilités.

Comme le suggère l’énoncé, construisons un arbre pondéré. Pour cela, il suffit de lire soigneusement l’énoncé et de traduire le texte « petit à petit » :

Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

En lisant cela, on sait que notre arbre pondéré va tout d’abord contenir deux branches :

Bac S 2014 Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-1
Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Avec cette information, je peux indiquer les probabilités de chacune des deux branches de mon arbre :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-1
Hum… Je vois d’où vient la probabilité 0,7 puisque l’énoncé indique qu’il prend le vélo 7 jours sur 10. En revanche, d’où vient la probabilité 0,3 ?

Bonne question. En fait, il faut se souvenir que :

La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1.

Ici, cela donne donc que P(V) + P(\overline{V}) = 1 d’où P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0,7 = 0,3.

Continuons à exploiter l’énoncé pour compléter notre arbre de probabilités :

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4% des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5% des cas.

Ainsi, après s’être demandé si l’élève prend le vélo ou le bus, on peut se demande maintenant s’il arrive en retard ou non :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-2
…et si on applique la règle que tu as indiquée plus haut (« La somme des probabilités des branches qui partent d’un même sommet vaut 1 »), on peut compléter les deux valeurs de probabilités qui restent !

Exactement :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-3

Cela termine l’arbre pondéré demandé.


Question 2

Déterminer la probabilité de l’évènement V \cap R.

Pour calculer la probabilité d’une intersection, une fois qu’on a réalisé un arbre de probabilité, il faut avoir le réflexe suivant :

Sur un arbre pondéré, la probabilité de l’intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

Sur notre arbre, les deux branches à considérer sont celles qui sont surlignées en vert ci-dessous :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-4

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1.a., la probabilité de l’évènement V \cap R vaut :
p(V \cap R) = 0,7 \times 0,006 = 0,0042;

Question 3

Démontrer que la probabilité de l’évènement R est 0,0192.

Pour répondre à cette question, vous devez à nouveau savoir exploiter l’arbre de probabilité :

Pour calculer la probabilité d’un événement à partir d’un arbre de probabilité, il suffit d’additionner les probabilités de chacun des chemins qui « mène » à cet événement.

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Ici, nous allons donc sommer les probabilités de deux chemins :

Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-5

Donc, on peut écrire :

En exploitant l’arbre de probabilité obtenu à la question 1.a., la probabilité de l’évènement R vaut :
p(R) = \underbrace{0,7 \times 0,006}_{\text{chemin 1}} + \underbrace{0,3 \times 0,05}_{\text{chemin 2}} = 0,0192.

Question 4

Un jour donné, l’élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu’il s’y soit rendu en bus ?

Clairement, l’énoncé souhaite ici que l’on calcule la probabilité conditionnelle p_R(\overline{V}). Pour calculer une probabilité conditionnelle ou la probabilité d’une intersection, un seul réflexe :

p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}
La probabilité qu’il se soit rendu en bus au lycée vaut :
p_R(\overline{V}) = \dfrac{p(\overline{V} \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,3 \times 0,05}{0,0192} = 0,7813.

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.
Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d’espérance \mu = 17 et d’écart-type \sigma = 1,2.

Question 1

Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.

Dès que vous avez une question du type « Calculer P(a \leq X \leq b) », vous devez penser au théorème suivant :

  • P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \simeq 0,68 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \simeq 0,95 à 10^{-2} près ;
  • P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \simeq 0,997 à 10^{-3} près.

et vous dire « est-ce que les bornes a et b correspondent respectivement à

  • \mu - \sigma et \mu + \sigma ?
  • ou \mu - 2\sigma et \mu + 2\sigma ?
  • ou \mu - 3\sigma et \mu + 3\sigma ? »

Car, si c’est le cas, il suffit d’appliquer le rappel de cours. Sinon, il faut utiliser la calculatrice !

Ici :

  • \mu - \sigma = 17 - 1,2 = 15,8 et \mu + \sigma = 17 + 1,2 = 18,2 ;
  • \mu - 2\sigma = 17 - 2 \times 1,2 = 14,6 et \mu + 2\sigma = 17 + 2 \times 1,2 = 19,4 ;
  • ou \mu - 3\sigma = 17 - 3 \times 1,2 = 13,4 et \mu + 3\sigma = 17 + 3 \times 1,2 = 20,6.

Or :

  • 15 joue le rôle de a ;
  • 20 joue le rôle de b.

donc nous ne nous situons pas dans le cadre du rappel de cours. Il faut donc utiliser la calculatrice.

Ici, je vais vous montrer comment faire avec une TI-89 (je choisis la TI-89 parce que c’est la calculatrice que j’avais quand j’étais moi-même en Terminale) :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 4.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires au calcul de la probabilité cherchée apparaît.
Bac S Maths Antilles-Guyane Exercice 1 2014-ag-exo1-8
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à calculer P(15 \le T \le 20) donc :

  • Lower Value : 15 ;
  • Upper Value : 20.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 17 et d’écart-type \sigma = 1,2 donc :

  • \mu : 17 ;
  • \sigma : 1,2.
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-6
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Cdf ».
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-7

On peut donc directement noter le résultat sur la copie :

D’après la calculatrice, la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée vaut P(15 \le T \le 20) = 0,9460 à 10^{-4} près.

Question 2

Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée ?

L’énoncé indique que :

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00.

Donc, l’élève sera en retard si et seulement s’il met plus de 20 minutes à venir, c’est-à-dire si et seulement si T ~\textgreater ~20.

Il se trouve que la calculatrice ne sait pas calculer les probabilités du type P(X \geq a). Elle ne sait calculer que les probabilités du type P(a \le X \le b).

Voici la méthode pour calculer les probabilités de type P(X \leq a) :

Pour calculer une probabilité du type P(X \le a)X suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma, il faut systématiquement appliquer la règle suivante :

  • Si a \ge \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 + P(\mu \le X \le a) ;
  • Si a \le \mu, on utilise P(X \le a) = 0,5 - P(a \le X \le \mu).
Eh mais attends, c’est pas P(X \leq 20) qui m’intéresse mais P(X ~\textgreater ~20) !

Je sais bien ! Il suffit donc d’écrire que :

L’élève sera en retard si et seulement s’il met plus de 20 minutes à venir, c’est-à-dire si et seulement si T ~\textgreater ~20.

P(X ~\textgreater ~20) = 1 - P(X \leq 20)

Ici, a = 20 et \mu = 17 donc a \ge \mu d’où on utilise le premier cas :

20 \ge \mu donc P(X \le 20) = 0,5 + P(\mu \le X \le 20).

Comme à la question précédente, on utilise la calculatrice pour déterminer P(\mu \le X \le 20) (je vous laisse faire !) :

D’après la calculatrice, on trouve P(\mu \le X \le 20) = 0,4938 donc :
P(X \le 20) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

On en déduit :

Donc la probabilité que l’élève soit en retard est de P(X ~\textgreater ~20) = 1 - P(X \leq 20) = 1 - 0,9938 = 0,0062.

Question 3

L’élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l’heure au lycée avec une probabilité de 0,9 ? Arrondir le résultat à la minute près.

Personnellement, je n’ai pas trouvé cette question facile du tout. Tout ce qu’on a à notre disposition, c’est la variable aléatoire T, qui représente la durée du trajet en minutes, et dont on sait simplement qu’elle suit une loi normale d’espérance \mu = 17 et d’écart-type \sigma = 1,2. Alors que peut-on faire avec ?

En fait, toute l’astuce consiste à se dire « Quelle est la durée T_0 telle que le temps de trajet T sera inférieur à cette durée avec une probabilité de 0,9 ? » Autrement dit, quel est le réel T_0 tel que P(T \leq T_0) = 0,9 ? Et ça, la calculatrice sait le déterminer ! Voici comment avec la TI-89 :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 2 > 1.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires à la détermination du réel cherché apparaît.
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-10
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à trouver T_0 tel que P(T \leq T_0) = 0,9 donc :

  • Area : 0,9.

De plus, il s’agit d’une loi normale d’espérance \mu = 17 et d’écart-type \sigma = 1,2 donc :

  • \mu : 17 ;
  • \sigma : 1,2.
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-10
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Inverse ».
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-9

On peut alors écrire :

D’après la calculatrice, la durée T_0 telle que le temps de trajet lui soit inférieur avec une probabilité de 0,9 est de 19 minutes (arrondi à la minute près).

Ce qu’il faut remarquer, c’est que :

Or, dire que le temps de trajet est inférieur à 19 minutes avec une probabilité de 0,9, cela signifie qu’en partant à 8h « moins 19 minutes », l’élève aura une probabilité de 0,9 de faire un trajet qui durera moins de 19 minutes, et donc d’arriver à l’heure. Ainsi, l’élève arrivera à l’heure avec une probabilité de 0,9 s’il part avant 8h « moins 19 minutes », c’est-à-dire avant 7h41.

Partie C : le bus

Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma .
On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05.
On note Z la variable aléatoire égale à \dfrac{T.

Question 1

Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle ?

En voilà, une belle question de cours. Tout ce que le concepteur du sujet cherche à savoir ici, c’est si vous connaissez la partie de cours suivante :

Si la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance m et d’écart-type \sigma notée \mathcal{N}(m, \sigma^2), alors la variable aléatoire Y = \dfrac{X - m}{\sigma} suit une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 notée \mathcal{N}(0, 1).

Remarque : la loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 notée \mathcal{N}(0, 1) s’appelle « loi normale centrée réduite ».

Vous remarquerez que c’est \sigma^2 qui figure dans la notation d’une loi normale d’écart-type \sigma : en fait, la notation indique la moyenne et la variance (qui est égale au carré de l’écart-type).

Ici, cela donne donc :

La variable aléatoire T suit une loi normale d’espérance \mu et d’écart-type \sigma donc Z = \dfrac{T suit une loi normale d’espérance  0 et d’écart-type 1 : il s’agit de la « loi normale centrée réduite ».
C’est important de dire que la loi normale suivie par Z est « centrée réduite » ?

Franchement, je ne sais pas si on peut vous enlever des points si vous ne le mentionnez pas. Mais en tout cas, cela montre au correcteur que vous avez en tête un peu de « vocabulaire mathématique », et ça, ça permet de faire bonne impression !


Question 2

Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de l’écart-type \sigma de la variable aléatoire T.

Bon, on est à la dernière question de l’exercice et il y a une des informations données par l’énoncé dont on ne s’est pas encore servi :

On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05.

Donc forcément, cela signifie qu’on doit s’en servir ici. Réécrivons cette information avec des notations mathématiques :

D’après l’énoncé, P(T.

Or, on nous demande de déterminer \sigma , c’est-à-dire une caractéristique de la variable Z. Il faut donc réussir à l’introduire dans la solution :

Or, T.

On en déduit :

Donc P(T

En posant Z_0 = \dfrac{5}{\sigma , cela ne vous rappelle-t-il rien ?

Ah bah si ! C’est un peu comme le P(T \leq T_0) = 0,9 de la question précédente !

Exactement ! Donc on va demander à la calculatrice combien vaut Z_0 = \dfrac{5}{\sigma ! Mais attention ! La calculatrice ne sait déterminer Z_0 que si l’on a une inégalité du type Z \leq Z_0 ou Z ~\textless ~Z_0 (en effet, dans le cas des lois normales, « inégalité stricte » ou « inégalité large », c’est pareil !). Or, ici, il s’agit d’une inégalité du type Z \geq Z_0 donc il faut arranger l’égalité ci-dessus. Pour cela, je vous rappelle la formule suivante sur les événements contraires :

P(\overline{E}) = 1 - P(E)

Comme l’événement contraire de Z est l’événement Z, on peut écrire :

... \Leftrightarrow P\left(Z.

Maintenant on peut utiliser la calculatrice :

Commandes à effectuer Résultat obtenu
1. Allumer la calculatrice. 😀
Puis cliquer sur la touche « APPS ». Les applications installées sur la calculatrice apparaissent.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-9
2. Choisir Stats/List Editor et cliquer sur « ENTER ».

L’application « Stats/List Editor » est normalement incluse dans toutes les calculatrices TI-89 depuis 2004. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez la télécharger gratuitement ici.
Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-10
3. A moins d’être un utilisateur « avancé » de la TI-89 (auquel cas vous savez quoi faire à cette étape), cliquer simplement sur « ENTER ». Bac S 2014 Maths France Métropole Exercice 2 2014-fm-exo2-11
4. Cliquer sur F5 > 2 > 1.
L’interface de renseignement des valeurs nécessaires à la détermination du réel cherché apparaît.
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-10
5. Renseigner les valeurs nécessaires.

Ici, on cherche à trouver Z_0 tel que P(Z ~\textless ~Z_0) = 0,95 donc :

  • Area : 0,95.

De plus, il s’agit d’une loi normale centrée-réduite, donc d’espérance \mu = 0 et d’écart-type \sigma = 1 donc :

  • \mu : 0 ;
  • \sigma : 1.
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-12
6. Cliquer sur « ENTER ».
La valeur cherchée est la valeur « Inverse ».
Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1 2014-li-exo1-13

Donc on peut écrire :

En posant Z_0 = \dfrac{5}{\sigma , d’après la calculatrice, P(Z ~\textless ~Z_0) = 0,95 si et seulement si Z_0 = 1,6449 soit \dfrac{5}{\sigma

On peut alors conclure :

Donc l’écart-type \sigma de la variable aléatoire T vaut \sigma à 10^{-2} près.

Fin de l’épreuve du Bac S 2014 Maths Liban Exercice 1.

Exprimez vous!